CONDITIONS DE FLEXION PLANE

plus tendue est toujours la plus éloignée de l'axe principal autour duquel la flexion se produit, et la tension de cette fibre, en désignant

par.r ==r ± // sa dislance à l'axe principal, s'exprime par

T VJi (ooo) t... =.: - np — •

Cela concorde rigoureusement avec les résultats de la théorie ordinaire (*).

(■) L'auteur ajoute ceci : « Toutes les hypothèses de cette théorie se trouvent de même confirmées lorsque l'on suppose la section transversale exlr(*mement petite. Mais c'est seulement M celte condition qu'elles sont vérifiées; c'est seulement dans cette hypothèse que les sections transversales reslerjt planes après la flexion et » (ajoute-t-il) « que /es tensions croissent it ni foi meinen t suivant les tranches parallèles de la section transversale. Il n'y a qu'un des résultats de cette théorie qui soit impossible dans tous les cas » (même, apparemment, comme l'auteur semble le penser aussi quand la section est extrêmement petite) « c'est la production d'une llexion plane dont le plan ne passe pas par l'un des axes principaux des sections transversales. »

Or, presque tout ce qu'il exprime ainsi est inexact et plus ou moins contraire aux fornuiles qu'il a obtenues lui-même aux §§ 20 et suivants, en sorte que les réserves qu'il lait ici sont, nous le pensons, presque entièrement sans sujet.

En effet : l'> Quelles que soient les dimensions de la section transversale par rapport à sa longueur, si la tige n'est sollicitée à ses extrémités que par des forces faisant couples, appliquées normalement à ses bases en tous leurs points, et si on les suppose d'intensités proportionnelles aux distances de ces points à une même droite passant par le centre do gravité de chaque base, les sections resteront toutes planes, et c'est, si les couples résultants appliqués aux deux extrémités sont dans le même plan passant par l'axe longitudinal de la tige, le cas de la llexion dite égale d'un bout à l'autre, ou en arc de cercle.

2° Si, la section transversale ayant encore des dimensions quelconques par rajiport à la longueur, les forces déterminant la flexion ne font pas couples, mais sont appliquées et distribuées aux divei's points des deux bases conformément aux expressions de t^.-, t,.-, tjdes formules (75 a) du commencement du § 20, la fonction B^ de x etT/élant détei minée de manière à satisfaire aux troisièmes équations (69) et (70) du g 24, détennination dont on a développé le principe au § 50 pour les sections symétriques, et dont la deuxième formule (91 a) du g 51, p. 20 i, donne le résultat pour la section elliptique, alors, les sections primitivement planes prennent il est vrai, par l'effet de la flexion (qui est dite inegale ou croissante d'une extrémité à l'autre), la forme de surfaces légèrement couibées en doucine, coupant normalement la surface latérale qui a cessé d'être cylindrique ; mais toujours les tensions t--, s'exerçant à travers la section, croissent (tout comme dans le cas de la flexion égale ou circulaire) unifomtcnient à partir de la ligne qui y est tracée par son centre de gravité, perpendiculairement au plan de flexion; car elles sont alors exprimées, à travers toutes les sections comme sur les sections extrêmes, par la dernière des formules (75 o], t,, = Ea; (fli-j-^jî), prouvant bien leur croissance ou décroissance uniformeavec la coordonnée transversale x (ou y). Et c'est ce qu'on peut prouver élémentairement en admettant ou en monti'ant d'abord que toutes les sections se changent en une même surface courbe (note du n" 80 de la 5* édition, 1864, du Résimiv des Leçons de Navier, §§ 2, 5, 4, pages 55-56).

3° Il est bien vrai que ces modes d'application et de distribution des forces qui produisent la flexion égale (du 1°) ou inégale (du 2") ne sont jamais réalisés, et que cps forces faisant ou ne faisant pas couples sont en général appliquées latéralement et non sur les bases. Mais, ainsi que nous l'avons dit à deux notes du § 81 ci-dessus, il y a les mêmes raisons de regarder les formules relatives à la flexion et à la torsion comme aussi bien applicables, alors, que celle de l'extension simple^ passé des points à de très petites distances des extrémités pour peu que la longueur de la tige soit plusieurs fois son épaisseur. C'est ce quedit Clebsch lui-même au ij 28; et c'est ce qu'apprennent, comme nous avons dit à

Les formules du § 55 donnent aussi des résultats semblables pour des tiges piiniilivenient courbes. Je laisse de côté la discussion concernant ces tiges et je ne traiterai les problèmes principaux que pour les liges droites prismatiques, en ne les supposant tlécliies que dans des plans passant par un des deux axes principaux d'inertie de leur section n.

j^ 84. — Flexion d'une tige sous l'action de forces réparties sur sa longueur, sans traction ou pression dans la direction de son axe.

Reprenons les équations (329) du § 85. Considérons une tigeployée par des forces dirigées perpendiculairement à son axe, et admettons qu'en même temps elle ne soit pas tendue ou comprimée par une très grande force longitudinale ; admettons aussi qu'aucun couple de forces n'agisse sur intérieur, c'est-à-dire que \\\ et W^ (§ 54, formules 209, et § 83, form. 330) s'évanouissent. Examinons à part la tlexion

la praiide noie de la lin de ce paragraphe "iS, non seulement des expériences de diverses sortes rapportées en cet endroit ainsi qu'aux pages 19, 40, 234, 520, 829 (§ G des notes des n°' 21 et 80, etc.) de l'édition de 1864, annotée, des Leçons de Navier, mais encore un raisonnement théorique circonstancié, de M. Doussinesq, fondé sur le princijie du potentiel, toujours positif, des forces élastiques, et sur la nature même des solides appelés liges, dont chaque tronçon n'a éprouvé que de petites déformations ne dépassant pas les limites de stabilité de leur contexture.

4" L'auteur s'exprime mal lorsqu'il dit qu'un des résultats de la théorie ordinaire est impossible dans fous /es cas (c'est-à-dire, donc, même avec une section extrêmement petite); ce résultat est, dit-il, la production d'inir flexion plane dont le plan ne passe pas par l'un des a.ces principaux de la section transversale. Une llexion plane, c'est-à-dire dans laquelle l'axe longitudinal primitivement rectiligne de la pièce, devient une courbe plane, est en effet, contrairement à celte négation, possible suivant tout autre plan ([ue les deux qui comprennent un axe principal transversal : seulement, alors, ce plan de la courbe de l'axe longitudinal ne coïncide généralement pas avec le pian du couple ou moment ■ l'ésuUant des forces qui font lléchir; il se rapproche plus ou moins (ce «jui n'avait pas été aperçu par les premiers auteurs do la théorie de la flexion), du plan de plus facile flexion, perpendiculaire à l'axe du plus petit des moments d'inertie de la section; et son

inclirtaison se détermine par la formule (117 a) tang 9 = 7- du g 58, page 289. (Voir la note

de la p. 287 au môme ,^. Voir aussi, pour une démonstration élémentaire, le j^ 9 de la note du n" 83 de l'édition cilé(% 18()4, de Navier)

(') Voir, dans la deuxième uioilié d'une note du ji .IS, pages 284, 285, une citation de ce qui a été fait pour la solution de problèmes de flexions, toujours plus ou moins accompagnées de torsion, des pièces courbes à double courbui'c, ou de pièces courbes lilaucs sollicilécs à fléchir dans uii autre plan que celui de leur axe longitudinal; et l'indication de ce qu'il faut faire pour compléter ou modifier, dans le cas le plus général, ces solutions, fondées sur l'intégration d'équations ditiéieulielles données dans un mémoire du 7)0 octobre-G novembre 1843, et (|uc M. liresse a, depuis, établies d'une autre manière (Cours de niée. appl. Résistance des matériaux, 1859, p. 86). Voir aussi l'historique en fêle de l'édition annotée de ISavier, 18G4, n"- 20 et 21, pages 130 et 13-2. Voir encore la fin d'un article des comptes rendus de la séance de l'Académie du 27 janvier 1879 (Sur une formule donnant approximativement le moment de torsion, t. LXXXVIII, |). 145).

§8i. — FLEXION PAH DKS FORCES TA.NT ISOLÉES QUE ItÉPARTIES. 823

produite dans le [dan dôferminé par l'axe de celte tige et l'un des axes principaux de sa section transversale. Nous aurons, dans ce cas, pour déterminer les déplacements u des points de l'axe de la tige dans le sens X qui lui est perpendiculaire, l'équation

/'•'•/, I' ... d'il ,,

où |^g83, équations (529), (550), (550f), (550f/)l,Udésignant toujours les forces motrices ou d'inertie s'exerçant par unité de volume sur un élément intérieur de la tige, et Ü, ses valeurs aux divers points d'abscisses s, entre les sections dont les abscisses sont :• et /,

(555j M = (A'), + K ( / — c) + r~ ' Ü (?— :.) dl.

Le terme — T (?<^ — u) de (550 f/) ne figure plus dans cette expression, car il est d'ordre supérieur de petitesse lorsque la tension longitudinale T n'est pas extraordinairement grande.

Alors M est une fonction donnée de 2, et l'on trouve par deux intégrations, G et C étant des constantes arbitraires,

du „ . /'i M

rT-T-j dS ;

(337, »^c'+c:-+j;;(/;g^rf.),/.

du On détermine C et C en se rappelant que -r^ représente la tangente

trigonométrique de l'angle formé par la tangente à la ligne des centres de gravité, avec la direction primitive de l'axe de la tige, c'est-àdire avec l'axe des z. Comme cet angle est toujours très petit, on peut le substituer à sa tangente et le considérer comme ayant pour valeur

le rapport -r:' Si maintenant on examine les conditions auxquelles la

tige peut être soumise, on trouve les cas principaux suivants, avec la détermination correspondante des constantes arbitraires.

1" Im tige est encastrée à Vune de ses extrémités. De cette sorte, pour ;:=0, la position et la direction de la ligne des centres de gravité se trouve déterminée. A l'autre extrémité agit une force P dans la direction de l'axe des x, perpendiculairement à l'axe de la tige. On a donc immédiatement

824 r.HAl'. VII. I-LKXION DKS TIGKS.

du dz

du et, puisque, pour ;=(), u et -r doivent s'évanouir, les équations (556)

et (537) donnent

et, par conséquent, la solution du problème se présente sous la forme suivante

( "=xiri^"'"-^'+i!r=

' \}ix.—z)(h\ih. j (k

Pjcr'/r \ 2 G / , y 0 , y (i EiT/^

Si la force P existe seule, et si aucune autre force n'agit sur l'inté rieur, on a simplement

et la flèche de llexion, pour i==/, est ,

Si la tige est horizontale, et si l'on doit prendre en considération le poids propre de cette tige, ou bien une charge uniformément répartie, ce que l'on peut ragarder approximativement comme une extension du poids propre, on doit alors prendre pour Ü le poids Dœ par unité de longueur ; et on a, dans ce cas,

et par conséquent