CHOC LO-NGITUÜINAL. PLUS GRANDES DILATATIONS OU CONTRACTIONS

une quantité croissante avec X tant qu'il n'y a pas séparation du corps heurtant Q. Donc la quantité entre accolades du même second membre de (/;) est constamment décroissante lant que cette séparation n'est pas encore faite.

Or, dans le temps où i^=Mt ne varie que de 0 ou î à 2a, le premier terme f {■; — '•2a) du même second membre est nul d'agrès ce que nous avons dit, au n" 8, de la nullité de la fonction /'de toute grandeur négative.

Donc l^la dérivée /"'(!;), qui occupe le premier membre, décroît du com-

mencement à la fin de cette première période, où elle est /' (:==" j . 11 suit de là, 2" que pour ;=: de 2a H- z à ia, le premier terme du second membre de (/;), qui est alors f ('i — 2a =' j , décroît constamment lorsque X. croît ; or il en est toujours de même, avons-nous dit, du deuxième terme, compris entre accolades. Donc la plus grande valeur de /' (-- = <,) , )

p dont l'expression en ^ i=w/et- se trouve donnée parla deuxième formule (s")

ci-dessus, a sa plus grande valeur pon.r r = sa limite inférieure 2a -+- 1.

3", 4«, Par une raison tout à fait semblable, lorsque -. variera de

4a 4- £ à6a, sa plus grande valeur sera celle qu'elle a pour sa limite inférieure x^Aa + z; et ainsi de suite. Donc jusqu'à l'instant où il y aura séparation,

(,e. fondions ,( ,^5;). ,(,= .^^^ ^), ,(,= J« ^)

' ^' M ont pour leurs maxima : /"(î), f [ia + i), f'{Aa-\-i)

' et pour leurs uiiniuia: /"' (2fl), f {^(')-> /'{o^)'

Or, d'après les (:;') à (5"') l'on a, en ne négligeant que des termes en t,

CO r[^=l' r(2«) + ^=r(-^«+o, r(4«)+; =rt.4«+3), etc.

La marche des valeurs de fil) se compose donc. 1'^ entre ses minima ef

ses maxima, d'une suite de bonds ou d'accroissements rapides - d'une du-

rée imperceptible telle qu'est-, et 2° entre ses maxima et ses minima, de dé-

croissements continus ayant des durées -, ou sensiblement ^-.

Cette considération conduit aussi à prouver que le choc se terminera nécessairement. En effet, quelque discontinue que soit analytiquement la marche de sa dérivée /"' {%), la fonction f (:) ne cesse pas de varier continue-

ment. Le binôme/" (:)+/"(:; — 2a) qui entre négativement, multiplié par ^.

dans le second membre de (f), ne cesse pas de s'accroître , même dans le

480 a« CH.vr. iv. ■ — tiges minces. — note du § 60.

passage d'un intervalle '2a au suivant; la différence f'{l) — /' (c — 2«) tirée de (/i) finira par s'annuler; puis elle deviendra négative, et croîtra négativement d'une manière de plus en plus rapide; et, même, il finira par y avoir annulation de chacun de ses deux termes f'{%) cif'{i — 2a); d'où aussi

Pu colle de leursomlne qui est — , et par conséquent , annulation de l'action

mutuelle de la barre et du corps Q, et leur séparation nécessaire.

On verra aussi que les maxima successifs f {z), f (2a -h s), f (4a -i-î),... forment une série d'abord croissante, mais qui ensuite est décroissante, et

de plus en plus jusqu'à la fin du choc; que la vitesse (-77) =3oj[/''(w< —

f {r,)t — 2a)], positive dans le temps de leurs accroissements qui est aussi le temps de la compression grandissante de la barre, deviendra négative dans un temps qui sera celui de la délenle de la barre contre le corps Q, en attendant &2L détente libre qui aura lieu lorsque ce corps aura cessé de lui être uni.

Et que deviendra la barre après l'instant, soit t^t^ de cette désunion, ou dans l'état, dit de détente libre, qui la suit?

Les déplacements de ses points seront toujours régis par une expression de la forme {p}, n = f{ut — z) — f[',it-\-z — 2a), qui n'est, en effet, que la traduction de l'équation aux dérivées partielles [g] jointe à la condition (w)^ ^^=r 0 de fixité de son extrémité non heurtée r = a.

La fonction arbitraire devra désormais remplir une condition nouvelle pour l'autre extrémité, puisqu'elle est devenue libre. Ce sera,!;^ étant la valeur, pour /= /j, de sa variable quelconque <;= ou >> q,

('•• (ë):.=,r^' '''''" /"CO— rCC-2«), donnant /■(•C)^/'(!:,)|/-(v 2«)-/-.(!;-2ö)j

Sans nous attacher à déterminer ici cette forme nouvelle de f qui, comme on voit, sera ou deviendra bientôt périodique de période 4a, avec alternatif changement de signe dos f de chaque demi-période à la suivante, il suffit à notre essentiel objet de remarquer que la barre sera, pendant celte détente, dans le cas d'éprouver des dilatations égales aux contractions précédemment subies, et réciproquement.

Or, à égalité de valeur numérique, les dilatations sont plus dangereuses,, comme on a vu au n" 11 de la Note finale du § 57, page 270.

Il conviendra donc, en posant l'équation de résistance (ce que nous considérerons à la fin du n° suivant, 13), d'y introduire les plus grandes contractions, produites vers la fin du choc, sur le même pied que si c étaient des dilalalions.

13. Plus grandes dilalalions ou contractions. — Les considérations précédentes sur la suite des valeurs prises par f {i) vont nous éclairer dans la détermination des plus grandes valeurs de la dilatation î), dont l'expression générale est fournie par :

On ne peut pas se servir du procédé analytique ordinaire pour déter-