FLEXION. SA DÉCOMPOSITION EN DEUX. SES ÉQUATIONS

appliquées à la tige depuis la section s dont l'abscisse est z, jusqu'à rextrémité ^ = /, autour de lignes menées par le centre de gravité de cette section transversale a parallèlement à ses axes principaux d'inertie pris respectivement pour ceux des coordonnées x, y :

D'après ce que l'on a vu au § 54, on peut, au lieu de ces équations, prendre les suivaides (550) qui leur sont équivalentes, et où U, V, W^, W, sont, comme à ce ^ 5K formules (209) p. 450, deux sommes (187 of), s; 50, p. 425, décomposantes» dans les sens x, ij^ et de deux sommes (188 6), p. 427, de moments autour des axes d'inertie x, y des forces extérieures agissant à Vintérieur de la tige, par unité de sa longueur; enfin où, dans les deux termes ici ajoutés aux formules du § 51',

désigne une force de traction ou de pression supposée appliquée à rextrémité ;■ = / de la tige dans une direction longitudinale, et qui produit des moments T [u — {ii)^, T [y — (d)J autour des parallèles aux y et aux x menées par le centre de la section o- dont l'abscisse

est z :

/P-F./^S 1-. ^, d'il m l^'ll TT if^^l r , ^'i' rr d' 1' ,. ^A\,

^ ' dz' r/:-- dz dz' dz- dz

A ces équations doivent être jointes les conditions limites suivantes (550 a), (550 b), applicables à l'extrémité de la tige, conditions où K, L sont les composantes suivant x-, y^ des forces appliquées à une extrémité ;:•=/, et (A')^, (B')^ les moments de rotation des mêmes forces autour des axes d'inertie à la même extrémité :

et

Les moments (A)^, (B)^ sont considérés comme positifs lorsque, pour un observateur placé sur l'axe positif correspondant et regardant vers l'origine, ils leudenl à produire une rotalion dans le sens de la

marche dos aiguilles d'une montre; et que la position relative des axes coordonnés est telle que, pour l'observateur ainsi placé sur l'axe positif £c, l'aiguille d'une montre se meut de Taxe positif y à l'axe

Maintenant, soient nommées

(öTtOc) '\(lr(hjd~-, \<l.r(]ijdz, yjl.rdi/dz ,

les forces agissant sur tout élément infiniment petit dont les coordonnées sont désignées para:, y, z et qui est compris entre les sections dont les abscisses sont z et /. Alors les moments de rotation que nous avons, dans (529), désignés par M, N, de toutes les forces agissant sur la portion de la tige comprise entre les sections transversales ayant pour abscisses z et /, ces moments étant pris par rapport aux axes menés par le centre de gravité (0, 0, z) de la section transversale ayant l'abscisse^- parallèlement à ses axes principaux, auront pour valeurs :

( M =(A');+ K (/ — =) — T [u. — u) + Ijr [X(z—z}—Zx] dxdijdî ,

(550f/) I ppnï=l

( N = (BO, — 14/— ^)H-TO',— î'i-jfjfjL" \\{l.-z) — lij]dxdyd''z.

Les intégrales par rapport à dxdu, dont les limites ne sont pas indiquées, doivent être étendues à toute la superficie delà section transversale. On déduit de ces équations, en les différenliant :

et par une seconde différentiation :

dm dHi rçf d l d^-^d^-^JJV^dz

dm ^^^ rn\- , di

Jjis^f,).u.,.

On a, chaque fois, supprimé les traits horizontaux lorsque, dans la fonction correspondante, ;• devait être remplacé par :.

Rappelons-nous maintenant que nous avons introduit au j/ 50 cité, formules (187 (/) et (1.S8 />), p. iL>5-ili7, les notations suivantes :

U— r/W///,V=jJv^/.n///,\\-- I I Uld!|^\,=^ffv.nh:d!|^\,^jJ■/A|dxdlr^

g 85. — TE^SIO.N. l'OI.NT OU KLLE EST LA PLUS GI'.AKDE. 819

de sorte que les expressions précédcnles deviennent :

jdm d^-u d\\\

d^~ ^ dz ~d^''

Par conséquent, en différeutiaiit deux fois de suite les cMpiations (520), on trouve identiquement les équations (550); eten faisant z=^l dans les équations (52!)) elles-mêmes ou dans celles qiue l'on en déduit par une seule dii'fércnliation, on trouve les équations de condition (530 a) et (350 6), ce qui démontre Videntité complète des deux syslèmes d'équations.

11 est à remarquer que, dans la plupart des cas, les intégrales désignées par W^,\V, s'évanouissent. C'est surtout lorsqu'il s'agit de trouver les équations du mouvement, au moyeu de l'application du [iriucipc de d'Alombert, ou de la prise en considération des ineities remplaçant alors ordinairement les forces Z, que ces deux intégrales peuvent être à prendre en considération.

La tension, en un point quelconque de la section transversale o-, défini par les coordonnées x, y, s'obtient au moyen de la formule (250) page 651 , d'après laquelle il se produit en ce point une tension longitudinale dont la valeur est

Pour trouver le point du corps où la tension est la plus grande, ce qui a une grande importance dans les applications, il faut chercher les maxima de cette expression. Dans chaque section transversale, il v a un point où elle devient maximum, et il est facile de trouver la position de ce point. En effet, dans l'intérieur d'une même section trans-

versale, les quantités -rj^ -p, sont constantes; si donc l'on considère

la droite

dhi d-v

ou bien, en remplaçant les quotients différentiels par les inverses des rayons de courbure, la droite

i'JOO) — h , = 1 ,

cette droite coupe les axes x, y, à des distances p, p' de l'origine; et une droite

./■ Il

P P qui est parallèle à la première, coupe les mêmes axes à des distances ntp et nip' de l'origine. D'un autre coté, la tension, aux points de celte dernière droite qui sont compris dans la section transversale, a la valeur :

Les points de plus grande et de plus petite tension dans la section transversale se trouveront donc en cherchant le maximum et le minimum de m, c'est-à-dire les points où une ligne menée parallèlement à la droite (553) devient tangente au contour de la section. On a ainsi la règle suivante :

Pour trouver le point cVune section transversale, où a lieu la plus fjrande tension^ on prendra sur les axes principaux de cette section, à partir de leur point d'intersection, des longueurs égales aux rayons de courbure des flexions correspondantes, et on joindra les extrémités de ces longueurs; on mènera ensuite, à la ligne ainsi tracée, des parallèles qui soient tangentes au contour de la section. Les points de contact sont ceux de la section transversale oii s"" exerce la plus grande tension ou la plus grande pression.

Les pointsainsidèterminés, danschaque section transversale, forment une courbe sur la surface extérieure de la tige. Le maximum absolu de tension se trouve en un certain point de cette courbe, et doit être déterminé conformément aux règles du calcul différentiel. Cependant, il est à remarquer qu'il ne setiouve pas toujours un maximum proprement dit, ou dans le sens analytique du mot. Le plus souvent, au contraire, l'on n'a à considérer que la valeur la plus grande de la tension, qui se produit aux extrémités de la tige,el il faut particulièrement porter son attention sur ces extrémités dans tous les cas. En d'autres termes, il faut toujours prendre les valeurs du maximum de la tension dans les sections extrêmes ; puis chercher s'il existe, dans l'étendue de la tige. un antre maximum; et prendre, entre toutes ces valeurs, la plus grande en valeur absolue.

Lors(|ue la ilexion est plane, et que, par conséquent, // ou v disparaît, la chose devient beaucoup plus simple. Dans la construction indiquée, l'un des rayons de courbure devient infini, et la tangente doit être menée iiarallèlemenl à l'un des axes jtrinripaux ; alors la fibre la