CIFAP. V. — PLAQUES CIRCULAIRES MINCES

Ce nombre de vibra lions par seconde est directement proportionnel à l'épaisseur // du disque, et à la racine carrée de ce module d'élaslicilé ai que nous avons dit être propre aux plaques (n" 16 bis, p. 85 de la note du § 16, ou § 59 form. 129 a, p. 500, etc.), de sorte que la hauteur du son fondamental augmente avec ces deux quantités. Ce même nombre est, à cause de -^,^ , inversement proportionnel au carré du rayon R de la plaque, et à la racine carrée du poids spécifique n

de la matière, ou de la densité -; c'est-à-dire que, toutes choses

d'ailleurs égales, un disque d'un plus grand diamètre ou plus dense

donnera des sons plus bas.

Mais ce n'est pas une seule et unique série de sons que le disque peut ainsi produire; il y a, au coniraire, une intinilô de séries de ce genre; elles correspondent aux diftérentcs valeurs du nombre entier m que l'on peut introduire dans l'équation transcendante ci-dessus. Ces différentes séries de sons se distinguent les unes des autres absolument de la même manière que les différents sons d'une corde, parla position différente, dans le disque, des points qui pour chaque son ne prennent pas part au mouvement et qui constituent les lignes nodales de ce son. Les mouvements isolés étaient représentés [équation (505), page 785], chacun par une- expression de la forme suivante, Ç étant toujours le déplacement dans un sens perpendiculaire à la plaque, au temps t, du point déterminé par les coordonnées polaires 0 et r, dont R est une fonction :

inn

'C=:CR cosî??OcosÂ; t.

Si donc on veut trouver les points qui, dans le mouvement, répondant à cette équation, restent en repos, ou dont le déplacement 'C, est nul quel que soit le temps t, il faut poser

R CCS wio = 0 ; c'est-à-dire

coswO = 0, ou bien B =0.

mil

La première de ces équations fournit pour 0 la série de valeurs

TZ On ^TT (2m — 1 ) t:

'2in ' 2m * 2»i ' 2m '

donnant, pour chaque valeur du nombre entier m, des lignes nodales qui sont des rai/ons formant enirc eux des angles égaux. Dans ces mouvements, le disque se divise donc en forme d'éventail, en m sec

§ 79. — VIRRATIONS d'ijnr memrra.ne c.ircci.aire. 705

teurs dont, chacun vibre séparément des autres. Les lignes nodales formées par ces rayons sont communes à toutes les racines de l'équation transcendante correspondante; elles constituent le caractère propre de chacune des séries de sons, en nombre infini, dont il a été question plu5 haut.

Et ce résultat est identiquement le même lorsque, dans l'expression des vibrations isolées, on remplace cos 7n0 par sin mO.

Outre ces lignes nodales, communes à tous les sons d'une série, il en existe d'autres qui sont différentes pour chacun des sons de chaque série : ce sont des cercles concentriques dont les rayons r doivent être calculés en résolvant par rapport à r l'équation

fi =0,

et qui, par conséquent, dépendent en môme temps de m et de la racine k de l'écfuntion transcendante ci-dessus (*).

§ 79. — Vibrations d'une membrane circulaire tendue.

Les vibrations d'une membrane tendue se distinguent de celles que nous venons d'étudier, en ce que, dans l'équation générale déduite de (282), § 75, page 688, il faut conserver le terme en T ou en S^, dilatation qui dépend, (282 a), de cette tension générale T à laquelle on a supposé, en établissant cette équation, que la plaque était soumise dans toutes les directions parallèles au plan de sa surface médiane. Comme, cette tension étant appelée T, on a, ainsi qu'il a été vu alors,

'^Q^= — 177^ T = — — — -7., le terme à conserver est

12(1— î)'-')T /^-'ç ,5-'ç\ \^>J [BK BH

Si donc on pose

12(1— ly 2) T 12T

et si l'on se rappelle qu'en introduisant les coordonnées polaires r, 0 au lieu des coordonnées rectangles ordinaires, on a trouvé [p. 764, form. (294f/)l

(*) Poisson avait obtenu seulement les lignes nodales radiales.

70i CHAI'. V. PLAQUES CIRCILAIRES MINCES.

il faudra, au premier membre de la transformée de l'équation ('282) qui est la première (504), § 78, p. 784, ajouter ce trinôme multiplié

par — —, ce qui donnera au lieu de (282) la suivante : M)

■ «* lut- A'iêV- V^r2"^r^r^r^^'9V J*

Les conditions limites changent en môme temps. Dans ce cas, en effet, le bord de la plaque n'est plus libre, mais il est soumis aux forces nécessaires pour le rendre immobile, sans toutefois être soumis à des moments de rotation, puisque nous ne supposons pas que les derniers éléments de la surface médiane soient maintenus dans une direction invariable. Les forces appliquées au bord sont donc simplement des tractions perpendiculaires à la face médiane. Des deux équations de conditions limites (281), p. 087, la dernière sert à déterminer ces forces nécessaires pour produire l'immobilité, il n'y a pas à s'en occuper ici; la première, au contraire, fournit une condition résultant de ce que U" et V" doivent s'évanouir. Cette condition a déjà été exprimée page 784, § 78, formule (504), et elle a été mise sous la forme

A cette condition s'ajoute celle qui exprime que tous les points de la périphérie sont immobiles, c'est-à-dire qu'en chacun de ces points on doit avoir

(313) ï = 0, pour/- = R.

Si maintenant on examine les équations (511) à (515), on voit, sans aller plus loin, comme on l'a fait dans le paragraphe précédent pour la plaque vibrante, que l'état général de la membrane vibrante peut être représenté par l'équation

r — V V /J / «,.„. «^os m6 cos A- « + 3 sin mO cos k t \ + y cosvtHslnk ^H-ô siu 7n0 sin A: t

^ ' mn mn mn mn

OÙ les a, 6, Y, 0 sont encore des constantes, mais où R est une autre fonction de; r que dans le cas précédent. En introduisant cette expression dans les équations (511) à (515), on obtient des équations suffi-

g 79. — MEMBIt.VISKS. VIl'.nATIO.NS SIMl'LES, KQUATIO.N TRANSCENDANTE. 795

santés pour déterminer R . L'équation (511) donne d'abord la suivante, ne différant de celle (506) que par l'addition du terme affecté

de — et qui doit être remplie pour toutes les valeurs des r :

(oU) cPR t> (Ni I + 1> m' (PU 1 4- '■l m'- dli m' — im'

nui , mil nui . ' nui , n

dr' r <lr r- dr r dr /'* '""

1 A/^7} idn m' \ k' - h' /d'Ii \dR m' \1

b\~d?~ r~dF r^ ""'/«* L ""' \A <lr' r dr r' '"" J S

et les équations (512), (513) donnent les suivantes :

/ d'R /[ dR m'- \ \

1 nui 1^ / / mil 1} \ A J

(315) I ~di^ ^ ^ \} IF ~ V' ""'/"" ' [poiirr = R. f R =Q. )

\ mil '

Pour satisfaire à l'équation (514), représentons-nous comme nous avons fait pour celle (306) p. 786, li développé suivant les puissances ascendantes de r, sous la forme

Si nous introduisons celte valeur dans l'équation (314), et si nous égalons les coefficients, dans les deux membres, des mêmes puissances de r, nous obtenons pour la détermination des C le système suivant ;

/ 0 ^ (e2 m^) [(i — 2) -2 — m^j Co , 0:=[(?:-f 2)^-m^] (zä m^)Q + (z^-m^) (^ J i^ C„ ,

(516) 0=[(/-f-4)^-m^][(iH-2)^-m%4-[(.>2)^-m^] (!^^:-i,^ ^

Ces équations ont tout à fait la même forme que celles du paragraphe précédent, p. 786. En faisant les mêmes raisonnements, et en désignant par ? la série (509) introduite à ce paragraphe, on trouve absolument de la même manière que ß a la forme (508),

R =î o (r\/lJ~)4-B <p {r\/q~);

mn mn'm ^ ' nui' ' miOni ^ ^ ^nin' ^

OÙ

h'-k^ i 4 / kl fh'k^ 1 X^'

n 233: mil i 4 / mn

^""' "96;,^ 86-^"^ Vl6«'* "

Lorsque l'on a ainsi la forme générale de R , l'application des conditions limites ne présenta plus aucune difficulté. La seconde équation

(515) (/? ) =0 donne:

()==:A 9 (Rv'/r)+B 0 (^sJTr);

mirin\ * ' mu' ' mn'm \ ' hnn' '

et l'on peut poser, pour satisfaire à cette relation entre A et B :

A = 0. (n \/^) ; B = — o (R vZ/T") ;

mn lin ^ ' ■'m;;' mn m ^ '' m«'

ce qui donne à iî sa forme définitive

(517) n =9 fR\/ô? (— îV/~)— ° f'— Rv//~)= (r\/'r~)-

^ ' mn ^m\ ^ lmnrm\ ^ ' mnl 'mX ^ i mn' 'm\ ^ linnl

La première des équations de condition (515) à la périphérie devient alors :

^m (P^ V7.„) I — ^îp — + n- — M —

P iRi/^^ \ • ^m ^ ^ 'mn' ' ^ m, ^ v Imn' \ — f).

équation transccndanle, dont les racines, par les valeurs des k qui leur correspondent, donnent les diverses vibrations isolées ou simples qui peuvent se produire simultanément dans la membrane.

Abstraction faite du changement apporté à l'expression do R et à l'équation transcendante, le problème actuel est manifestement le môme que celui qui a été traité dans le paragraphe précédent pour une plaque élastique libre. 11 n'est donc pas nécessaire de répéter ici ce qui a été dit au sujet des diverses séries de sons et les lignes nodales (*).

(') De niL'ine que pour la corde vibrante, le prohlômc de la membrane vibrante se traite ordinairement en la supposant parfaitement flexible. Cela revient, après avoir fait disparaître le dénominateur E'/r- du second membre de l'équation différentielle (282) de la fin du s^ 77>, p. GSX, à néfîliKer ce qui reste affecté de ce produit E7t"' mesurant la résistance à la flexion, qu'on suppose nulle; c'est-à-dire effacer les termes du quatrième ordre, qui sont les trois premiers de cette équation. Elle se réduit de cette manière, en effaçant aussi, comme

§ 80. lîÉALITÉ DES UACI.NES DES ÉQUATIONS THAiNSCENDAMES. 797

L'introduclioli des coiidilioiis résultant do l'état initial se fait aussi de la même manière dans les deux problèmes. Avant d'aborder ce point, il faut établir une formule intégrale pour les fonctions li, et cette for. mule peut se déduire comme cas particulier d'une autre plus générale qui montie en même temps que les grandeurs /i sont nécessairement réelles. C'est ce qui fera l'objet du paragraplie suivant.

§ 80. — Réalité des racines de l'équation transcendante, et, comme conséquence, périodicité nécessaire des mouvements. — Preuve que les problèmes d'équilibre de la plaque sont déterminés. — Calcul des constantes des expressions des déplacements '^ pour satisfaire à un état initial donné.

Pour terminer celte étude des mouvements de la plaque, il reste à montrer comment peuvent se calculer les coefficients a ,6 , v , b

■■■ mti mit ma wii»

en prouvant, dabord, que les équations transcendantes auxquelles on est arrivé, n'ont que des racines k'^^^ réelles et positives.

Je donnerai cette preuve pour l'équation la plus générale (511), p. 794, attendu que cette équation contient implicitement celle qui est relative à la plaque libre, savoir la première (304) qui lui correspond, et qu'il suffit, pour passer de l'une à l'autre, de supposer 6 infini. Et pour traiter la question dans toute sa généralité, je reprendrai cette équation sous sa forme primitive en coordonnées rectangulaires [équation (505 c) p. 785, complétée dans le premier membre en faisant (310)

— PT = -- et (505 d) u = -7^ — , comme on a dit à la fin du § 78 et au dLilr b^ ^ 12II

commencement du § 79,]

ca:' difox' cijy b-\ox- cifj « <^^ L i-\t.t- cy-J]

ck!' oW , . , .

Clebsch le fait plus loin, les termes -rr + rjr représentant des moments qui n existent

pas, à

équation semblable à celle (/j), p. 700, de la note du ,^ 73, et dont la résolution donnerait l'état d'équilibre ou les petits déplacements statiques 'ç des points d'une membrane plane, horizontale, ayant un contour quelconque, avec une tension uniforme AT, sollicitée en ses divers points a, b par des forces verticales C

TT ^i^ly

En remplaçant ces forces par les inerties — -h -7^,\ on a une équation comme celle

?=-r = CH ^-a + ^T-n ) donnée sous le n° 10 au ?: 48 de la 9'^ leçon sur l'Éla&ticité de Lamé, qui la résout pour des membranes rectangulaires et triangulaires.

OÙ on a remplacé par x, y, les coordonnées primitivement désignées par a, b. Soient

(r> \S, b) !; := u cos y.t , !: = V cos )i ;

les expressions prises pour deux quelconques dos vibrations simples, en nombre infini, dont la superposition produit le mouvement total. Si on les introduit dans l'équation différentielle qu'on vient d'écrire, en observant que u et v ne dépendent plus que des coordonnées, on trouve que les fonctions u et v de x et // doivent satisfaire aux équations

(5iy)

SJ'y ^ ^W , ^W\ 1 /^^v ^)2v\ À^r h'- fp-\ r-y\]

Cela posé, nous considérerons l'intégrale double

{{ — n') TT-, 7—7, + -^ T-T- 7—, r i—i -sr-,

/i /. 1 ' \cx-- c X- cJxay c xc y ây- cJy-J i

^cx- cy JV^ cy J h-\cxcx oycyj

qui doit être étendue à toute la surface médiane et qui nous est nécessaire pour la démonstration que nous avons en vue. Cette intégrale est symétrique en u, v et peut être effectuée par parties de deux manières ; en faisant d'abord l'intégration partielle des quotients différentiels de V, puis en opéiant de même sur les quotients différentiels de u.

Intégrons partiellement une expression quelconque de la forme

ex hj) ^

appliquée à toute l'étendue d'une surface. Exécutons une des deux intégrations, pour la partie en A, A' le long d'une bande superficielle parallèle à l'axe des .r ayant une largeur i}y et dont les points extrêmes seront indiqués par les indices inférieurs ^ et j. Exécutons de même l'intégration de la partie en /?, B' le long d'une bande dx, dont les extrémités le seront par les indices supérieurs ", ', et ajoutons les deux résultats, nous obtiendrons :

(319 b) jT(.l ^+ B~^ dxdy^ /*! (.l.l'n- (.l.nol dy

+ j [{BU')' — [HB'f] dx - l'J /'.l' i^, + B' '^\ dydx.

§ 80. LES l'UUBLÈMES DE MBn.VnUAS SOM COMPLÈTEM, DÉTEKMI.NÉS. 799

On a déjà montré plusieurs fois, notamment § 10, que les deux intégrales simples du second membre sont équivalentes chacune à une intégrale étendue à tonte l'enveloppe de la surface dont il s'agit: en sorte que, si ds désigne Telenient de la courbe de la périphérie, et p, l'angle formé avec l'axe des x par la normale à cet élément dirigé vers l'extérieur, on a :

[{AA'},— {AA'l ,h/= j AA'co^jnh, f[{BB) ' - {BB')\ (le = j BB' sin p ds :

et par conséquent, on obtient l'équation identique suivante :

(319 f) fC([~+B'-Jpjdxd!j= f(AA'cosiJ+BB'^\np)d><- fC (a'^ + B'''^\lxdy

Appliquons cette équation générale à chacun des termes des parenthèses de l'intégrale J; en prenant pour A, B, tous les quotients différen-

tiels de u, et pour -y-, -r— tous les quotients différentiels de v; nous

aurons, après avoir fait la môme chose pour tous les termes, l'exprès, sion J transformée ainsi qu'il suit :

,^ \ ^ ''\Jx'- ^ ^ oxcJij ^ J ox ' \cxcD ^ ty- ' J I ,/('U c-u\/c\ , es . \ V ion , on . \

oy fc-'u chi \ ov / c''\x c''ü

ox\cx' oxcy-J c/y\cx-cy orf

, y lù-u. 6'-u\ / , ,

Si maintenant, au moyen de la même formule générale on transforme de la même manière la première partie de la dernière intégrale double, partie comprise entre crochets [ ], ce que l'on fera en posant :

ex-" cxcJy- cx^ùy oy-"^

cette partie se transforme en la suivante

^ ^- + -^^^^ COS/J-+- T-r- + ^-- sin p . ds J ( \èvr ùxc-yj \cx'cy ' cy\i )

— n' ^. + 2 V -ir , + r-] dxdy: JJ \i.r^ cx'cii^ cy'j

800 CHAI'. V. — l'J-AQUES ET MEMBRANES.

De sorte que l'on a la formule (519 d)

' '\\px- ■* ' dxcy '■ jox \oxVd cy^ Je y}

— V cos y> — Ur-; + ;^— 4- Sin p 77- 7— -h -^— J

[ 6^ \ox'- vy'-J oy \Vx^ ^y Jj

JJ l\^x'^ cx'oy' cy'J b'Xi'x' Sy'J] -^

Celte expression peut se simplifier en introduisant les quotients différenliels selon la normale et selon l'arc de la courbe périphérique, si l'on passe d'un point de cette courbe à un point voisin situé en dehors, en s'avançant d'abord de ds dans la direction de l'arc, puis de dn dans la direction de la normale. Alors, évidemment, les accroissements des coordonnées x, ij seront exprimés en fonction de dii et de ds par les formules

dx = (ln cosp — ds sin », d'où 7-^= cosp, 7-^ = — siii i);

cil es

dy = dn sin p 4- ds cos p, d ou 7-^ = sin p , ~=- cos p .

cil c s

Si donc K désigne une fonction quelconque, on aura :

i êK ^^.0x miê)y i)K mi .

\ -— =7- 7--\-Tr -r^' = ri- cos /v + T" sui p ; \ cil cxcii cil en cJx cil

\ os cx es oy ds ùx c)y

et par suite en multipliant d'abord par cos p, — sin />, puis par sin p, cos p et ajoutant chaque fois

(^19/^) 7v = ^^os/>— 7-sm;>; ^z=sHi/> + 7^cos;;. e ju o II' es e y eu es

Appliquons ces formules à la première partie de J (319 d) comprise dans le sign(; / simple, et melloiis-y, à la place des dérivées du premier

ordre par rapport à x et à //, de u, de v et de ,-'., ■+■ 7—; , les expres-

c X- c If ^

sions que ces deux formules donnent en fonction des dérivées des trois

§ 80. LliS PROBLÈMES DE VIBRATIONS SONT COMPLÈTEMENT DÉTERMINÉS. 801

mômes qiiaiiutés par rapport à n el à s : nous verrons que, toutes réductions taites, les dérives en s de u et de y:, h y~r disparaissent.

c'x- elf '

Reste celle 7—.

(JS

Nous pouvons intégrer })ar parties ce qui en est affecté et qui est

J ^^ ""^ ^ [W~M '''^' ''"^'^^ (cos-y;-sm^p)J ^,-r/s.

Dans l'intégration par parties, le terme intégré, ou qui sort du signe /, s'évanouit nécessairement, puisque, l'intégration ayant lieu sur toute l'étendue de la courbe périphérique, les deux limites coïncident; il ne reste donc plus, pour cette portion de J, que ce qui vient du second terme de la formule générale d'intégration par parties, qui donne

- j ^^ - "^ ^ ^%• \}Jt~^^ cospsmp- ^^ (cos-y>-sm-p)J ./s; et l'on peut alors représenter J de la manière suivante :

(520) J = f (\W + 1^ U") ds + fC yVdxdij,

où l'on a

ri' — L (^ — ?!}^\

- (^ - '^'^ Is IW~J^^) ^os;>sin;>-^^(cos^i,.- sin^;,)J ; (o21) ^ U'=: (1 -9) (^.cos^P +^^^"^ ^^+^r^-^^."^^^^«^^^

fcä cJn '

\dx''^dy''

Remplaçons maintenant U par la valeur que cette fonction doit acquérir en tous les points de la surface médiane, en vertu de la première équation (519), où •/. est le coefticient du'temps t dans l'expression posée (5786) ^ = u cos x^ d'une Mes vibrations simples; nous aurons

802 CHAI'. V, — PLAQUES pyr MK.MBBA.NES.

La formule générale (3196) pour les intégrations partielles peut être ipliquée à en prenant

appliquée à la partie de celte intégrale qui est affectée de -^r^ + t^t-;»