CHAP. VI. — TIGES ÉTENDUES OU COMPRIMÉES

Considérons d'abord le cas de tiges étendues par d£s forces dirigées suivant leur axe longitudinal. S'il y a une force P agissant sur l'extrémité, et si 0- désigne la section transversale, on admet que la tension

longitudinale provoquée dans la tige est-; et. d'après la définition

du module d'élasticité représenté, § 2, parE, l'extension de l'unité de

p longueur est de p-- Par conséquent, l'allongement total d'une tige de

longueur / est (324) Z=Ç-,

Cette formule repose sur l'hypothèse que tous les points d'une même section transversale éprouvent des tensions égales, ce qui ne peut arriver que si l'on imagine la force P répartie uniformément sur la section transversale extrême, et qui, par conséquent, s'approche d'autant plus de la vérité que la section transversale est plus petite (*).

Supposons qu'en même temps l'intérieur de la tige soit soumis à des forces (pesanteur, inertie, etc.) agissant parallèlement à l'axe et dont, aux points de la section o-, ayant primitivement la coordonnée z, V intensité par unité de volume soit appelée

Désignons par

le petit déplacement éprouvé par cette même section transversale o-. Nous avons trouvé au § 54, pour des sections transversales supposées petites, une formule que l'on peut établir de la manière suivante. Mesurons les z à partir d'une des extrémités de la tige que nous pouvons considérer comme fixe, c'est-à-dire que w est supposé nul à cette

n'est pas uniforme et rectiligne), des formules qui n'ont été démontrées que pour les tiges cylindriques soumises seulement à des forces agissant sur les bases extrêmes, se trouve justifiée, comme celle qui est relative à divers modes de répartition de ces dernières forces, par les considérations de la note du § '28, empruntées surtout au mémoire déjà cité de M. Boussinesq, de 1871 (première partie, relative aux tiges), et dans son complément de

(*) Un voit bien que déjà pour ce problème, le plus simple de ceux qui sont posés sur l'élasticité des corps solides, la solution naturelle et généralement admise, confirmée par l'expérience avec une approximation suffisante lorsque la tige a une longueur assez grande par rapport à ses dimensions transversales, exige, ;>o«r é//r ?-/</o(/?r».sr, et tout autant que pour les probli'-mes plus compliqués dont je me suis occupé (t^,^ -5 et suivants), (/// mode partictilirv d'ap])Hc)ition cl de dhlribnt'wn des forces agissant aux extrémités. Il y a les mômes raisons pour étendre les solutions données de ces problèmes de torsion et de flexion aux cas où le mode dont il s'açit est autre, que pour le problème simple dont (llobscli s'occupe ici. Voyez une note delà fin du ,^ '22, p. 142, où déjà l'on eu faisait la remarque.

g gl . — TKiK A SECTION CONSTANTE, SOLLICITÉE EN TOUS SES l'OINTS. 809

extrémité. Une section transversale, dont la coordonnée était primitivement i-, a pour coordonnée, après rallongement, : H- w; la section voisine, distante de dz, prend la coordonnée z -\- dz -\- w -h dw. La longueur de l'élément dz est donc devenue

dz-\-dwz=(h 1 +

dw\ dz)

L'allongement de l'unité de longueur, qui est ici variable avec :,

est donc -^ ; la tension nécessaire pour le produire est E -p> et la force

qui doit agir sur la totalité de la section transversale pour donner naissance à cette tension est

j, diu

dz

Cette force mesure en même temps la tendance de la section transversale à reprendre sa position primitive. Posons donc la condition de l'équilibre extérieur delà partie delà tige comprise entre cette section transversale et l'extrémité libre ;• = /. En égalant à zéro la somme de toutes les forces agissant parallèlement à l'axe des z, nous avons

d'un côté la force Ea-^, et, de l'autre, la force P appliquée à l'extrédz

mité, et les forces p appliquées aux éléments intérieurs, forces dont la

valeur, pour chaque élément ^dz, estp^dz. Nous avons donc l'équation

dw

(325) Ecr^=P+ / ]ml

En différentiant par rapport à z cette équation, qu'on peut regarder comme identique à celle (209 e) du § 54, page 454, on la débarrasse du signe d'intégration comme il a été fait alors. Mais on peut l'employer immédiatement telle qu'elle vient d'être établie, bien que, à la vérité, p dépende en général de la coordonnée z -h w de son point d'application ; car, comme w est très petit, on peut le négliger devant z en restant dans les limites de l'approximation dont on a besoin, et l'on peut considérer p comme fonction de z seulement, ce qui permet d'effectuer immédiatement l'intégration.

Les tensions aux différents points de la tige sont alors représentées par l'équation

dw P \ r'

i'zop\ T^dw P i ( ' ,

(â26) E ^- = - + - p^dz

dz a 0" j ^

810 CHAP. VI. — TIGES ÉTENnUES OU GuMPRDIÉES.

et les déplacements par

Si la tige est placée verlicalemont et soumise à l'acticHi de la pesanteur, et si l'on appelle n le poids de l'unité de volume, on a, suivant que l'extrémité libre est l'extrémité inférieure ou l'extrémité supérieure P = + n ou p =r — n ; et par conséquent, en réunissant les deux cas :

„dw P , ri /; \

dz (7 '