CHAT. V. ■ — • PLAQUES CIRCULAIRES .MINCES

les expressions ci-dessus deviennent :

f \" R" Les deux combinaisons C + -r— + -rr et A" cos/>+ B" sin p que

( a cb ^ ^ ^

l'on icncontrc dans deux des équations (281), et ensuite dans celle (282) de la fin du § 73, deviennent les suivantes, dont la seconde n'entre que dans celle des deux (281) qui est relative aux points de la surface latérale, et où nous avons éprit, comme dans un paragraphe de la pre-

mière partie, au lieu du binôme-;^ cosy; H- 7-7 sin /j, la dérivée ^ du

déplacement l par rapport à la normale n à la périphérie de la section médiane :

. ^a "^ ^^è (j t^P \^ 12 U«^ cb') \ '

et A cosy. + B sm ;. H- ^ ^^ (^ j .

Dans le cas que nous considérons, aucune force extérieure n'agit ni sur l'intérieur, ni sur le bord du disque. Aucune tension, non plus, n'est communiquée à ce disque, de sorte que les déplacements longitudinaux i^-q n'existent pas, et que les C, A", B" se réduisent à ce que nous venons de leur ajouter pour tenir compte des inerties, ou que les deux expressions qu'on vient d'écrire doivent être réduites à leurs derniers termes. D'après cela, les trois équations (281), où il faut, encore, faire 11" = 0,V"=0, W' = ü, sc transforment dans les trois suivantes, dont la première remplace aussi celle (282) de la fin du g 73 et où l'on pourrait faire, d'après les formules (x), {z) de la note du § 16, 1-— n'2 1 2f 2f

Tune de Tautre, et, coupant l'une cl r.iutre l'axe des a ou des .r', ont glissé l'une devant

Tautre dans les déplacements des points de la plaque; que, par consé(luent, -~ est le petit

angle dont a augmerité l'angle droit primitif des petites lignes parallèles aux z et aux x' ou aux fi; ce qui est bien la valeur, prise en signe contraire, de a,, cosinus de l'angle de l'axe

fixe des x' et de l'axe mobile des : après les déplacements: et, de môme, ^ doit être égal

il — j5. Donc, etc.

g 78. — l'IGUllES SO.NORKS DE DEUX SOIUKS

[Ja' ^ ^a}[¥

cb' E'h'g

Cette équation doit ôlre satisfaite en tous les points du disque, et les conditions limites suivantes s'appliquent aux points de la périphérie :

(1—9') '^,sin'>+ ^^^cos->+2^^siny> cosy;

[( 0 cd'' CCLoO

+^'(S+fc)=«'

ai h

cos- p — ;;in-/;)

on Xca-

E'fj

On pourrait, dans ces équations, négliger les termes multipliés par h-, si ces termes ne contenaient pas précisément les quotients différentiels les plus élevés. Comme il peut arrivei', et comme il arrive en effet dans certaines circonstances, que ces quotients différentiels du second ordre contiennent des facteurs très grands, il est nécessaire, pour ne pas restreindre l'application des résultats, de conserver tous les termes.

Lorsqu'il s'agit d'un disque circulaire, il faut introduire les coordonnées polaires r, 0; les conditions limitcsdoivent ôlre remplies pour >' = R, et les éléments dn, ch de la normale et de l'arc de la périphérie doivent être remplacés par dr et rdd.

Il est facile de donnera toutes les autres expressions la forme qu'elles prennent lorsqu'on dil'férentie par rapport aux coordonnées polaires. On a déjà trouvé au § 75, comme particularisation d'une formule générale de changement de coordonnées rcctilignes en coordonnées curvilignes orthogonales la relation (294 rf), p. 764,

r cT

pouvant être obtenue aussi d'une manière facile, par différentiation de fonction de fonction, au moyen des formules (162 a) de la première partie, § 44, p. 520,

a = rcosO, ^ = vsinû,

i)a [h . 1 ta . 1 ih

— == cos 0 , 77: = sin o , - ^~= — sni o , - 7^ = cos o ,

o'r cjr Fa

cos 0,

er r cd "" ' r é 0

6 0 sin 6 or . . (5e cos 6

( a r cb cJb r

qui donnent, avec non moins de facilité :

CHAP. Y. — ri.VQIJES CmCULAIRES MIISCES.

ta"