TT). — PETITS DÉPLACEMENTS PERPENDICULAIRES A LECR PLAN
On peut donc revenir aux é(]iiations (204) ou (21)4 b} et yfaire P ^ 7 ' I' ■> 7 ? P ' 'Z' <^'8^'^w^ ^i zéro pour r = I», ce qui donne immédiatemenl d(Mix équations du premier degré pour déterminer A. et C., et deux autres pour déterminer B et D.; d'où très simplement les valeurs suivantes à donner aux coefficients A, B, C, D pour satisfaire à la condition-limite qu'on vient de spécifier :
2(ig. „
Bo-(l-9')(Qo),.„,
-p:Ur'
Il ' iP— p.q:> „
Et lo problème se trouve ainsi complètement résolu.
g 75. — Petits déplacements d'une plaque circulaire plane, perpendiculairement à son plan moyen.
L'équation différentielle (282) de la fin du ^ 73, où se trouvent engagés au 4" ordre les déplacements inconnus '^ des points d'une plaque plane, perpendiculairement à ses bases, et qui est applicable lorsque, parallèlement à celles-ci, il ne s'exerce qu'une tension uniforme, ou la même partout et en tous sens, se traite d'une manière beaucoup plus facile. Imaginons la surface médiane divisée par une série de cercles, ayant tous pour centre celui de sa périphérie, et une série de rayons partant de ce centre ; nous aurons un double système de lignes orthogonales, c'est-à-dire telles que chacune d'elles coupe à angle droit toutes celles de l'autre système. En outre, à chaque ligne d'un des systèmes (à chacun des cercles concentriques) correspond une valeur particulière de r, et à chaque ligne de l'autre système (à chaque rayon) une valeur particulière de 0.
Si maintenant «, b sont les coordonnées rectangulaires primitives, r et 6 les nouvelles variables correspondant à ce nouveau système, nous pourrons appliquer la formule générale (102) du § 55, page 228, pour la transformation d'une expression où 1-es différentielles sont prises par rapport à des coordonnées rectangulaires rectilignes telles que rt, b, en expressions où elles sont prises par rapport à des coordon-
nées orlliogonales quelconques, telles que r, 6 ; formule qui est, pour une fonction B quelconque, soit des premières, soit des secondes coordonnées :
-Bn . o'-Bn
c'a- ob' y^
et dans laquelle A et B sont, d'après l'expression (279) du môme § 55, les coefficients de la formule
ds- = Xdr~-i-BdQ-
qui exprime en fonction des éléments dr, d6 des coordonnées nouvelles, le carré d'un élément ds d'une ligne courbe plane quelconque.
Dans le cas dont il s'agit, un peut toujours imaginer un petit triangle rectangle dont l'hypoténuse ds aurait une grandeur et une direction quelconques, et dont l'un des côtés de l'angle droit coïnciderait avec la direction du rayon ?- mené à l'une des extrémités de rfs. La longueur de ce côté est donc la distance rfr des deux cercles concentriques passant par les deux extrémités de ds; l'autre côté de l'angle droit est un petit arc de cercle n/0. On a, par conséquent :
ds- = dr--i-r-dQ-.
En comparant cette expression avec l'expression générale de ds^ cidessus, on déduit
de sorte que la formule générale de transformation devient
Cette formule appliquée à l'équation (282) en prenant
ca- (Jh- Vr^ r o'r r- ûd-
(*) Il était sans doute intéressant de déduire, ainsi que le fait ici Clebscli, cette formule de transformation (294 c) comme cas particulier de celle (102) du î^ 53. qui est applicable à tous les systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales.
Mais elle aurait pu être obtenue directement, au moyen des relations a := r ces 6, /> = ?sinÔ et de celles (102 a) qu'on en a déduites à la première partie, d'où, facilement, les dérivées de divers ordres de D^ ou de ç sur o et b, en fonction de leurs dérivées sur 7- et 0, comme il a déjà été fait au connnencement du g 74, form. (285) pour les dérivées du premier ordre.
§ 75. TETITS DÉPLACEMENTS l'EIiPENDlCULAlRES A LELll l'LAN. 765
donne
ca-'cb- cb'
c v'^ r- ( r- /■■• ir
do sorte que celle équation (282) prend la forme suivante
r"' or
r cr
6-^ pf-'- 2."- ^ i.^ 12^,(1 + t)0 g [,^ c (i- [)■' c >•'- r^ ( r r' ' /t- r-J r' cO"^
où [form. (282 a)]
6A ^ f ii \
-fj
Imaginons maintenant la fonction C H — -, — -\- -^ développée suivant la série des sinus et des cosinus des multiples de 0, c'est-à-dire écrivons :
(295a) G'H-^-hVT-=7o + Vi*^os94-y,cos2ö + ...+V|Sin6+7>iii2ö-f-.... où les coefficients y sont des fonctions de r seul, et ont des valeurs
r lit rnii
-=ti:{^'-'û-'-â.
0 \ ca
1 r^^-/^, ck"
cb
do
CCS zôd9
' TT Jo \ ta
-TT \ sin /9r/9.
Pour trouver l'expression la plus générale de la fonction ^ cherchée, satisfaisant à l'équation aux différences partielles du 4' ordre (295), supposons cette fonction développée de même en la série
(295 c) ;; = î„ +s, cos 9 4- '^2 cos 29 + H-'^j sin9 + .;.;sin 29 -j-
(*) CeUc première ligne du second membre de (294 e) peut s'écrire
r dri cr \r dr \ dr)\\
(**) Voir ci-dessus une note relative à la délermination, toute semblable, des valeurs de
766 CHAI'. Y, PLAQUES CIHCULAHIES :\1LNCES.
OÙ Co, sj, etc., ne doivenl plus être fonclion que de r. Les deux membres de l'équation (295) se transforment ainsi en développements analogues ; et comme il n'y a de différcntiations à faire que par rapport à r et nullement par rapport à 0, si l'on com})are, a})rès qu'elles sont faites, les coefficients des sinus et des cosinus égaux, on obtient, pour la détermination des!;., l'équation suivante :
or r c r' r^ c r- i" cv h- \c r- r c r
42^„rH-9')V
et pour les 'i'. une équation idontique, avec y! au lieu de y. au second membre (*).
11 n'y a aucune difficullc à trouver les intégiales générales de ces équations sim[)lement différentielles, en négligeant d'abord le second membre, puis en développant les intégrales en série, ctensuite en tenant compte des seconds membres au moyen de la variation des constantes. Cependant pour simplifier nous poserons, dans tout ce qui va suivre, ()(, = 0, ce qui revient à supposer qu'il ne s'exerce sur la plaque aucune tension dans le plan de la surface médiane. On peut encore, dans ce cas, procéder comme on vient de le dire pour trouver les intégrales des équations, mais ou peut arriver au résultat d'une manière plus simple, et sans avoir besoin d'aucun développement en série. L'équation ('290), dans laquelle on a fait ?„ = 0, peut en effet se remplacer par la combinaison des deux suivantes :
^r^ "* r cr r' ~~ E'Iv ^'' ~ a,/i^ ''' * £'-i. 1 ^'? a.
or'- r cr r-
En effet, la première de ces équations, lorsque l'on y remplace ü par sa valeur que fournit la seconde, devient identique à (296) après qu'on y a fait <)„ = 0.
Si l'on néglige d'abord le terme dépendant de v et si l'on essaie d'exprimer L'^ et Ü ou moyen de puissances de r, on trouve facile-
OOÙ ion peut iah.cl^ = L;,+,«^|:^o^;î.,,^^
§ 7à. PETITS DÉPLACEMEiNTS PERPENDICULAIRES A LEl'R PLAN. 707
mentquerintégrale complète de ces équations est exprimée par
où A , B , C , D représentent des constantes arbitraires. Si l'on veut maintenant tenir compte du terme en y. dans la première équation (297), on devra, d'après la méthode de la variation des constantes, considérer les A, B, C, D comme des fonctions der. Mais comme, ici, pour chaque l'onction '^ on a introduit quatre constantes, on peut admettre, entre ces quatre grandeurs, trois relations arbitraires quelconques. On choisit ces relations de manière que non-seulement C, mais encore ses trois premiers quotients différentiels (c'est-à-dire le
du. . . . . (/£}
premier —' ainsi que Ü qui contient aussi le second et -^ qui les dr ^ dr
contient tous trois ainsi que 'Ç) conservent exactement la même forme
que si A,B, C, D étaientdes constantes, c'est-à-dire de manière que chaque ibis, dans la formation d'un quotient dilférenliel de l'expression (298) de 'C,., on ait zéro pour rensemble des termes provenant de la différentiation des A, B, C, D. Cela donne les conditions
.d\. .^,r/ß. 1^/C. 1 d\) di- dr^ r' àr r"' '/''
. ,f/A ,. ,^/ß. i d'ù. i—2db.
(299)/0=i/-'yH-(^+^)^'V--7:nV--7^ T^' ^ ' ^ di' . dr /.'^' dr ,.' ' dr
o^z(i-i)r'-V'-^(^"-+^^)'^ + ^KT-+-7^-r+ -r>
^ ^ dr ' ■ dr ,.' ^- dr r^ dr
et, avec cette hypothèse, il ne reste plus, des équations (297) ou de l'équation (296), que la suivante :
!v^^i(/l)(i 2)r^--^'^+(/H-2)(i+l)ty-
dr
(oOOj 1
i {i + 1) (i + 2) dC. {i — 2) (i — 1) i d\)^
r'-^'' dr /^i dr
(*) En effet, faisant ç.=:r dans la deuxième équation (597), on trou\eü = Ot- — i-)r
ijui, substitué dans la première, rendra son premier membre :=(«- — i-) Un — 2)- — iA /■""* qui s'annule pour h = z, » = — /, n^^i -\- 2, n = — [i — 2).
768 CII.VI'. V. • PLAQUES CIUCUI-AIRKS Ml.NCES.
Les quatre équations ('299) et (500) suffisent pour déterminer les quotients différentiels des A, etc., qui y entrent d'une manière linéaire; et, ensuite, on pourra, par intégration, déterminer les coefficients A,... eux-mêmes. La solution de ce système d'équations se trouve d'une manière élégante si on le remplace par celui des quatre suivantes, qui s'obtiennent en divisant d'abord les trois (299) par des puissances de r telles que les exposants de r soient les mêmes que dans (500); ensuite, en ajoutant, à la troisième (299), la seconde ; enfin, en ajoutant, à celle (300), la seconde et trois ibis la troisième de celles (299) :
, .(lA. , ,r/B. 1 r/C 1 d\)
. .dk , ,r/B. i dC. i — 2db „
"■ dV'^^^'^'^'' 'dF~7^' dr~ r'^^77 "
. .d\ , ,r/B P dC {i — 'iy-dD. ,.
dr dr y'^'' dr ,.'^' dr
. .d\. ■ , ,^/B. V dC. {i — '>y'dd. 12(1 — n'^)
dr^- ^ dr—r'^'dr r'^' dr E7i^
Dans ces équations, on peut considérer comme inconnues les quantités
.dh , ,dB ] dC. l dï).
et les coefficients respectifs de ces inconnues sont alors les puissances 0,1,2, 5 de
On sait, d'après les éléments de l'algèbre que si l'on a un système d'équations de la forme
•rj+.r,-!- +.r„=:0,
la valeur des inconnues est donnée par la formule
§ 75. — PETITS DÉPLACEMENTS PERPENDICULAIKES A LEUlî PLAN. 709
dans le dénominateur de laquelle on doit, bien entendu, ne point mettre le faeteur {a — a) qui est nul. En appliquant cette formule aux équations précédentes on trouve immédiatement, pour les inconnues, les valeurs suivantes qui, en effet, substituées dans les quatre
équations, qu'on peut diviser toutes par c,vn-! ïi> donnent des
identités,
'' dr ~ -it' (/ — 1 ) E7t^' ^i ' r' ^ ' d'' ~ '^^ 0- -^ ^ ) E'/t- ^''
^^rfB^ 5(1-9'-') 1 t/D. 5(1-1)'^)
dr ~ i>i (^• H- 1 j E'/r- ^^ ' /-^ ' r/r t>i (i — 1 ) E7r ^'"
D'où, par intégration,
3(1 — 9'-') i^ny.dr 5(1—9'-) T , + -
/^=2r(ï=T)Wj'- 7^ + ^'^^ = -2i(. + l)E'/.Jo V ^^'- + »1,,
9iii+i)E'h^Jr T^'-^-L'' ^^=2i(^-l)E'Ajo '^' ^^''+^'
OÙ lesK, L, M, N représentent des quantités constantes réelles. Deux d'entre elles se déterminent immédiatement ; car, pour que la valeur de î: ainsi que celles de ses quotients difféientiels des quatre premiers ordres qui figurent dans les équations (297) ou (29(i) et qu'on tirerait de l'équation ('298) ne devienne pas infinie pour r = 0 lorsque, dans cette équation (298), on introduit les valeurs précédentes des A, B, C,D, il faut que l'on ait M. = 0, N. = 0. Si donc, pour abréger, on pose
z. étant par conséquent une fonction parfaitement définie, l'expression
(') ISous navons pas besoin de rappeler (voy. ci-dessus g 16, p. 84) que dans toutes les formules de l'auteur, il y a E et r) sans accents, parce qu'il suppose ses plaques complètement isotropes, ce qu'elles ne sont jamais; et que si nous mettons E' et t)', c'est parce que nous ne supposons l'isotropie que dans les directions parallèles aux faces de la plaque, E' exprimant le module d'élasticité, E^ = Ej, de petits prismes de sa matière ayant leurs arêtes parallèles aussi à ces faces, et i)' étant le rapport, à leurs extensions longitudinales, des contractions latérales qui en résultent.
De telle sorte qu'on a (281 fl), — —^ ^ -, ai étante a — — =b ^2{-Lf'— ËJ.
770 CHAr. V. — PLAQUES CIRCULAIUES MINCES.
la plus générale de 4. deviendra :
Les ras de i = 0 et i = 1 exigent un calcul particulier des :, A, B, C, D. Dans ces deux cas, l'intégrale de réquation'(29G) n'est plus représentée par la forme (298) ; mais l'un a(lelogarithineélaut, bien entendu, népérien) :
ï„ = Ao H- Bor^ -1- (Go H- Do^i log r,
r^ = Ajî- + \],r' 4- t+ V log r,
qui satisfont bien à l'équation (296) avec t^„ =: 0, -{.= 0, si l'on y fait d'abord i = 0, ensuite i= \. Et, au lieu du système (209), (300), on a les suivants :
Pour i = 0,
-j^ -{-r' -y-" H-logr -j-5 +;--logr -r^ = U ; (ir (Ir ar ^ dr
2 r/Co 2 f/D„ 12(1— t)^^)
/•^' (/r "^ r dr ~ E'h^ ^"
et, pour i = I,
f/A, . f/lJi 1 dC, , , rfDi
r -7-' + ?■■' -r-{ J-' + r log r -y-i == 0 ;
dr dr r dr dr
f/r r/r r- dr ° dr
,. (/B, 2 dC, 1 ^/Dj ,, Or — ' + - -yi H- - -^ = 0 ; r/r /" r/r r dr
** 7F r' dv r- dr ~ lYlr- ^' ' cl l'on obtient :
'I.K r.(l-n-^)YorMl-log/') A|^ -^(i— y^) /'\,r.(,l lo.,)rfr-
^ 75. PETITS DÉrLACEME>TS. GOîsDlT. LIMITES, CAS d'eNCASTIŒMENT. 771
.ü, r.(l-Q-^)y.rnoo-r ^ - K - ^^^-'^^^' H Y r^ lo^^ /• dr ■
dr - E7r ' A,Kj- g,^^„ j^ r./ lo„ / ^// ,
dr AWh' '
dr 4E'/r
r/r ~ E'A-' ' ^'-'^' E'/r- Ju ^'
On doit encore ici annuler les constantes M^, N„, M,, N^ pour que ni les valeurs de ;:„ et de r^ ni les valeurs de leurs quotients dilléientiels, ne deviennent infinies pour r= 0. Si, par analogie avec (501), on désigne par z^, z^ les fonctions
0= ^y,^ j— l Yo'-'(l-logr)^/r+r2 j^ y,r{[ + \osr)dr
+ Iog)' 1 TorY/r-f-/'-logr / y^rdr ,
I Y,rV/r — rlogr i Ti /'-(//• , les valeurs de Co > 'Ci peuvent s'écrire
^i = 2;i+KirH-Li/'^;
ensorte que, pourvu qu'ony donne à :„ 2-^ leurs valeurs (505) non comprises dans celle (501) de z., les expressions des :; sont toutes contenues dans la formule générale (502) :
Les expressions des 'C sont, de même, comprises toutes dans la formule
-;=.;+Ky+L/-;
et les valeurs de :;'. se déduisent de celles de :-. en y remplaçant v. par y;.
Il reste enfin à déterminer les constantes K, Lau moyen des conditions limites. J'admettrai que la plaque soit maintenue de telle façon que, par une sorte d'encastrement, ses éléments extrêmes restent
772 CHAr. V. PLAQUES CIRCULAIRKS MINCES.
nécessairement parallèles au plan primitif de la surface médiane. Alors, pour r ^= R, on doit avoir non seulement ï = 0, mais aussi
or
Ce ne sont donc pas seulement les z, z' qui doivent s'annuler, mais
encore les ~i -^r quand on fait ?'=:R dans leurs expressions. Les concir dr
ditions à remplir sont ainsi
dr
avec des formules analogues pour les z'. On en déduit les valeurs suivantes de K., L. :
"(1) ,-<'+-^'W„.„ -r(I') h->(-vU„
Pour les K', L' on obtiendra des valeurs tout à fait semblables,
a cette seule différence que z doit être remplacé par z'. En introduisant les valeurs ci-dessus dans l'expression (302) de C^, on trouve enfin, pour cette fonction, la valeur suivante, qui est complètement déterminée et qui convient même pour i = 0 et z = 1 , en donnant, bien entendu, à 2^ et à z^ leurs valeurs spéciales qui, comme on d vu, ne sont pas des spécifications de celle de 2. pour i= 0 et z =1 :
Iz. \ r' / d
^,=^.+ «;^-('+äK i-,- R-^'-
'''' 7,. = ,;2K' V 'ir 7,. = k2R'^*
I ~ ' 211'^' V^^'V,^,, 2rV^' ' ^""^'^^^
et ç'. =unc formule semblable avec des z'. au lieu des z..
^ 76. — Flexion, par un ipoids unique, d'une plaque circulaire horizontale, encastrée à son bord.
Dans ce qui précède, la soliilion du problème est ramenée au calcul de certaines intégrales qui se présentent dans les fonctions (301) et (oOr»), cl qui dépendent des forces extérieures agissant sur les points
§ 76. — FLEMON PAR UN POIDS D UNK PLAQi:i-: ENCASTlil';::. 775
de rintéiieur de la plaque. Je vais maintenant considérer le cas particulier d'une plaque circulaire horizontale chargée uniquement d'un poids qui y est appliqué en un point déterminé. On peut, avec une grande approximation, traiter ce prohième comme si le poids était remplacé par une force donnée qui agit uniformément sur tout l'intérieur d'un élément cylindrique vertical, ayant une hauteur égale à l'épaisseur h de la plaque et une base très petite dont le centre est le point d'application du poids. Le cas où il y aurait plusieurs poids appliqués en des points différents se traitera absolument de la même manière; les déplacements produits alors ne sont autre chose que les sommes de ceux qui seraient produits par ces poids isolément.
Soit donc un seul poids; imaginons à sa place une force très grande C/ agissant, disons-nous, sur tout l'élément cylindrique de volume dont la base est l'élément dz de la surface médiane de la plaque; force supposée telle que C'(h s'approche d'une limite finie égale à un poids donné P; et supposons qu'en dehors de cet élément, C soit partout nul.
Si nous nous reportons aux définitions données à la fin du i? 68, p. 664, d'abord à celles (263 b) de A, B, C, forces agissant sur l'unité de volume des éléments infiniment petits en tous sens da dh dz = dz dz
de l'intérieur de la plaque; puis (264) de C'= / Cdz, le / s'éten-
dant à toute son épaisseur h; enfin de A"= / Az dz, B" = / Bsf/s,
sommes des moments des composantes horizontales A,B autour de petites lignes tracées sur la surface médiane parallèlement aux coordonnées horizontales 6, a, nous verrons que A", B" s'évanouissent, et que,
c I A " (7 ri//
dans les formules ci-dessus (295), (295 a), (295 b) , C -h ir- -h -rr doit être réduit à (7.
Nous pouvons prendre
di = rdddr,
OU nous représenter l'élément superficielle; comme un petit rectangle compris entre deux cercles concentriques de rayons r et r -f- dr, et entre deux rayons très voisins, faisant les angles 0 et 6 -f dô avec un rayon déterminé.
Voyons quelles seront, en conséquence, les valeurs des fonctions z définies parla formule (501), § 75.
Dans la composition de cette formule, il entre quatre mtégrales
