CHAT. V. — PLAQUES CIRCULAIRES MINCES
et V tanlüt — r-^ v' ; tantôt r-^v ;
S et T désignant des fonctions de r.
11 est facile de déduire, d'équations de celle espèce, les valeurs générales de U, V.
Formons en effet les combinaisons
dr )• (Ir r
nous obtenons immédiatement des formes intégrables en multipliant la première de ces équations par ?''et la seconde par-, car nous pouvons mettre les résultats de ces multiplications sous les formes suivantes :
dr dr r
d'où, par intégration,
ü-t-V=^- r{S-i-T)rUlr-h-., U-Y = -r' T" (S — T) ^ + CV. r t./" r J >' r
Ici, R désigne le rayon du disque, et, dans la dernière équation, on a pris pour limites d'intégration rct Rau lieu de 0 et r, pour que la fonction à intégrer ne devienne pas infinie entre les limites de l'intégration.
Remarquons qu'en général toutes les grandeurs trouvées ici doivent être applicables lorsque ?'= 0, et par conséquent ne doivent pas devenir infinies pour cette valeur de r, ce qui exige que l'on ait C= 0; cartons les autres termes satisfont à cette condition. On peut s'en assurer en supposant S + T et S — T remplacés par les valeurs les plus grandes que puissent prendre ces fonctions dans les limites de l'intégration. Soient M et N ces valeurs maxima, il est évident d'après cela, abstraction faite du signe, que l'on a
l^ f (S + T) ,■■,/,■ < ^ /;; rar ; ,-' f" (S - T) * < NV' f " ^
Vm elTecluanl les intégrations, on voit que les expressions considéires sont respectivement plus petites que
M/- Nr' / 1 1
§ 74. — SUITE DES INTÉGHATIONS. 757
OU, lorsque i ^= i, plus petites que
grandeurs qui, pour r^ 0, ne deviennent pas infinies. On a donc démontré par là que les valeurs trouvées peuvent être admises pour représenter U et Y. Ces fonctions elles-mêmes prennent alors les valeurs suivantes, demi-sommes et demi-différences de U + V, U — Y, prises en remplaçant par zéro la constante G et en ne conservant que celle C :
expressions qu'on peut reconnaître, par vérification et substitution dans les (288). satisfaire ces deux équations difterentielles simultanées.
Appliquons cela aux équations (286), en prenant
Une première fois : U = u . , \ = — ^^ — v. =: — v. ;
d'où [2« et 6« (286)] :
"i . rp
et, une seconde fois : U = u' , Y =^ — k-^ v = — v ;
d'où [5* et 5« (286)1
Nous obtiendrons, A^, B. étant des constantes arbitraires remplaçant
j^> eteu égard à (281 a) :
2By a. .
u'=U:-fBr', v'. = Y'
r.IIAP. V. PLAQUES CmClLAlüES MINCES.
OÙ l'on a, pour abréger, représenté par U , U', V., V' les fonctions suivantes de r :
.. i + n' r>- . , . , , r (1 -f- n') fr. ,/^
OÙ l'on peut faire
a^' E' ~i>f' 1— 9"~ f Si, dans les équations (287), on pose également pour abréger
(201, u:^L=J22f,,,,„, y^^^'^Jlpl f\,,,., de manière à les réduire à
(291a) „^ — tl„+Ao, v„ = Y,
1— 9' ' on peut enfin mettre les équations (285) sous la forme :
n e, +ï^ = U, + UiCOsâ + U,cos26 + .... + U;siii9H-U'sin2ô+ ..
+ A,+A,rcos0H-A2r-cos29+....-j-B,/-sin6-hß2''-sin2ö+.
(Q92) { cjC (^
^^ M£J £^ = Vo + Y, cos e + Y., cos 2ô + H-Y; sin 6 + Y;, sin 2e ^
-, (H„+P),rcos9H-B2?-'cos2ô+...— A,rsin9— A./'-sin2e— ..)
Il reste à développer les expressions les plus générales de ^, -q, au moyen de ces équations (292), dans lesquelles les U^, Uj,... Uj,... Vq, Y^,... V'j... sont des fonctions déterminées, et les A,^, A,.... B,,, B^... des constantes à déterminer ultérieurement.
Les équations (292) l'ésolvent déjà une partie du ])robléme, puisque, par leui" moyen, à la place des é(|ualions dilTéi'entielles du se-
g y 4. — SllTE DKS I.NTKCRATIONS. 759
cond ordre (284), on n'a plus maintenant que des équations du premier ordre.
Pour intégrer ces équations (292), il est préférable de rherchor, non pas les déplacements |, •/;, qui ont lieu parallèlement aux axes coordonnés, mais les déplacements qui s'opèrent dans la direction du rayon r et dans une direction perpendiculaire, laquelle correspond à celle d'un accroissement de l'angle 0. On peut se représenter ces déplacements comme si le point [r, 0) avait d'abord décrit un petit arc 9 de rayon r, et s'était ensuite avancé d'une petite distance p dans la direction du rayon, pour arriver dans sa position définitive. Il en résulte, d'une manière tout à fait analogue aux formules ci-dessus,
a = r CCS 9, h = r sin ô,
qu'après les déplacements on a :
a^l = {r-\- û) cos (ô + =), ^ + V, = (/• + p) sin (ô + ç) ;
et si on développe ces expressions suivant les puissances des très petites grandeurs p et 9, en conservant seulement les premières puissances, Tmi obtient les formules
(295) ç=pcos9 — ?'rsine, v; = 0 sin 9 -h r: cos 9,
par lesquelles i et r, sont exprimées en fonctions des nouveaux déplacements 9, p, l'un angulaire, l'autre linéaire.
Ces expressions, introduites dans les premiers membres de (292), donnent, lorsque l'on remplace en même temps la différentiation par rapport à a, b par celle qui est opérée par rapport à r, Ô d'après les formules générales (283) de changement de variables :
(Tv r <? (p
ob ca or~^ rcS
Cette transformation effectuée, 9 et p se déterminent très facilement. On peut, en effet, se représenter ces grandeurs sous la forme suivante :
P == p(,-i- Pi cos Q-i-p.cos'ie -{-... +7/jSin9H-7>^sin294-...,
? = '/o + '/i*^os9 + fy. cos29+... + r/jSin6-|-fyjsin29+...,
où les p et q doivent être fonctions de ?' seulement. Si maintenant l'on introduit ces expressions dans les équations (292) et si l'on égale les coefficients des sinus et des cosinus correspondants, on obtient, pour la détermination de ces grandeurs, les équations suivantes :
7(30 CIFAP. V. — PLAQUES CIRCULAIRKS MINCES.
'h><: , Po n , A ^'^^lo , 0,. Y -T^(
,dp p dq. i 2Br'
(295 c)}~ + /Vy: -f-'^=U. + Ar , r -/-' 1;/.+ 2r/.= — Y. — -— ^, ,
(//• ^' ' /• » ' dr ' r' ' ^' ' 1—1)'
Ces équations rentrent aussi dans la forme (288) lorsqu'on les multiplie pur r, et que l'on considère rp , f-q , 7'p' ., r-q' . comme les inconnues ; elles deviennent
d.7i). i.7'^(i'. d.r-fi. i.vn'. 2ïj.r'^
dr r ^ ' ' ' dr r ' 1 — t)'
d.rp'. i.r-q. d.r-q'. i.rp. 2Ar
' i-^ = r(U: + B.r'); --il+ -Li=^\'>+ L
r/r r ^ "^ ^ '^' dr r ' 1 — 9'
Or les équations simultanées (288), -, — \~ i ~ —. S^ -, — h i - = T,
' dr r dr r
ont pour intégrales les expressions (288 a) U = .... V= ....
Prenons d'abord U = rjj, V = r-q'. et S, T égaux respectivement aux seconds membres de la 2" et de la G'' des équations (293 (/) qu'on vient d'écrire, puis, en second lieu, U^^rp', Y = — 7^-q, et S égal au second membre de la '0" équation (295 d), avec T égal à celui de la 5' pris en signe contraire; les intégrales (295 a) donnent, en divisant ensuite par r, ?•^ r, — r', les expressions dey; , (/, yj', q. comprises aux formules suivantes (294), dans lesquelles C. et D^ sont des constantes arbitraires remplaçant 1/2C/ :
(294) / <j. = 0-X^(^IZ!L^ i±Jl'(I|.,.)WDr'-
4 \1— i/i-hl 1
(') Dans le livre de Clebscli, les seconds termes des quatre dernières expressions (294) ont des signes opposés à ceux que nous leur donnons, et il y a, dans les parenthèses de
où l'on a
7i. — FORMULES DES DÉPLACEMENTS PARALLÈLES A LEUR PLAN. 7G1
et où P , 0 , P , 0 etc., représentent les fonctions suivantes :
If
/'■'■ 1 V /MIL. -t- V,
t-2 ,.rU'— V.
(294a) ( Q.= -^J>'"(U; + Y^)^r-Çj; -l-^./,-. 1 /•'• ,.-. r"' /'r.U' — V,
Dans les expressions de p.^^ q^ les constantes d'intégration ont été supposées nulles, afin que pour ?' = 0 les valeurs de p. et de r q^ ne
deviennent pas infinies.
Si l'on substitue les expressions (294) de p^, p^ dans les séries
(295 6), on obtient enfin pour p et o les valeurs suivantes qui, substituées dans (295), donnent ^, y; et représentent ainsi la solution la plun générale des équations (284) applicable au cas dont il s'agit :
(294 b) p = P(,-hPiCOs9H-P2COs2ôH- -l-Pj sinôH-P.;sin29-h -|-
Af.r 5 — 9' /A.r- ^ , A,r' ^^ B,r- . „ , B.r- „ \
+-^+7T\ — ^T -;T-cos9-f-^cos29 + ...+^sin04--- sm20H-...)-h
' -(Pr— r-) (AlCOsô-(-A.rcos2ô^-...^-ßlSin9-t-ß,rsin2ô^-,.,)^-
+ Cl CCS 9 H- C^r CCS 26+ + 0^ sin9 + D.r sin29+ ;
(p = Q(,+ QiCOSô+Qcos29 + +0;sin9 + Q;sin2ôH-..
Bo 5 — 9' / 2 „ \r- „^ A,r . ^ k.r^ ^„ \
1 — 9 4(1 — 9)\Bi^' o 2 2 /
4-7-71 — ^(B-— r2)(-cosO l-ß2COs29-l-B5rcos5(;+... isin9-A,sin29... )-h
+ — cos9 + D2COs294-D5rcos39+... ^sin9 — C, sin 29 — C-rsin59 — ...
,),, tf'. transposition réciproque des coetficients -; ^ > , • Ce sont des erreurs que
ous avons corrigées. Nos formules rectifiées (294) satisfont identiquement aux équations
" i-riclies (295 c).
Dans octto voleur de 9, on voit que certains lei'mes deviennent infinis pour r= 0 ; mais cela ne peut soulever aucun scrupule, puisque le produit ro reste fini et que, par conséqueni, les déplacements^, •/; conservent partout des valeurs finies.
Les P, 0 ont les expressions (294 «), dans lesquelles les U, V,U', V ne sont pas, comme aux §§ précédents, des composantes de forces agissant sur la surface latérale; ce ne sont pas non plus les symboles mis dans les équations types (288) ; ce sont les expressions abréviatives des fonctions (290) du rayon vecteur ?% où se trouvent engages les [j. , V, coefficients des séries (284«) qui représentent les composantes, suivant ce rayon et suivant sa perpendiculaire, des forces A', B', agissant, conformément aux (264) et (267), sur les points de l'intérieur, à la manière de la pesanteur ou de l'inertie.
Les A, B ne sont point ces forces, mais sont comme les C , D., des
constantes arbitraires devant se déterminer au moyen des conditionslimites à remplir au bord de la plaque. Si la plaque est entièrement libre, et soumise seulement à des forces données appliquées sur sa surface péripliérique, ces conditions-limites sont définies par les deux dernières équations (280 c) du § 75. 11 est facile, moyennant quelques calculs, d'introduire dans ces équations (280 c) les variables p et 9 au lieu de Ç, •^; d'y substituer la différenliation par rapport à r, 6, à celle qui est prise par rapport à «, b, et de développer les forces U', V [des (267 b), (268)] agissant sur la surface latérale, en fonction des sinus et cosinus des multiples de 0, comme on l'a fait pour les forces A',B' [des (264), (268)] également extérieures, mais agissant sur tous les points ou éléments de l'intérieur. Ensuite, en comparant les coefficients des sinus et cosinus des mêmes multiples de 0 dans les deux membres, et en égalant ces coefficients deux à deux, on obtient les condilions nécessaires pour déterminer les A, B, C,D.
Je vais considérer simplement l'hypothèse où la })laque a sa périphérie rendue fixe, de sorte que les éléments du bord ne puissent subir aucun déplacement. Alors les dernières équations (280 c) ne donnent que la valeur des forces de résistance nécessaires pour produire cette immobilité. Mais, pour la détermination des constantes, on a comme équations de condition, pour r = R, R étant le rayon de la plaque :
ou, ce qui revient au même :
9 = 0, 0 = 0. aussi pour r = R.
