CHOC LONGITUDINAL. — PLUS GRANDES DILATATIONS OU CONTRACTIONS. 4(S0Ö

miner les niaxima, en t ou en z, de cette somme de deux fonctions /"', qu'on a vu être fort discontinues. Mais nous avons vu que par rapport à sa variable totale ?, ayant ici les valeurs w/ — c c['U -i-z — 2a, la fonction f présente, dans

sacourse, divers maxima qui sont /"'(îl^ -, f (2a 4- e), f (ia + î),.... Parmi

eux, il y en a un plus grand que tous les autres. S'il est possible de faire chacun des deux termes de f de (y\) égal à ce maximum particulier, son double offrira la plus grande valeur cherchée de leur somme. Or cette possibilité de rendre les deux termes égaux existe toujours; il suffira pour l'obtenir de faire z = a, ce qui donne

C'est donc à l'extrémité fixe z = a de la barre que se produira la dilatation ou contraction la plus grande ou la plus dangereuse, qui est ainsi :

Ulax.de— Doude — îi^ = leplusgTand des2f(c), 2/'(2rt+5), 2/''(4rt+s),2/'(Ga+s).- .

] , ,. , .-f , « + ^ oa + z 5fl-f-î 1(1+ i I avant lieu aux temps respectifs <= > . , •

V ' W (d w to

Reste ainsi à déterminer pour quelles valeurs successives du rapport -

du poids heurtant au poids heurté, chacun de ces maxima relatifs (/j) se trouve être plus grand que les autres.

Calculons-en donc d'abord les valeurs en P et Q. Les formules f'{^) de [z) à [z") nous les fourniront en n'y conservant que le signe supérieur + du ± et en mettant successivement z, 2a -f- s, Aa -+-t, Ga + £ au lieu de C, non seulement dans leurs secondes parties, mais aussi dans les premières parties qui sont, pour chacune, empruntées aux formules précédentes. La dernière seule des formules ci-après, celle f (8a -f- s), a été obtenue autrement, de manière à nous dispenser d'établir, comme les autres, une expression

f'K = ^ . j qui serait fort compliquée. Comme nous savons (n° 12) que

/' (8a -{-s) =:/■' (8a) H- -, nous avons simplement ajouté - à la valeur de

f'{Sa) tirée de (3'") , en y faisant C = 8a pour avoir f (8a H- s) . On a ainsi, pour

ces divers maxima, en négligeant, après les calculs faits, les -devant l'unité,

et en les doublant, pour avoir, comme on vient de dire, les déformations maxima :

(mj) Dilatation (sauf le signe) 2f' (£)=2 - ;

(rn'i) Dilatation (Idem). 2/-'(2a4-e) = 2 - A + e ~''^'] ;

480 ce CnAP IV. TIGES MIXCES. — NOTE DU § 60.

Parmi ces expressions de maxima des dilatations opérées pendant l'acte du choc, on prendra d'abord, et sans hésitation ni incertitude, la seconde (m') si l'on a Q-<^,7285P; car alors, d'après le tableau [e ) de résultats numériques, le choc se termine entre mI = 2a -j- ^ et w/ = 4a ; il n'y a ainsi de choix à faire, pour le maximum, qu'entre celles {m^) et (m') . Or la seconde

évidemment supérieure à l'autre, doit être prise pour la proportion de la plus grande dilatation longitudinale éprouvée, lorsqu'on a Q<< 1,7285 P. Mais cette même expression (mj) ou (m') ne peut-elle pas servir encore si

p est plus grand que l,728o? C'est ce qu'on saura en considérant, outre

le maximum particulier (m') 2/''(2a + £), les suivants (m) If (ia + e), (m' ) 2/"' (6a -|- z] qu'on aura, d'après le même tableau numérique, si Q est entre

J,7285P et 4,1511 P, entre 4,1511 P et 7,55 P, car alors le choc ne finira

,,,.,.. 4a 4- £, 6a 6a -f- s 8a qu entre les mstants f= et — , ou entre ceux et — ,.., Ur le

maximum particulier (m) sera plus grand que celui [m] si - est tel que l'excès du premier sur le second soit une quantité positive, ou si, en faisant abs-

iP 2P iP

traction du facteur positif commun - e \ l'on a 4- c " — e ^ >> 0, ou

{o,) 2.=i^e'^-1>0 d'où ?> 0,1 7587, ou j,<5,G86.

Si cette condition est remplie, (^n) surpassera (»'); et par cela seul (m') surpassera (ni j, (''*',7--- ; car, d'après ce qu'on a dit au n" 12, les maxima f (e), f (2a -f- s),... qui forment d'abord une série croissante, en font ensuite une qui est, de plus en plus rapidement, décroissante ; en sorte que dès qu'un (m) a dépassé celui qui vient après, il surpasse à plus forte raison ceux (jui suivent.

Donc, et sans plus avoir à tenir compte de la première limite trouvée Q < 1 ,7285 P, il suffit qiion ait Q •< 5,686 P pour que la plus forte compression ou dilatation soit exprimée par {in\ 2/"' (2a + s).

Quand Q dépasse cette limite 5,086 P, \o choc ne se termine qu'après

CHOC L0>G1TUDLN'AL. — PLUS GUANDES DILATATIONS OU CO>"TnACTIO>S. 480 f/(/

(,)t = (ja-\-z. Il y a lieu de considérer et de comparer les trois maxima (m'), (m"), fm") et même le suivant, (»i") 2/"' {Sa + z), si, d'après le même

tableau ci-dessus (e'J, ^ va jusqu'à excéder 7,35. Or le maximum (m")

2/''(4a+ s) y est plus fort que (»t') 2/"' (2a -H s), et il suffît que ce même

2/"'(4a-f-£) dépasse {m'î) -f (öa + e) pour qu'il dépasse les suivants comme

on vient de dire, et qu'il soit le plus grand de tous. U expression de cette con-

dition donne, en divisant tous les termes par -e ^'

2P inégalité dont le premier membre, pour— plus petitquele nombre 0,55174

trouvé par (oj comme limite inférieure, grandit visiblement dans chacune

de ses deux parties en même temps que -^ ; et, égal à — 1 pour — = 0,

op . Q .

devient positif dès que ^ dépasse 0,14476, c'est à-dire quand p est moindre

que 15,82.

Ainsi, la plus forte compression est (»i ) 2/'' (4a + i) quand le rapport ^

se trouve compris entre o,C8G et 15,816.

Enfin, si p dépasse 15,816, cas où 2/'' {Ç>a-\-î) dépasse 2/'' (ia + s), et où,

d'ailleurs, le choc ne se termine qu'après w^ = 8a, le maximum particulier 2/"' (6a -h î) est le plus grand de tous, pourvu qu'il dépasse If (8a + s). La condition pour qu'il le dépasse est que l'excès de (»i ") sur ^m'^j surpasse zéro. Cela donne

inégalité dont le premier membre, négatif quand on fait:= 0 son inconnue

-çT, mais croissant dans chacun de ses trois termes variables, avec-j- pour les

2P petites valeurs de — dont on a à s'occuper (ou moindres que 0,14476), devient

2P positif dés qu'on arrive à ^ = 0, 07949, racine de celte inégalité résolue

numériquement comme une équation; ou, ce qui revient au même, quand

p reste au-dessous de 25,16.

Ainsi, la plus forte compression a pour formule

('•,) — 3 =2/'' (6a + a) lorsque Q est compris entre 15,82 P et 25,10 P.

480 ee chap. iv. — tiges mixces. — note du § 60.

Lorsque ^ devient extrêmement grand, le choc, d'après ce qu'on vient de

voir, ne se termine, ou le corps heurtant ne quitte la barre heurtée qu'après

un temps t comprenant un grand nombre de fois celui — de l'aller et du

retour de l'ébranlement provoqué au premier instant de leur jonction. Une sorte de continuité approchée s'établit; les mouvements se règlent bientôt comme si l'inertie de la barre était à peu prés sans influence devant celle de la masse considérablement plus grande qui l'a heurtée ; ou comme si, au cours des nondjreuses réflexions de l'ébranlement, la proportion — d de la contraction devenait sensiblement la même d'un bout à l'autre de la barre. Alors, les formules obtenues élémentairement au n" 2 d'après Young, Tredgold, Poncelet, etc., en négligeant l'inertie de la barre heurtée, peuvent être appliquées avec une approximation suffisante, en sorte qu'on peut prendre pour la plus grande contraction ou dilatation, la formule {b) du n° 2,

Appliquons-la, comparativement à celle (r^), quand ^ = 25,16 ou la plus "rande valeur à laquelle s'applique cette formule ; nous obtenons :

{s') Par(;v ou (m';),— 0=.2/-'(Grt + £) = G,02ol2-,

(s") Par(si), — D = -v/25,l(J = 5,01925- (*) •

Ainsi appliqué dans la limite où nous possédons la vraie formule {i\),

celle (sj) ne fait erreur que de ^ dans l'évaluation de la plus grande dilatation éprouvée.

Si le rapport de Qà Pexcède25,lC, l'erreur sera encore moindre, puisqu'elle

se réduit à zéro pour -j^ infini. Mais, même, il sera rare que ^ atteigne25,16;

il n'est donc point nécessaire de pousser plus loin, ou jusqu'au calcul de

f (c— , ), dans une vue de plus grande exactitude, une analyse qui,

sans offrir plus de difficulté, se complique de plus en plus ; et on peut s'en tenir à ce qui vient d'élie donné.

Il reste touU'fois, pour éclairer celle matière, à prouver que la solution

(*) Ainsi qu'on a dit ;'i la lin du ii" 11, \). 480 y, l'on ne gafjnerail rien, car on trouverait 4,988 au lieu de 5,01925 si, au lieu de [h) ou (v,), 'on substituait la l'ormule {c') des n°» 2 et 11, p. 480 r et WO t. Cette formule (r'), (|ui suppose la dilatation Kiiiforiiic, ne donne Une deuxième approx.imalion que pour le calcul des déplacenienis divers du point heurte.

CHOC L0M;ITUI)INAL. — CAS EXTRÊME. 480 ff

vulgaire, susceptible d'èli'c ublenue élémenlairemenl quand on suppose négligeable l'inertie de la barre, et se tirant encore de la série (/) de Navier (n" 4), peut être déduite aussi de l'analyse qui vient de nous donner la solution en tei'mes finis.

Pour y arriver, supposons, de prime abord, que la séparation ne se fasse que lorsque &)f = ^ atteint un nombre de fois extrêmement grand la longueur la. Alors, ainsi que nous avons dit, la fonction /"(") peut être l'egardée comme gi'aduellement variable, c'est-à-dire comme ayant ses petits accroissements proporliomiels à ceux de sa variable qui y répondent. Si donc nous écrivons sous la forme suivante l'équation fondamentale [l) du n" 8, immédiatement déduite de celle (s) de jonction du corps heurtant ave(; la barre, en y remplaçant :: ou Oit par ? -f- a d'où m/ — 2rt par '^ — a, et mettant pour - F ( -

sa valeur reconnue égale a - ,

"la Oa '■la ~~ -la (./

nous pouvons y regarder ^-^ 11— XilIZiz comme égal à /'(i;); et puis,

toujours en vertu de cette marche supposée continue de /', d'où sa variation linéaire dans le petit intervalle 2«, nous pouvons regarder

f (; + »)- /■-(;-,,) 'la

comme égal à la dérivée /'" (C) de /' (î). 11 en résulte une équation différentielle du second ordre

<«■' ^"<-' + ïï^ '■'■' = 5^0- ■

dont l'intégrale bien connue est, A et B représentant deux constantes

Sans donner ici le détail des considérations par lesquelles M. Boussinesq détermine les deux constantes et réduit cette équation à

ilpeutsuffire de remarquer que lemouvement est ainsi, dans ce casextrêmej sensiblement pendulaire ^ ce qui a pour conséquence les résultats de la théorie élémentaire, au nombre desquels est la formule (i) du n" 1, ou

De tout cela M. Boussinesq conclut que dans la pratique, il faut prendre, pour les proportions — î) des plus grandes contractions ou dilatations de la

4:80 gg ciiAP. iv. — tiges mdjces. —vibrations transversales.

§ 61. — Vibrations transversales.

Je passe au problème des vibrations transversales, qui est de la plus grande importance, principalement en ce qui concerne les vibralions des cordes. Le problème des cordes vibrantes a été traité, depuis

barre prismatique d'un poids P, heurtée longitu'dinalement avec une vitesse V par un corps d'un poids Q à une de ses deux extrémités, l'autre étant fixe, les valeurs suivantes, qui sont respectivement celles de 2/"' {i), 2/' (2a -h s),

2/''(4a + £), 2/"' (6a -h s) ci-dessus :

iAu point heurté, à l'instant du commencement du choc Y — 3= - cruels que soient P et 0 ;

A l'extrémité assujettie, ou opposée à celle qui a reçu le choc :

Pour^<o,68(j : —3=2- {\+e ^ ), donnant —d=— si ^ est très petit

Pour p >5,686et<13,81G: — 3==2 - [1 + A— i j'jV '"'' -f c~ ~^ 1 ;

Pour p >15,81G et<25,'lG : —'^=^1 l+( 1-8^+8^. je '^ + ( 1—8 ^

Pour^>25,lG: — 3= (sensiblement) - i/-^=:VW r —

D'où il tire la conclusion que quand un corps massif heurte longitiidinalement, àun bout, une barre de longueur finie dont l'autre bout est fixe, la ])lus grande déformation qui en résulte se produit à l'extrémité fixe, et

sa proportion vaut le produit de celle de début, -. par un nombre dépendant

du rapport du poids Q du corps au poids P de la barre, et qui, égal à 2 quand ce rapport est nul, grandit indéfiniment avec lui en restant supérieur à sa racine carrée vers laquelle il tend.

Ce seront ces déformalions, quel que soit leur signe, c'est-à-dire dilatations ou contractions, dont la valeur numériijue devra, d'après ce qu'on a dit de ce qui peut se passer pendant la détente (fin du 11" 12, p. iSO/^/'), être égalée

à la limite ~ des dilatations non danfrercuscs ])our établir (w" 10 et 11 de

la Note du § o7, p. 207 à 270) la condition de coliésion ])ornianouto, c'està-dire de uou-rupture, même éloignée, ou de non-énervement de la matière de la barre.

{VA nous renvoyons, au leste, à la fin du i)° 11, pages 4(S0î/ et ;;, pour la solution de la parlic du problème consistant sinq)lemeüt dans la détermination du plus grand déplacement de l'extrémité heuilée.)

IMPULSION BUÜSQUE SUIVIE ü'lMl'LLSlO.N GliADlÉF;. 561

au produit du poids du corps qui la lieurte par la hauteur de chute gi-néra-

trice de sa vitesse de clioc, est égale au — =:^0,0oüü56 du produit de son

volume par -^ qu'il appelle le mxlitle de rcsilicnce (ransveraah de la ma-

tiére dont elle est composée.

Mais on conçoit fiu'il faudrait un plus grand nombre de calculs rigoureux portant sur d'autres exemples pour s'assurer de l'approximation de cette sorte de compensation des causes d'augmentation et des causes de diminution du coefficient numérique quand le l'apport des poids Q et P varie.

55. — Suite (les api)lifaüi>n.< des noliitious vkioiiveusea ou en séries. — Eremple d' im])ulsi(m en partie güadcke due à l'action de la pesanteur de la barre ainsi que de celle du corps qui l'a heurtée. — C'est le cas, n" !25, de la prise en considération des poids agissant après l'impulsion brusque et verticale d'une barre horizontale, qui a fourni pour les déplacements u la

formule (/>.) ayant une partie entière hors du V, et, dans la parenthèse, sous

ce signe V, outre te terme ordinaire affecté du sinus d'un multiple du

temps, un second terme affecté du cosinus.

Déterminons seulement la plus grande flèche de flexion; en ne tenant compte, ce ({ui suflitàtrès peu près pour une pareille détermination, (|ue de

ce qui est fourni par le premier terme du V, celui qui vient de la plus

grande vibration, ou de la plus pelite des valeurs rûQ de m, donnée par le premier tableau du n" 5'2.

Alors, la plus grande valeur de u se trouve, à chaque instant, au milieu. Mais il faut connaître à quel instant aura lieu le maximum de la parenthèse

Irigonoraétrique binôme ent affectant ce que recouvre le V. Si l'on égale

à zéro sa différentielle par rapport à t, on en tire :

'"-/ iir-\-

On voit une l'angle — excède '- ; on aura le maximum du binôme en T z

prenant cet angle entre -^et -: car le sinus étant positif et le cosinus négatif, le binôme, en faisant la substitution, sera positif; tandis qu'il serait négatif si on prenait l'angle entre -^ et 2^-.

On a ainsi le cosinus et le sinus égaux à — gz- et à )?i-Vt divisés par \/ \9'''] -i-('»'Vr) • Substituant, le binôme devient ce radical lui-même

multiplié par — ; . Donc, en désignant par f^ la flèche que nous appellerons

562 CHAP. IV. NOTR nu § Ol. — IMPULSION TliA.NSVKUSALE.

totale, qui est l'excès du maximum de (20:,= „ s""" ^^ partie qui provient de la flexion avant le choc, fournie par le premier des deux termes de (p/) Jiors du V, et en remettant pour (/t- sa valeur dans le premier terme sous le radical, on a :

(»e) /t^I'"''»^- de w,,)— -^

48Ëi

+ (/«nV:i-

"IV \cos- in„ coli'-/».

11 serait facile de calculer celte expression pour les diverses valeurs de m^que donne la première colonne du tableau des valeurs de m, du n" o!2. Or, 1", nous j)Ouvons remarquer que la fraction affectant le radical, si on la multiplie par ml Vt, n'est autre chose que la valeur (ry'J, donnée (p. 555) au n" 52, de la fîcche dijnaniique f^^ pour ni=mQ; en sorte qu'en faisant i)assersous le radical cette fraction élevée au carré, le second terme deviendra ce que nous avons appelé /'^.

2*^ Si l'on calcule les valeurs de celte même fraction pour divcMs rapports de P à (}, on trouve

Pour — =

' "IV " \cus- Wq coh- lll^,

O.DO'Jb!:)-