CHAP. V. — TLAQUES CIRCULAIRES MINCES
ayant les formes
I 'if{r)rdr et / ^f{r)nlr;
et les Y, ces fonctions de r définies par (295 a) comme étant les
coefficients de cos 6, cos 29, sin 0, sin 2ô dans la série
Irigonométrique suivant laquelle on suppose développée la force verticale C, sont, d'après les valeurs (295 h) qu'on leur a trouvées, de la forme
CT (9) (/ö
Par suite, les intégrales entrant dans les fonctions ;:• représentées Par (301), sont des intégrales doubles,
F {()).[ {r)rdr(h
étendues sur certaines parties de la surface médiane.
Appliquons ceci au cas présent d'un poids unique.
Comme C ne diffère de zéro qu'au point où se trouve pose le poids P, point qui peut être défini parles coordonnées polaires ?'o, 6„, et comme, en ce point, Crdi^ dO prend une valeur finie P, on voit que l'intégrale double qui précède a la valeur
0 ou P.F(o„) /■(,•„)
suivant que le point (O^, rj est à l'extérieur ou à l'intérieur de l'intertervalle où s'étend l'intégration. Or, l'intégration par rapporta 6 s'étend toujours de 0 à 2 t., c'est-à-dire sur la circonférence entière d'une bande circulaire ayant pour centre le centre de la plaque ; au contraire, l'intégration par rapport à r s'étend tantôt de Oà r, tantôt de r à R. L'intégrale ci-dessus, lorsqu'elle a pour limites 0 et r, a pour valeurs 0 ou bien P F (Oj /"(rj, suivant que r est plus petit ou plus grand que ?',j, et c'est l'inverse quand les limites de l'intégration sont r et R.
Pour avoir Jonc, en fonction du rayon vecleur r de tout point (le la plaque, les valeurs (oÜ5) et (501) de z^, z^^ z., qui y sont relatives Ici qui doivent, par substitution dans (505 (i) de la fin du § 75, fournir les valeurs des C^, K^, C,, coclficients de 1, cos 0, cos / 0,..., dans l'expressioii Irigonométrique (295 c) du déplacement verlical cberclié Ç de lout point (r, 0) de la surface médiane], on devra, dans les formules (501) et ^505) desi :
^ 70. — FLEXION PAR UN POIDS d'uNE PLAQUE ENCASTItKE. 775
Pour ?'<C''ü OU pour tout poiut plus rapproclié du centre que le [)oint r = )\, d'application du poids P, fairo les | =:0 et les 1 =PF (ô„) /(/•„);
Pour r >> /•„ ou pour tout point plus éloigné que le point /•= r^, faire les
r=Oetles /""==rPF(öo)/'(ro);
chaque /'(/',,) étant (particularisée pour î' = ?\,) la loiiclion de r qui multiplie les yrc/r sous le signe conservé 1 ou 1 , et F (0„) élanl, d'après les expressions (295 b) des y, page 765,
,"11 Pr \
. Pour Yo, sous les signes i ou I de (505) ou (501) -r-,
cos i o„
Pour y. (même quand i := 1^ Pour y! (même quand i=l)
TT
sin i I
En conséquence, les formules (501), (303) donnent pour les fonctions ::. les expressions suivantes :
Pour les points de la plaque où r<. r^,
( rro log r, -+- ^\ cos % ,
TzE'Il
Pour ceux où r^i\ ,
"inE'lr
,*l r-) logr,
(;^. +^'''olog?0 cosO„,
TvE'IV
'2i77L7i'' \^(i.i),.'--^ (i-f-l)/-/ Kt les z[^ ( ont des valeurs semblables où cos 6^, cos iO^
z'. [ sont remplacés par sinO^, sin /Oy.
Au moyen de cela, il est facile de développer les expressions comjiletes des C. et par suite C lui-même. Après quelques calculs qui
776 Cn\P. V. — l'LAQTîES CmCULAmES MINCES.
n'offrent aucune difficulté, on obtient les résultats suivants :
■C = Z„-|-Z, coslô — 9J + Z,cos2(0 — e„)+...+Zxos/(ô— 0J + ... (*) où, pour les points r •< r„, l'on a
„ o(l-i)'^')Pr , r' R2-r2 /r; \
{i H- 2) \V- — ir
2R'"-' et, pour ceux qui répondent à ?^> r^
^^5(l-p-^)Pr ^; R^-r« i/J il'i2^ jl\
