L — PETITS DÉPLACEMENTS PAI'.ALLÈLEMEINT AU PLAN MOYEN

^ 74. — Petits déplacements d'une plaque circulaire dans son plan.

Nous avons rappelé au ^ 44, page 7)20, les formules générales connues qui servenl à Tinlroduction des coordonnées polaires. Comme le problème que nous avons à Irailer ici se raltaclie étroitement à celui qui l'a été en ce lieu-là, nous prendrons, de même qu'alors, le centre de la surface médiane de la plaque circulaire pour origine des a, 6, et nous poserons

a = 7' cos ù, Z'^rsinö.

Nous aurons, comme à ce § 44, formules (162 a), (IG,")), p. 520-521, en les appliquant encore à une fonction K quelconque de a, h ou de ?-, 0 :

^a , cJb . ^ fa . ^ [h

-— = cos0, •7- = sin9, ?-: = — rsmd, 7— :=rcosO,

cJr dr oQ cd '

28o) < -7— =: -^— cos (5 7— sinO, 7-,- = r— sm 6-1-- — - cns 0 ,

^ ^ c a c y r c 'i cb c r r cd

m tK ^ cK 1 M [R . ^ [K

T~ = 7— cos 9 + 7-T- sni e , - j;-- = — }—■ sni ô + ^t,- cos 6 . or da oh r ou da c)b

Comme nous nous bornons ici au cas d'égale élasticité de la plaque dans les divers sens parallèles à ses faces, nous avons [formules (:), p. 84 de la Note finale du i^ 16, reproduites par (281 a) du § 75, p. 687] :

a =b — aj, ï ==a, — 2f,

ce qui réduit les deux premières équations (280«) du § 75, p. 687, à

et, en divisant par a^ vu que les mêmes formules donnent

a,(t-i)^)=E', 2f =:a,(l-i/j, on arrive aux deux équations suivantes :

O (o^ ^ ov\ ^ 1 — I) O (d% d-f\\ 1 — 0 A /

oa\cJa cb/ ' 2 cb\cb caj E'Ii

c /t; . tïï\ i — V)' c (fl o-fi\ 1 — 9'-

di

ob\ca cb) 2 oa\cb cal E'It

Si nous les multiplions respectivement par cos 6, sinô; puis par — sin9, cos6, en additionnant cbaquc fois, nous les changeons, vu les (285), en :

er \ca

ClIAP.