JA

"~ = ~ COS- 0 4- -^^ sin 0 cos 0 H- -^y-, sin- o ,

rcB

~ sin 0 + -^ cos 0 , oa ôo

^aê)b

ainsi que les autres relations posées vers le commencement du § 75, à savoir (204 e), page 765, pcrmetlant d'exprimer toutes les combinaisons entrant dans les équations précédentes (505 c) qui, en faisant, pour abréger,

E'(jh'-

ou

^ifß'

prennent alors les formes définitives suivantes, si l'on remarque que, pour les points de la périphérie, il faut prendre p=^, en sorte que le trinôme et le binôme entre crochets des deux dernières (505 c) ne sont

autre chose que les valeurs qu'on vient de trouver pour -^ et pour

cJrXrc^ c^\r c)i

^-^ I ; enfin, que le ^^- et le ^ , toujours à la

en

périphérie, peuvent être remplacés par — et par-^:

' En un point quelconque :

or"

et à la périphérie, les deux conditions

ti,yf^ r,-,y \

pour

ou 1) — I .

Kxaminons maintenant les dilTérenlcs espèces de vibrations qui peuvent se produire dans la plaque. D'après les principes généraux expo-

§ 78. — VIBltATIÛ.NS. LIGNES NODALES QUI >'y I'ARTICU'ENT PAS. 785

ses dans le § 19, à l'occasion de la recherche des vibrations d'une sphère, p. 119, expressions (59), chaque son isolé produit par la plaque peut être exprimé en égalant 4 à une fonction des coordonnées, mullipliéc par cos ht -ou par sin /./; et alors la quantité h est déterminée par une équation transcendante dont les racines, en nomjjreinfmi, donnent les différents sons qui peuvent être rendus par le corps, un simple examen des équations (50i) montre que la fonction des coordonnées dont il s'agit peut être exprimée par une série des sinus et des cosinus de multiples de 0, dont chaque terme est multiplié par un cocflicient ne dépendant que de r et pouvant être calculé indépendamment des auties. En d'autres termes, la fonction Ç peut être mise sous la forme :

A CCS m 0 CCS /.• t H- B sin 7?i0 cos /.• t

mu mil mil ma

■ C cos m <> siii /,■ f H- D sin m o sin h, t

où //i, et l'indice n de l'ordre de racines dont on vient de parler, peuvent représenter tous les nombres entiers possibles de 0 ou de 1 jusqu'à l'infini, et où les A-,,^^^ sont ces racines de l'équation transcendante qui sera établie ultérieurement. Les A, B, C, D ne sont fonctions que de r. On peut voir immédiatement que lorsqu'on substitue cette valeur de ? dans les équations (504), aussi bien dans la première, applicable à tous les points, que dans les dernières, applicables seulement au bord de la plaque, elles donnent, affectés des quatre produits de cosinus et de sinus, des polynômes identiquement de la même forme en A ^ , qu'en B^^^^^, ou en C,,^,^, ou en D^^^^^, ce qui lient à ce que les dérivées par rapport à 0 et à ^ ne sont que d'ordre pair. On en conclut que A , ^mn-> ^'mn' ^mn P^uvent êlrc permutés les uns dans les autres sans cesser de satisfaire à ces équations (504), et que par suite ils sont égaux à une même fonction de r multipliée par des constantes arbitraires différentes ; de sorte que C peut être mis sous la forme

(oOo)

a COS ni 9 COS k t-T- ß sin m 0 cos k t

mil mil "mil mn

+ r ces m û sin k t-\- o sin m o sin k t

1 ma ma ' mn mn

OÙ R^^^^^ désigne une fonction de r, et les a, ß, v, $, des constantes arbitraires.

En introduisant cette expression dans la première équation (504), on obtient d'abord pour déterminer R^^^^^ l'équation générale

786 CHAI». V. — l'J<AQLi;S ClltCÜLAlliES MINCES.

(PR 2 (im 1 4- 2?«- cr-H 1 + '■2m'- dR m' — i

k^ r h' /dm dR ni'R \1

et des deux dernières équations (504) on déduit les suivantes

à satisfaire pour r = R

dm (\ dR m^ \

' \ I- ii'i^ 'vi mil I

(507) dr' ' \r dr

d /dm ïdll \ /2-n'dR o-n' \ h'k' dR

.\ ,l..î ' „ ,1.1 \ >.2 ^i.. ,.r. mil I

H mn

\di\ dr- r dr / \ /•- dr r^ »'"/ 12«'^ dr

La première de ces trois équations permet de trouver facilement les expressions qui conviennent pour R^^^^^, que l'on peut se figurer développé suivant les puissances ascendantes de r, commençant à un degré quelconque ; on peut donc essayer pour R^^^^^ une expression de la

forme

On n'a, dans celte série, posé que les puissances de r croissantes de deux en deux, ce qui est justifié par le résultat. Si, en effet, l'on introduit cette série dans l'équation (506), et si l'on égale deux à deux des coel'ticients des mêmes puissances de r qui se trouvent dans les deux membres, on obtient la suite d'équations :

[(i + 2)^ -m^] {i^-rn^) C. = - ^ (z^ - m^) Go,

La première de ces équations donne immédiatement les valeurs de î admissibles pour le développement en série; il en y a quatre qui sont

Mais, quoi qu'il laillc tenir compte de toutes (juaire dans la composition de la valeur de s, on voit de suite qu'il suilit de considérer les

§ 78. VlliRATIONS, FIGURES OU LIGNES NODALES. 787

deux premières i=:)n et i = — »i, puisque les deux autres conduisent évidemment à des séries comprises dans celles qui résultent de l'adoption des premières.

Les valeurs i=zm,i= — m présentent cette propriété remarquable qu'elles satisfont identiquement, non seulement à la première d'entre les équations dont les quatre premières viennent d'être écrites, mais encore à la seconde. En les adoptant, la constante C„ et la constante C, peuvent élre laissées arbitraires, et les autres se déduisent successivement des valeurs admises pour celles-ci. Par conséquent, aussi bien \)ouri=m que pour i= — m, on obtient des intégrales avec deux constantes arbitraires; et leurs combinaisons forment la solution la plus générale dont soit susceptible l'équation (500).

Mais on peut aussi laisser de côté la valeur /= — m. Car, pour cette valeur, la série contiendrait des puissances négatives, et par conséquent ne serait pas applicable au cas où, comme on le suppose, le corps considéré contient le point r=0.

Lorsque m = 0 ou m=r:l, les quatre valeurs )ii, — m, m -h 2. — m -f- 2, susceptibles d'être prises par l'exposant i de r dans le premier terme de R^^^^^, deviennent égales deux à deux, et ce cas exige une mention particulière. Les quatre intégrales trouvées par la méthode qui précède, et dont chacune répond à une valeur de /, sont alors égales deux à deux, et ne peuvent plus représenter la solution la plus générale de l'équation différentielle (506) ; mais les intégrales que l'on pourrait obtenir autrement contiennent logr, qui devient infini pour r=0; et par conséquent ne peuvent convenir à la solution cherchée.

Si, dans les équations précédentes, on introduit la valeur i=m, on a le système suivant pour la détermination de C,, C.

'iim-r-^k' h' k'-

0 = 16.2. 3. (m + 2j (m -ho)C,-\ . , '"" C, — -^C, ,

5 (»i4-5i k^ II- k-

Lorsque l'on pose, / étant un noaibre entier quelconque plus grand quezéro,

.' 1.2 j.{)n-^\)[m -+-'-l}.....{iu-j-J}

788 CHAP. V. l'LAQUES CIUGULAlIlIiS Ml.NCES.

toutes les équations précédentes se réduisent ù une seule,

Ott' ««'*

qui sert à déterminer p. Cette équation du second degré a pour racines

où la constante«'* est toujours donnée par (305 rlj «* = j~- •

On peut donc composer C. de deux termes ayant chacun la forme ci-dessus, et pour coeflicients l'une de ces deux racines ; en d'autres ternies, si l'on appelle p^^^^^ et q^^^^^des quantités égales à ces mêmes racines prises avec un signe contraire, ou si l'on pose

¥ ¥ I k'- /k' Il

96«'* V iö«* ' V'je«'' (507 a

Il A / mn

W* "~ V iö^*

■l mil fw; , V \/ I iî „i •"

tini ^^ 4 / mil , / uni I

dételle sorte que q désigne toujours un nombre positif, ci p ^ un nombre négatif, l'expression la plus générale de Cj sera la suivante, qui contient deux constantes arbitraires Jb, 3J :

., __i yj '^Piiii-^^<i,i .

^' ' 1.2.....j(m + l)(mH-'2) {m-+-j}'

et, par conséquent, en attribuant aux deux constantes Ai, S, ainsi qu'à celle C,, dont la valeur n'est pas donnée par cette expression, des formes plus propres à obtenir une formule symétrique, à savoir en faisant :

^ = Kii is/pf ' y^ = \ii W7j)" . c„ = A,„,, (v/;-)'" +li,„„ {^7jf ,

la valeur la plus générale de R^^^^^ applicable au cas qui nous occupe est :

(o08) /{ =A (p (,V/7~)-i-B m (/Vv~),

OÙ la fonction cp,,^ d'une variable (juclconque X est représentée par la série

(509) ç„, (\) = X'" ^[ - i-j~:pr) ^ \.±im + \).{m-^V ~ ' "

§ 78. — ÉQUATION TRANSCENDANTE DONNANT l.T. rAnA:MKTnE h\ 780

11 reste à introduire cette expression de /î,,,,^ dans les équations de condition (507). Si, pour simpliticr, on représente les quotients différentiels des fonctions 9 par des accents, la première de ces équations devient :

0 = A.„ j p„f, (R v-ö + 2^ ç;.(n ^]rj-'^ <p,„ (R s/iT) i+

Elle donne entre les deux coefficients A, B des mêmes indices m,n une relation qui se trouve satisfaite en posant :

Si l'on forme enfin la dernière équation de condition (507) et si l'on y remplace les A,B par les valeurs ainsi trouvées, on obtient l'équation :

Cette équation ne renferme plus d'autre inconnue que la quantité k^^ entrant dans p,„,,,7,„„- C'est donc l'équation qui servira à déterminer les valeurs diverses de k^^^^^ ; équation transcendante, en ce que les ç, ç', <p", ?'" sont autant de séries d'une infinité de termes. Ses diverses racines donnent toutes les vibrations simples possibles, dont la combinaison ou superposition compose le mouvement vibratoire total.

Ce n'est qu'en apparence que, dans cette équation, figurent les racines carrées de p^^^^^ et (j^^^^^ ; car, eu égard à la forme (508) delà fonction ?^,^, toute l'équation qui vient d'être écrite est divisible par f^/p \>>\ (jq~y"- En effet, les quatre polynômes entre crochets ont tous leurs

7t)0 CIIAP. Y. PLAQUES CIRCULAIRES MINCES.

termes divisibles respectivement par r'--^(v/7>)'\R'''-"-(v/7)'%R'''-'(\'7)'''. R"'~'(v//>)"' »Le quotient du premier membre par Ii'"'~''(v'p)"' (v^)'" forme la partie essentielle de l'équation : elle est rationnelle en P,„„^ 7/„« et n'offre plus que des produits de séries ordonnées suivant les puissances ascendantes 0, 1, 2.... àeT\-p^^^^^ et R"'/,„,j.

11 y a plus : comme l'équation, ainsi réduite, est identiquement satisfaite par p^^^^^ = (j^^^^^, son développement doit être divisible par

C) i / ">" I 1 tun \ ;

en sorte que tous ses termes ont pour facteur commun ce radical, demi-différence des deux valeurs de ry^^^^^ et p^^^^^. En retirant ce facteur, tout ce qui restera de l'équation développée, où l'on aura mis pour p^^^^^, q leurs valeurs (507 a), devra se trouver affranchi du même radical, c'est-à-dire ne contenir plus que son carré ou la quantité sous le signes/ .En effet, le premier membre de l'équation précédente change de signe lorsque l'on y permute p,„,^ et q^^^^^; le facteur q,„,—p„,„ qui l'affecte, change également de signe par cette permutation, qui revient à changer le signe du radical; le premier membre, débarrassé du facteur q — p . ne doit donc pas être modifié par un changement de

signe de i / ^ '""^i — "-V ) • cette quantité qui entre dans les va- V 16«' \ 96«' /

leurs àep^^^^^ et q^^^^^ ne devra donc, toutes réductions faites, subsister

dans l'équation transcendante ci-dessus qu'à des puissances paires.

L'équation dont nous parlons contient donc son inconnue k engagée

seulement d'une manière rationnelle^ et, aussi, avec des puissances

paires seulement. On démontrera plus loin que cette même équation

ne donne, pour les /'^'',„„. que des racines réelles et positives, et par

conséquent, pour les A:^^^^^, eux-mêmes, des valeurs réelles seulement.

Si l'on connaît toutes les racines de cette équation transcendante, les

facteurs iî^^^^p fondions de r, se trouvent aussi complètement connus,

et tout dans 'C est déterminé, à l'exception des constantes a, S, y, S. Ces constantes se déterminent au moyen de l'état initial de la plaque, ainsi qu'on le dira plus loin; mais le caractère général de la solution du problème n'est pas moditié par les valeurs particulières qu'elles peuvent acquérir dans chaque cas.

Revenons aux vibrations isolées ou simples. On peut, dans l'équa-

^ 78. — VIBliATIONS SIMPLES. SÉRIE DE SONS. 791

tion franscendante, considérer —^ comme l'inconnue. Désignons

par --^^^ , --^^^ , la série des valeurs que doit prendre cette inconnue

pour satisfaire à l'équation. Les nombres t ne dépendent plus que de // et de II, c'est-à-dire des dimensions de la plaque et du facteur relatif à l'élasticité que nous avons désigné par 9'. Pour les racines les plus petites, on peut même négliger les termes multipliés par Ir{*)\ les nombres - devieiment alors inversement proportionnels à R-. C'est sous celte forme que Kirchhoff a établi cette équation; toutefois, pour les racines très grandes, les termes multipliés par h- qui sont aussi multipliés par r acquièrent une influence appréciable. Les nombres de vibrations des sons qui peuvent être rendus par le disque sont

les différentes valeurs de -^, c'est-à-dire les nombres

D'après ce qui vient d'être dit, les rapports de ces nombres de vibrations ne dépendent, abstraction faite de m, que du coefficient ij' et des dimensions du disque. El même, pour les sons les plus bas, ces rapports ne dépendent que-de 9'; et, par conséquent, pour toutes les plaques dans lesquelles ce coefficient a la même valeur(**), les différents sons harmoniques seront dans un même rapport avec le son fondamental.

Le son fondamental est défini par le nombre de vibrations ** '"'Sou,

en mettant pour «' sa valeur résultant de (505 d), page 784 :

(*) Alors, comme ^ '^'"" { = -^ ^^Ji+i ^J!^ ) on prendra simple-

'»«nt P„,^=-q,„, = 4^' -4- = '69-„,„ > — i^;p— = 5 r,nn^'^'- ^I" *'" Pourra. PO^r les plus petites Taleurs de q-^^^^^ ^ négliger devant — 1 — m- (2 — i)') dans les deux parenthèses de l'équation transcendante.

(") C'est-à-dire, pour toute plaque solide complètement isotrope, ou seulement d'égale élasticité dans les sens parallèles aux faces, et pour laquelle il y a le même rapport entre les modules d'extension et de glissement que nous avons appelés a, et f, puisqu'on a,

f Note du .^ 16, p. 85, formules {x), 9' = 1 — 2 — .