CHOC LONGITUDE AL. — PLUS GRANDS DÉPLACEMENTS DU POINT HEURTÉ. 480 U

On y arrivera si l'on considère qu'au commencement de cet intervalle I2a, le déplacement positif ?/„ croîtra, et qu'à la fin, après avoir passé par son maximum, il décroîtra. La dérivée (y) f(l) — f'[l — 2a), positive d'abord, finira donc par être négative. Si, par exemple, le maximum de w,, se trouve être dans l'intervalle Ç = 2aà i«,/^' (2a) — /"'(O) sera positif, et /'(ia) — f (2a) sera négatif. Or ces deux /"' ont entre eux la même diiïérence que /''(4a + s) et f'[^a-\-i), puisque ceux-ci sont justement égaux à ceux-là

-1--, ainsi que le montrent les expressions [z) (;;'^') des /"'et ainsi que nous le

remarquerons plus particulièrement au n° suivant [équations (//j)]. Le maximum de Vq se trouvera donc dans l'intervalle (^ = 2a à 4a si l'on a :

De même, il se trouvera entre 4a et 6a si - est tel qu on ait

(o') /■'(irt + z) — f'{Ga + s) > 0, et ainsi de suite.

Or, au n" 12 ci-après, se trouve déterminé (pour un autre et très important objet) entre quelles limites de grandeur le rapport de P à 0 doit se tenir pour que les conditions telles que (o), (5') soient remplies. On y voit que :

! Pour celle [o], f'{U + h) > f'{ia + s), il faut qu'on ait 0 < 5,C8CP (s) Pour celle (ô'j f'{Aa + s) > f'{G(i + t), il faut Q > .^j,(j8öP et < 15,82P ( Pour que /''(ô« + e)>/'(8fl + s), il faut Q> 15,82P et <25,t6P.

Supposons donc, en premier lieu, que ,^ soit entre 0 et 5,68G ou qu'on

ait ?> 0,17587.

Comme dans l'intervalle de Ç = 0 à C==2a, l'expression (p) de ?/„ se réduit

/ 2a\ à son premier terme nÇ^ |, sa valeur, donnée par (i'), croît constamment avec Ç jusqu'à la dernière limite 2a. Le maximum do v^ ne peut donc pas se trouver dans cet intervalle. Considérons le suivant; nous aurons à chercher le maximum de

ou, d'après les expressions (z") et {z') des f, en réduisant et en faisant usage de nos abréviations, le maximum de

(Ç) u,{de (:=2« à ia) = -^^-l- e-''^ -f- [2 + 2r{-q - 2)]c-''-''--' j.

La valeur de Ç ou de iq relative au maximum cherché sera obtenue soit en

480 V CUAP. lY. TIGES MINCES. — ^OTE DU § 60.

égalant à zéro la dérivée de cette expression par rapport à r\, soit directement, en prenant l'équation (y) qui est, ainsi particularisée,

!2û + ey ' \ z

Subsliluant aux f leurs expressions données par {z") et (z'), il vient :

Effaçons le facteur -e "^ qui, égalé à zéro, donnerait ■/] ou ^ = (,d= oc, so-

lution hors des limites 2a à k/, nous avons cette équation pour déterminer r, ou le temps du maximum de iIq :

Substituant dans l'expression (il) de ii^, l'on ol)lient:

(0) ?/o„,(max.- de ?/ü de w< = 2a à wi = 4rt)= y -( — 1 + :2e^â •^j.

Lorsque ^^ est un très grand nombre, e a est extrêmement petit; l'expression (■/]) do)uie t.)^ = trôs peu au-dessus de 2a, limite qui sépare les deux premiers intervalles. En même temps, comme le second terme de la parenthèse

1 — ô^"^) l'ona à peuprésî/p^^j=:-7y--( 1 — e^'y j,

expression qui se réduirait a -yy - si - était extrêmement grand.

Soit, en second lieu, ï^,> 5, 080 et < 15, SI, ou -entre 0,17.')87 et 0,07258.

Alors, d'après les conditions (e), l'on a

ce qui, en substituant les (:,"), (;'), donne, avec nos notations (a), dont le maximum aura lieu pour la valeur de -/-j tirée de l'équation

qui est, en ôtant le facteur commun -e "' : (x) 1 -2c(ri - 2)c^'+ [- 2r{r, - A) + 2r'^(r) - ■\y^e^' = 0.

Si l'on remplace son second terme par — 2r(ri — i)e"'^ — Are'' , et si on mul-

CHOC I.O>GITCDI>'.VL. — TLUS GRAXDS DÉPLACEMENTS DU POINT HF.URTF. 480 a;

tiplie tout par 2e *^ on a une équation du second degré en 2r{-r^ — ij dont on tire

Avant de substituer dans (t) les valeurs de n qu'on en déduira, simplifions cette expression (t) de ii^ en y mettant pour 2/'-(rj — 4)- ce qu'on peut tirer de l'équation (y.), elle deviendra

et elle fournira facilement les valeurs du premier membre répondant à celles der,, tirées de (À), qu'on y substituera et qui seront relatives aux valeurs

de T-j entre 0,I7o87 et 0,07238.

Nous avons calculé les valeurs du déplacement maximum Mq« de l'extrémité heurtée, ou plutôt celles de - —par les formules (6) et (y.); et nous avons aussi calculé, comparativement, pour les mêmes valeurs du rapport rr, celles de :r. -^ par les deux formules approximatives (b) et (c') du

n" 2 ci-dessus, pages ASOb et 480e, dont la première, réduite à \/f, ' est

ce qu'on a par la théorie élémentaire usitée, négligeant tout à fait l'inertie de la barre, et dont la seconde est ce qui est obtenu, comme nous avons dit à la fin du n" 1 en en tenant compte, aussi élémentairement, par une certaine hypothèse qui sera plus particulièrement expliquée pages 577 à bSb pour le choc transversal, et qui donne

{C) '^"^^ ^P aulieude(/>) ;^^" = v/^.

wuom P ^,735,5151

Val. de^-. — pourpre 2-r--l t-tôt

Vö *^Q 424 4284

d'0Ùv7= -2.0fl4t3 2.0086 2,0186 2,0528 2,0677 2,1488 2.5679 2,6506 5,1215 Par (Ö) et (a) = 0,i9Ü9 0,d.ï15 0,6559 0,7557 0,8691 1,0519 1,5298 1,3448 1,9072

Par{&),W^= 0,7071 0,7360 0,8163 0,8944 1,0000 1,1317 l,il42 1.6530 2,0000

Par(c')= 0,3485 0,6007 0,6667 0,7313 0,8660 1,0528 1,5095 1,5596 1,9216

On voit, par la ligne [h) comparée à la ligne (6) et {i>) que la formule vulgaire

— = - V /f = VV / — = Vv/-F^» dressée en néglifreant l'inertie de la a ojV 1' Va V ^Eas' ^ °

barre, donne, excepté pour les très petites valeurs de .^r, des résultats très

différents de ceux que donnent les formules (0) et (pi) ; et que, excepté pour les

P ?'o( V /Ô ï rares valeurs de - excédant 2, la formule [c') -^ = - /^ — donne

des résultats fort approchés de ceux (0) et {y) de la théorie exacte de M. Boussinesq; en sorte que lorsqu'il ne s'agit (lavoir que le plus grand déplacement Ihm du point heurté, on peut, dans la pratique, se servir de cette formide (c'), dite de deuxième approximation, aussi simple que celle {b) de première.

Mais quand il s'agira d'avoir les plus grandes dilatations ou de poser Véquation de résistance au choc, la formule (c') éloignerait encore plus des vraies valeurs que ne ferait celle (b), comme on verra à une sous-note de la fin du n» 13, p.. 480 ce. C'est une singularité qu'ofjrira aussi le choc transversal (Voir aux Ciiangemonts et Additions, p. 895). Il faut donc, sur ce point essentiel, recourir à l'analyse exacte, comme nous allons faire.

12. Loi des valeurs successives de la dérivée f dont dépendent les dilatations ou contractions prises par les éléments de la barre pendant la durée du choc, ainsi que dans le commencement de la détente libre qui le suivra. — Nous pouvons maintenant passer à la troisième et plus essentielle question, celle de la détermination des plus grandes valeurs numériques qu'atteignent

ou les dilatations <) = 7^. Elles dépendent des dérivées f'{i) de la fonction /"(Q

qui définit les déplacements u.

Étudions donc tout d'abord la loi de ces dérivées. Elle nous sera révélée en retournant à l'équation (/) n° 8, obtenue par une première et simple intégration des divers termes de celle (s) de condition de jonction de la barre

et du corps Q. Cette équation (/) peut s'écrire, si on remplace - F ( -j par la

valeur — que nous lui avons reconnue altribuable, en écrivant celle {v) :

(fi) f'{^) = r{l-2a) + j! -JL [/■(!:) + /-(^- 2«)] j.

Or la dérivée f (ï) + f (c— 2«) du binôme affecté de 7^ dans le second

meiiibrc, représente, si on la multiplie par Ea- et si l = r-)l, la pression

E, ( — ^ ) = Et [r(wO -\-f'{Ml — 2a)] que le contact et l'action du corps

V <^/ =0 heurtant fait éprouver à la base o- ou section ^:=0 de la barre Cette action est positive t;iiit (pie le contact dure; donc le binôme f{'i)+f{'i — 2a) est jl