V- ^ P lia

EaP 3 ' 8)*

et, puisque De/ désigne le poids tolal de la lige, cette llèche est la même que si le poids P appliqué à l'cxlrémité avait été augmenté des - (hi

o poids de la tige.

§ 84. — DIVERS CAS d'extrémités OU LIHRES OU ENCASTRÉES. <S25

'I" La tiqe est encastrée à une extrémité^ et Vautre extrémité, située à la même hauteur, est posée librement sur un appui. Ce cas se distingue seulement du précédent en ce que la force 1* n'est pas donnée, mais se trouve remplacée par une réaction inconnue — Q exercée par l'appui contre l'extrémité libre de la tige. Il survient une nouvelle condition consistant en ce quei< doit s'évanouir, non seulement pour :=0, mais aussi pourj = /; et en faisant, dans l'équation (ôoS), :■ = / et If = 0, on trouve pour la valeur de Q = — P,

Lorsque l'on aura déterminé Q au moyen de cette formule, on introduira dans la formule (558) la valeur — Q au lieu de P et l'on aura la valeur de ". Si par exemple la lige est chargée uniformément, et par conséquent si 0 = 11;:, on trouve, en faisant dans (540), P= — Q,ii=r=0,

d'où

De sorte que si, dans l'équation (540), on pose P = — ^ TTc/, on a

D'après cela, la courbe affectée par l'axe de la tige s'infléchit d'abord vers le bas avec la concavité tournée vers la partie inférieure ; ensuite, après un point où il n'existe pas de courbure (point d'inflexion), la concavité de la courbe se tourne vers le haut ; enfln, plus loin, se trouve un point où la tangente est horizontale et après lequel la courbe elle-même remonte. La position du point d'inflexion, où la courbure

- = -T—, doit s'évanouir, se trouve d'après l'équation

^='~, ou bien {) = r- — hh-^-\z^=(l—z) (l — U).

L'une des deux solutions, ::■ = /, montre seulement, ce qui était évident de soi, que l'extrémité libre et simplement posée n'éprouve naturellement aucune flexion, en sorte que la courbe (542) en n et 2, si on la prolongeait au delà, aurait une inflexion en ce point.

L'autre solution, donnant la situation du point d'inflexion intérieur :

montre que la distance de ce point à l'extrémité libre est triple de sa distance à l'extrémité encastrée.

Le point où la tangente est horizontale se trouve en faisant

0='^ ou () = ioPz—ïbh'-h%^:

ilz

En supprimant la solution z = 0 que 1 équation devait donner puisque, au point d'encastrement, la tangente est horizontale, cette équation donne ensuite :

oui évidemment il faut prendre le signe inférieur pour avoir un point appaitcnant réellement à la tige et non au prolongement fictif de la courbe qu'elle affecte, ce qui donne

pour la distance, à l'extrémité encastrée, du point où la tangente est horizontale.

11 convient encore de faire remarquer que la charge se partage inégalement entre les deux points d'appui. Puisqu'il l'extrémité libre on

a trouvé que la pression supportée par l'appui était égale aux ^ du

poids total, l'extrémité encastrée doit supporter les ^ de ce poids afin

que les deux appuis portent ensemble la charge complète.

du 3° La tiqe est encastrée aux deux extrémités. Alors, u et -r- doivent ^ dz

s'évanouir pour t=0 et pour z=il. On a ainsi quatre conditions, et il se trouve en effet, dans les équations (556) à (558) quatre grandeurs indéterminées ; car, dans ce cas, ni la résultante K, ni le moment (A' )^ relatifs [équation (555)] au point 2- = /, ne sont nécessairement nuls; ils représentent au contraire la force extérieure et le moment de rotation inconnus qui doivent être appliqués à celle extrémité de la tige pour la forcera y prendre la position et la direction données. Si l'on désigne cette force et ce moment par — Q et par R, on a, d'après l'équation (551) :

§ 84. RKACTIOXS DES APPIIS ÙV ENCASTREMENTS. 827

(543)' EcrX-2jj^^ = R-Q(/ — ;)+ f'j]{z-z)<h; ^*^

el, par intégration

E,,,= ;!^ = li. Q ( ;. iij + i; ' [ I'' c ( j - =, ,/:] ,/,, E.>.=„ = p, I - Q ( 'I - ï' j+ j; /;; [ /•' mr.„ß] ,/„/..

On a fait égales à zéro les constantes d'intégration, ce qui satisfait à

la condition que ii et -y^ doivent s'évanouir pour;- = 0. En faisant z=l

dans ces équations (5i4) et en égalant les mêmes quantités à zéro, on satisfait aux deux autres conditions, et on peut déterminer R et (J. Si, pour abréger, l'on pose

dzdz,

les équations (541) donnent, pour exprimer ces deux dernières conditions :

0 = R/ — Q^ + A, o = R^ot" + B ;

d'où

Les forces d'encasi rement sont donc ainsi déterminées, de même que la valeur de u, dans laquelle tout est connu lorsqu'on y aintroduitles valeurs trouvées pour Q et R.

Considérons encore le cas d'une charge uniformément répartie. Puisque l'on a U = n7, l'équation (543) devient :

Ea^ ^J ==R —0 (/ — ..j + n,r ^^i' :

(*) Cette méthode de détermination de ce qu'on a besoin de connaître des réactions s'exerçant dans le deuxième encastrement, que j'ai employée dans un cours lait à l'école des Ponts et Chaussées et lithographie en 18Ö8, puis indiqué de nouveau à un mémoire du 30 octobre "1845 {Comptes rendus, p. 954), méthode consistant à prendre pour inconnues, comme fait ici Clebsch, à la t'ois la vcnuI Imite — Q et le moment re'sultaiit R de ces réactions qu'exercent en leurs divers points les parois entre lesquelles le bout de la pièce est encastré à sa deuxième extrémité, paraît préférable à la méthode de Navier qui a le premier résolu analyliquement le problème du double encastrement, mais qui introduit dans le calcul une force fictive, supposée agir sur un prolongement de la pièce au delà de son deuxième encastrement.

On sait qu'on prend aussi aujourd'hui avec avantage pour inconnues, dans les problèmes pratiques des poutres de ponts à plusieurs appuis, les monirnta flr'chissnnts sur ces appuis.

828 ciiAP. vir. — KLFAioN ni;s tiges,

et, par intégration, en suivant une marche peu différente de celle qui précède ;

On voit que l'intégration est faite de manière que lesconditionsw =

du 0, et -y^ = 0 soient satisfaites pour 2 = /. En exprimant maintenant

ces mômes conditions pour ::-:=r:0, on obtient les équations

d'où l'on déduit :

lier/' " 12 '

La pression sur chacun des appuis extrêmes est donc, comme on pouvait s'y attendre en raison de la symétrie, égale à la moitié du poids total ; et chaque encastrement doit résister à un moment de rotation égal au poids total multiplié par un bras de levier égal au douzième de la longueur delà tige.

En introduisant dans l'équation ayant EaVu pour premier membre, ces valeurs de R et de Q, on trouve enfin

On voit que la courbe est symétrique, puisque u ne change pas de valeur lorsque l'on change :$ en {/ — z). Elle a sa tangente horizontaleau

milieu, au point où ^ = ,^; et deux points d'inflexion, où la courbure

change de sens, donnés par l'équation

^=0 ou l-^ — ßh—&z'~ = 0;