CALCUL DES CONSTANTES DES SÉRIES DONNANT LES VIBRATIONS

donnent, comme on l';i vu au ^ 78,

Dans tous les cas qui viennent d'être énumérés, on a donc

Comme nous l'avons dit, J est symétrique par rapport à u et v, c'est-à-dire que cette intégrale doit conserver la même valeur lorsqu'on y change u en v et par conséquent ■/. en a. Mais l'expression ci-dessus est le produit de deux facteurs dont l'un, l'intégrale double, ne change

pas de valeur par cette substitution, et dont l'autre, -^, devient -,• Si

donc, comme nous l'avons supposé, •/, et a sont deux valeurs différentes, la condition que J ne change pas de valeur entraîne nécessairement l'équation

Celte équation doit subsister pour chaque groupe de deux solutions qui correspondent à deux racines différentes de l'équation transcendante.

On en conclut d'abord que Vcquation transcendante à laquelle conduit le problème n admet pour v.^ que des racines réelles. En effet, si y.*, A* représentaient deux racines imaginaires conjuguées, et par conséquent différentes, on pourrait aussi considérer u et v, et par suite

f u ^c)\ . . eu . oy , ..^, . . .

7— et J-, ainsi que 7^ et -^ , comme des quantités imagmaires conju-

(*) On voit en effet, comme nous venons de dire, qu'au commencement de ce § 78, deuxième équation (505 c). p. 1056, le second membre de la deuxième équation (281) est

1 En nul, ce qui réduit U" encore a r^pr- et par conséquent à zéro, puisque les termes affectés

de fe doivent être supprimés, ou que, la tension T étant nulle, on a ^^ = 0.

On ne voit pas aussi clairement et de suite comment, de ce qui a été dit au g 78, ni de

(318 b), c==u cos y.t qui donne — (-7^)= — y.^ tt cosvJ, l'on peut tirer l'égalité de

h^y.^ c)a n(l — n'-) ^cu l'expression (5-il) de U à rä~i ?r = c~> "'<" er-- Cela demanderait des explications.

Qu'il nous suffise de dire ici que M. Kirchhoff, dans son mémoire cité ci-dessus : Sur l'équilibre et le mouvement d'un disque élastique (Journal de Grelle, 40° volume, 1''^ livraison, Berlin, 1850, page 51), qui ne considère que le troisième cas de Clebsch, où le bord est parfaitement libre, trouve, en suivant pour l'intégration une marche un peu différente, le même résultat que Clebsch.

guées deux à deux ; et, puisque le produit de deux imaginaires conjuguées est loujours positif, le premier membre de l'équation précédente serait formé d'une somme de termes positifs et ne pourrait être égal à zéro.

Mais, non seulement les y.' sont réels; ils sont encore positifs, et par conséquent les x eux-mêmes sont réels. Si, en effet, on pose u=v, l'intégrale J, dans sa forme primitive (3 19 a), devient une somme de carrés et est donc toujours positive. On tire de (521 a), dans ce cas :

jj\"'^um^m]\^-'^'

y? est donc le quotient de deux nombres positifs et par conséquent positif lui-même; ce qu'il fallait démontrer.

La dernière partie du problème, qui restait à résoudre dans les paragraphes précédents, et qui consiste à trouver le mouvement d'un disque ou d'une membrane à partir d'un état initial donné, trouve aussi sa solution par l'équation (521 />) qui prend la forme ^uivante, lorsque l'on y introduit les coordonnées polaires, en se servant des formules de transformation (285), page 755 :

(322) ß [^uv+-2(^ ^-f- ^^]Jn/.rf9 = 0.

Posons en effet de nouveau l'équation (305), page 785, savoir

(322«)-^= y; 2 fi,

(ot CCS 7?i9 + ß sin mô) cos k

(y COS mô -h ô sin mö) sin k

Supposons donnés initialement le déplacement vertical et la vitesse de tout point (r, 0) de la plaque, par deux fonctions /", F, telles que

{'522 b) K = f{r,0), |-^=F(;-,ô)pourf = 0.

Les constantes a, ß, y> o à déterminer devront satisfaire à

V />.ö) = V V R^^ («^^ cos mn + p,,,,, sin mö) ; (323)

f ['' (r,0) = y S ^^ fi (y ^os mO -+- S ,„, sin inO) .

Pour arriver à les déterminer, considérons d'abord une solution simple, ou une valeur particulière de v, c'est-à-dire de 'C, pour ^ = 0 :

V = fi (a cos mO + ß sin 7nQ) ;

mu ^ ' '

^80. UMTÉ ET DÉTERMINATION DES SOLUTIONS DES l'HOBLÈMES. 805

et construisons la valeur que prend l'intégrale double occupant le premier membre de (522) quand, après y avoir mis pour v cette valeur particulière, on remplace u par f (r, 0) qui est la somme i:i de toutes les valeurs de ce genre. La valeur que prendra ainsi l'intégrale double // sera égale à la somme de celles qu'on obtient lorsqu'on y remplace u successivement par chacun des termes du second membre de la première (325). Mais toutes les intégrales // ainsi obtenues s'évanouissent, d'après (322), à l'exception de celle dans laquelle les indices m, n des termes provenant de u sont les mêmes que les indices m, n de v. Il reste donc simplement, pour l'égalité des deux résultats, /"ayant la signification (522 h).

, hhn of j^ , . „ ~1 , ,

+ |2^ä T^ \n (— « ^1" '"^' + !^ COS Mtöi rdrd'i =

-f-TTîl-r "j ( (a COS wO 4-ß sin/?iO) (a cos?/(0 + 3 sinwf))

l2\cr/) ""' ' mn '

-h .^r— R^ (a sin m9 — ßcosH?5)(a sin?«e — ß cos»i6)

rdrda.

Et le même raisonnement conduit à une équation correspondante en F. Si l'on effectue, dans le second membre de celle que nous venons d'écrire, les intégrations indiquées, qui ont pour limites ?' = 0, r=:R, et 6 = 0, 6 = 2::, intégrations par lesquelles ce second membre devient, vu /cos*e(iö = /sin'0f/6^7: et /cos 7/16 sin mef/6^0,

1 + + V^ ,v/,.(aa +ß3

\ i 2 /'-/ 12 V fr ) J '"« ' ' ""7

fi^ ( 1 +

et si l'on égale les coefficients des nombres quelconques a, ß, on a immédiatement deux équations qui déterminent a et ß .

Les deux autres coefficients y,„„, 0^^^^^ se trouvent d'une manière tout à fait analogue au moyen de la seconde équation (525).

L'équation (522) est encore susceptible d'une autre application. Si l'on examine l'équilibre d'un disque qui n'est -que très peu déformé par des forces extérieures perpendiculaires à sa surface médiane, on peut, en considérant les déplacements qu'il a subis et au moyen de cette équation (522), démontrer que le problème n'a qu'une seule solution, sans aucune in(iétermination.

Admettons en effet comme possibles deux états d'équilibre. Formons, pour ces deux états considérés isolément, les équations des

déplacements 'Ç\ nous aurons, pour les différences des déplacements de ces deux états, des équations identiques, qui ne se distingueront des premières qu'en ce qu'elles ne contiendront plus les forces extérieures. Désignons par 'C' cette différence des déplacements.

Introduisons maintenant cette différence dans les formules développées ci-dessus, aussi bien pour u que pour v; et, comme il s'agit d'états d'équilibre, faisons en même temps 7. = 0. L'équation (021«) dorme alors J = 0 ; et comme J, dans sa l'orme primitive, lorsque u=:v, se transforme en une somme de carrés, dont chacun doit par conséquent s'évanouir, on a

D'après cela, 'Ç, différence des déplacements amenant les deux positions d'étiuilibrc admises, ne peut être que de la forme

ax -+-by-{-c

où a, h, c sont des constantes. Pour fixer le système des coordonnées, on peut toujours supposer que le déplacement de l'origine est nul, que le point infiniment voisin de rorigine, sur l'axe des x, s'y trouve encore après le déplacement; et enfin, que l'élément de la face médiane, voisin de l'origine, se trouve encore dans le plan xij. En d'autres termes, on peut toujours admettre que pour x=0, ij = 0 les quan-

tités Ç', -cr-i -^ s'évanouissent, c'est-à-dire que l'on peut faire a, h, c

égaux à zéro. La différence de deux positions d'équilibre est donc nécessairement nulle, et chacune des positions d'équilibre est toujours parfaitement déterminée sans équivoque.