CHAP. V. PI.AQTIKS CIRCULAIRES MINCES

Elle est proportionnelle à la charge, proportionnelle à la surface du disque et inversement proportionnelle au cube de l'épaisseur (*).

§ 77. — Mouvements vibratoires d'une plaque.

A l'aide du principe ded'Alembert, on peut immédiatement déduire, des équations générales d'équilibre établies ci-dessus, les équations correspondantes pour les mouvements de la plaque. H n'y a pour cela qu'à ajouter aux forces qui agissent sur rintérieur, celles qui seraient nécessaires pour détruire les accélérations de chaque point (**).

Soient x\ y\ z' les coordonnées de l'élément dont le volume est dadbdz, et soit n le poids de l'unité de volume ; il faut, pour cet élément quelconque, ajouter les forces

~ 7. ~^7^ dadbdz , -^ dadbdz , -^-r- dadbdz ;

et, au lieu des grandeurs suivantes ('204), p. 664, qui figurent dans les équations (267) de l'équilibre intérieur, p. 668,

A' = r kdz , B' = r B'^^- ' G' =: r Ùlz ,

A" = f kzdz , B" = C Bzdi , G" = f Cidz

[') On tire encore, des expressions ci-dessus de ;■, Zq, Z,,.... Z., relatives aux points pour

lesquels r^^Q, une formule très simple, savoir celle qui donne la flèche centrale de courhure ç déterminée par une charge unique, P, posée à la distance ?•„ du centre. 11 suffit pour cela d'y laire r = 0. Tous les Z s'annulent, comme affectés de r, excepté le premier, Zoqui donne seul, alors, la valeur de la dépression ç, d'après la série ç=Zo-hZiCOS(o — 60+...

L'on a ainsi, en faisant ?•= 0 dans Z„et réduisant l si/t= 2e, ;j ;;; = a, j, la flèche

centrale :

expression qui est d'accord avec celle (d ^)-quc nous avons oLlcnue au n° 18, p. 2G2, de la Note du § -45 pour une plaque d'épaisseur quelconque encastrée au pourtour. Elle s'y confond en faisant 7-=0.

(") Ces forces (jui ont, ainsi qu'on l'a déjà dit § 14, jiour mesure les produits, pris en signe contraire, des masses des points ou élénjenls matériels par leurs accélérations, sont, comme on sait, ce qu'on apitelle aujourd'hui les inciiics de ces points ou éléments. On doit à l'oncelet d'en avoir introduit la cousidéralion d'une maniéie élémenlau'c et simple dans les Cours de mécanique pratique, en montrant par quelques faits sensibles qu'on peut les regarder comme lorces et les admettre au mémo titre (|ue les autres dans les équations, ce (|ui disjiense d'invoquer dans ciia(]ue question le piiucipe dit de d'Alembert, sous un énoncé obscur et autre que celui qu'il en a donné ilans ssa Uijnaiiùquc.

^77. MOUVEMENTS VIBRATOIRES d'iNE PLAQUE. 779

on devra mettre respeclivement

A'-irç^,,,, B'-?r$|:rf., c-'^f^ä..-

(j J et' g J (t- 7 J c i-

g J et- gj ci- g J c t-

les intégrales étant toujours étendues à toute l'épaisseur de la plaque, c est-a-dire de t = — - a ;• = -i- -• Si ;, a, <; désignent, après les déplacements, les coordonnées d'espace, ou rapportées aux axes tîxes des x', ?/', ;•' du point de la surface médiane qui est pris (§04, p. 652) pour l'origine [x = ^, y = 0, :=0^ des coordonnées mobiles x, y, ides points de l'élément dont il fait partie, on aura pour les coordonnées du point situé à une hauteur :• audessus de celui-ci, et supposé appartenir à l'élément considéré de la plaque :

x' = ; -f :• cos i.T',z) , ij' = g -h z cos {g',z) , ;.' = : + ; cos (z',z} ;

ou, vu ce que signifient a, S,-; (mémeg 64), les expressions suivantes, qui ne sont autre chose que les expressions (^ôl), p. 655, où l'un fait x = 0, !/ = 0, tîl où l'on néglige les v, v, iv comme d'ordre supérieur de petitesse :

Les six expressions écrites ci-dessus prennent ainsi les valeurs suivantes :

g ct-^ g et- Q et'

ïiJr c'a ^„ nh'' c'^'^ ,n/r"£2I

1% et- ['zg c î- llg c t-

En introduisant ces expressions dans les équations (267) à la place de A', B',.... C", on obtient les équations les plus générales du mouvement de la plaque.

Dans ce qui va suivre, je ne considérerai que les petits mouvements exécutés par une plaque perpendiculairement à son plan, lorsqu'elle s'écarte peu de sa position d'équilibre. On peut toujours supposer qu'aucune force perpendiculaire à la plaque n'agit sur son intérieur; car, d'après ce qui a été dit au § 14, les vibrations qu'un corps exécute autour d'un état d'équilibre quelconque qui résulte de l'action de forces extérieures, sont exactement les mêmes que celles qu'il exécute-

7(S0 CIIAP. V. — PLAQUES CIRCULAIUKS MT.NCF.S.

rait autour de son état d'équilibre naUirel. Ou admettra simplement, en outre, que les équations du mouvemenl, comme les équations correspondantes de l'équilibre, sont linéaires pour de petits déplacements. Cela se voit pour les équations (280), p. 685, qui définissent les déplacements et, par suite, les vibrations des points de la surface médiane de la plaque dans son propre plan, et pour les équations (281), qui définissent leurs déplacements ou vibrations perpendiculaires au plan delà mêmesurface, lorsqu'on y considère seulement la grandeur?. Mais on voit aussi que les déplacements de la plaque dans son plan influent sur ces dernières, puisque les coefficients des équations (281), p. 680, propres à donner les vibrations perpendiculaires dont les ? sont les amplitudes, contiennent les déplacements parallèles ?, y;. Les vibrations perpendiculaires à la plaque ne sont donc pas les mômes lorsque la plaque est soumise à des déformations diverses, parallèlement à son plan ; elles deviennent différentes lorsque, par exemple, la plaque est soumise tout entière à une certaine tension uniforme comme on l'a supposé en établissant l'équation (282), où ?,j représente la proportion de I-a petite dilatation î)^^ =z c*^/|ue produit cette tension! dans toutes les directions parallèles à la surface médiane.

Dans l'étude des mouvements tranversaux des plaques, je considérerai deux cas. Le premier sera celui où la plaque, tout à fait libre, est abandonnée à elle-même, cas sur lequel l'altenlion des mathématiciens et des physiciens a été appelée depuis longtemps. On sait en effet que, lorsqu'une pnrcille plaque vibre de manière à produire des sons parfaitement purs, il se forme certaines lignes, appelées lignes nodales, qui ne prennent pas part aux mouvements, de même que font les points nodaux d'une corde vibrante. Ces lignes peuvent être rendues visibles par l'expérience connue qui consiste à répandre sur la plaque du sable fin qui s'accumule sur les lignes nodales et forme ainsi des figures variées, le plus souvent courbes, appelées figures sonores [Klang ßguren). Jusqu'à présent, ce n'est que pour des plaques circulaires que l'un a pu, d'après les travaux de Kirchholï, déterminer analytiquement ces lignes; cette forme de plaques sera donc la seule à laquelle on appliquera ce qui va être donné.

Le second cas, dont la solution est ordinairement dédnitedela théorie des corps parfaitement flexibles, sera celui d'une membrane fortement tendue, fixée par son bord et exécutant de petites vibrationssous la double influence de son élasticité et de la tension à laquelle elle est sonmise. Dans ce cas aussi, je supj)Oserai la forme circulaire. J'obtiendrai des résultats différant un peu de ceux qui ont été trouvés comme on

^ 78. MURAT. d'u>E I'LAOÜE. IJGNKS «ODALES DUES FIG. SONOIIES. 781

vient de dire au moyen de la seule théorie des corps parfaitement flexibles, de même que plus haut (g 61 ) ,j'ai trouvé, pour les cordes vibrantes, des résultats différant de ce que donne la série simple des sons harmoniques, à laquelle conduit la liiéorie ordinaire qui suppose aux cordes une flexibilité parfaite sans résistance à la flexion.

^ 78. — Figures sonores nodales d'une plaque circulaire libre

mise en vibration.

La théorie des figures sonores d'une plaque circulaire mince se rattache très facilement aux considérations du § 75, et en particulier à l'équation (295), p. 765, qui donne implicitement la loi générale des déplacements perpendiculaires à la surface médiane, exprimés en coordonnées polaires.

Revenons, pour un instant, aux équations (281), (282), p. 686, 688. Lorsqu'il y a mouvement, on doit, dans ces équations, remplacer C, A", B", par

g dt'' l'IgcC' ' \'2g è't''

et comme, d'après les §§ 72, 75, on a, pour de petits déplacements,

CCS {z,x') =a. = — (j, = —-~; cos {z,g') = '^ = (j^ = — ^., Ç)

(*) On trouve en effet, au § 72, équations (278), p. 682, ~ = q^-/ — rj-/^ + ^^^ ■/[ ; ^ =

= q-/ — Çj'/ -\- g;-/ +9///',, OÙ C' est ce que nous appelons ici Ç, car, p. ßSl, on prenait î = Ç' 4- !;", Ç' étant une valeur de Ç de première approximation, ou un déplacement changeant la surface plane de la section médiane en une surface de'veloppable qui, dans la question présente, est son plan primitif lui-même, en sorte qti'on a Ç' = 0. Ensuite on a •/ = y = = cos(:-, :■') = 1 sensiblement, et, à la même approximation, y' = yj = cos (a-, ;') := 0; y'^ =

= y2 = cos {y, z') — 0. Donc, sensiblement -~- = q.y, -~ = — qi, ce qui résulte également

des équations (279), p. 682, et des équations (280 «) et (280 b) du commencement du § 75, p. 681. Or on a, 5' et 6" équation (276 t), «" = qic.'^ — q-2cx.[ ; ß" = q^ ß', — q-2^'^ ; ou, en remplaçant a", jS" par a, ß, et a', = cos [y, x') ß'^ = cos {x, y') par zéro, et a'^ = cos (.c, x') ainsi que ß'^ =

= cos (y, y'] par 1, x = — q^, (3^(/i, ce qui démontre les deux égalités a=z ^,

ß^: — -^ que vient de poser l'auteur en se'contentant d'invoquer les §§ 72 et 73.

Mais, sans toute cette analyse ni ce retour à des paragraphes antérieurs, on peut remarquer que -y- Aa est la quantité dont deux petites droites parallèles aux :•, distantes de A«