CHAP. V. — TIGES ÉTENDUES OU COMPRIMÉES

fait que c'est seulement la superficie de la section transversale qui est déterminée, tandis que sa forme reste absolument arbitraire. En effet, si la tension est répartie d'une manière parfaitement uniforme sur tous les points d'une même section transversale, la forme de cette section, pour la détermination de la force portante de la tige, est tout à fait indifférente; c'est seulement sa superficie qui en donne la mesure. Cette considération approximative se traduit dans la formule précédente (528), qui sert uniquement à calculer la superficie de la section transversale dont on a choisi arbitrairement la forme.

Appliquons-la aux deux problèmes particuliers que nous avons traités dans le g précédent. S'il n'y a que la force de la pesanteur qui agisse sur l'intérieur de la tige, et si l'extrémité supérieure est fixe, on a p = n, et par conséquent

On peut se faire facilement une idée de l'accroissement de la section transversale, en imaginant la tige divisée en parties d'égale longueur et en calculant la superficie c pour chacun des points de division. En ces différents points, / — 0, mesuré depuis l'extrémité libre, a les valeurs

0, -, 2 -, /; et si par conséquent on pose

on obtient, pour les valeurs correspondantes de g, une progression géométrique :

qui exprime d'une manière simple la loi de l'accroissement de la section transversale.

Dans le cas où la lige est soumise à l'action de la force centrifuge, que nous avons aussi considérée au § précédent, les sections transversales s'accroissent plus rapidement. On a alors (527 a) :

ou bien

Rn

§ 82. — TIGE A SKCTION VARIAULE, d'ÉGAI.E UÉSISTANCE. 815

La loi d'accroissement peut se représenter d'une manièi'C analogue au cas précédent par la série suivante, qui donne les valeurs des sections transversales pour

P P , 2» — 1 P , in — i P , m (2ii — m) P , ,

OÙ l'on a posé :

Les exposants de h ne forment plus une série arithmétique de premier ordre, mais une série de second ordre; les sections croissent donc plus vite que dans le premier cas.

On peut facilement appliquer ce qui précède au cas d'une compression uniforme, au lieu d'une extension. Il n'y a qu'à considérer P et R, (ou plutôt R'o, note de la page 811) comme des quantités négatives,' et à employer exactement les mômes formules.

CH A IM TUE Vil

§ 83 — Flexion. — Suppositions et formules générales.

Dans les paragraphes qui précèdent, on a établi les principes suivants, concernant la flexion.

Lorsqu'une tige cylindrique, primitivement droite, est fléchie d'une petite quantité par des forces extérieures, sa déformation se compose de deux flexions dont chacune ne produirait qu'une courbure simple de l'axe de cette tige. Les plans de ces flexions sont ceux qui seraient menés par l'axe longitudinal, et par chacun des axes principaux de la section transversale (*). Les directions de ces plans sont donc, en général, déterminées; cependant, si les moments d'inertie principaux de la section transversale sont égaux, on peut, au lieu des plans ainsi définis, prendre pour plans de flexion deux plans quelconques menés par l'axe longitudinal de la tige et à angles droits l'un sur l'autre.

Soient u, v, les dôplacemenls latéraux de la ligne des centres de gravité, mesurés dans les plans de flexion ; ces déplacements, lorsque les sections transversales sont petites, se déterminent au moyen des équations suivantes, où MetN désignent les moments des forces extérieures

(■) Cette décomposition a été donnée pour la première fois en 1843, aux 11°" S et 2") d'un Mémoire sur le calcul de la résisinncr ri de la flexion des pièces solides ù simple ou à double courbure, en jireufinl simullaïuhiient en considération les divers efforts auxc/uels elles peuvent être soumises dans tous les sens, lu à l'Académie les 50 octobre et 6 novembre (Comptes rendus, t. XVII, p. 942 et 1020) et déjà cité.

Navier ne l'avait pas aperçue; car, conune nous avons déjà dit à une note du J^ 58, p. 287, il supposait qu'une pièce llécliit toujours dans le plan du couple qui la sollicite à lléchir, ce qui n'est vrai que lorsque sa section transversale a tous ses moments d'inertie égaux autour des diverses droites qui y sont tracées pnr son centre de gravité. (Voyez aussi le n° XVI de l'historique mis en tôte de l'édition de 18()4 des levons de Navier, et l'article i2 du mémoire sur la tor^ion, ilu t. XIV des Savants étrangers.)

Cette manière, qui a été adoptée par Clebsch, de calculer une flexion oblique en composant ensemble deux flexions droites dues aux moments des forces autour d'axes connus, savoir ceux d'inertie des sections, est bien préférable à celle de prendre le moment autour d'un axe unique et inconnu, qu'il faut d'abord déterminer, et dont l'angle d'inclinaison complique les équations et formules.