I OU
Ces deux points d'inflexion se trouvent donc placés symétriquement par rapport au milieu de la lige.
§ 84. — FLÈCHES Üb; FLEXION l'ÜÜU CES DlVEliS CAS. 82îJ
L'abaissement inaximuiii se prodiiil au milieu de la longueur et a pour valeur
4" Enßn, les deux extrémités de la thjc sont siinpleinent posées sur des appuis. Dans ce cas, aucune des extrémités ne doit être soumise à l'action d'un couple de rotation ; il faut donc que non-seulement (A')^ s'évanouisse dans l'équation (555), mais encore que, pour z=Oj l'on ait aussi M := 0, c'est-à-dire
(J:^K/H- f ÜÜ— c-i.ä
Cette équation détermine immédiatement la pression 0 = — K que doit supporter le point d'appui situé à l'extrémité z^l. Si l'on introduit, dans l'expression de M, la valeur de K déduite de cette équation et qui est
ce moment M sera complètement connu. L'équation (554) donne alors, par intégration, C étant une constante.
Dans la dernière intégration, on n'a pas introduit de constante, puisque u doit s'évanouir pour 2 = 0. La coastante C introduite dans la première se détermine par cette condition que u doit aussi s'évanouir pour z=:l. En effet, en posant, dans la dernière équation, i<=Ü et z = l, on trouve
/ jo je
Appliquons de nouveau ces formules au cas d'une charge uniforme, c'est-à-dire faisons U = Ile, nous avons :
et, pour que M s'évanouisse avec z,
k/H — —=^{; dou k=: ^'
En introduisant cette valeur dans l'expression de M, on trouve M = —11^—^^ — , E<7A--p = — lia — -^ — ;
et, par intégration :
(lu ^ n^ //:■- r\ n /h"' ;••
Il reste à déterminer la constante C de manière que ii s'évanouisse pour 2= / ; cela donne
et enfin
Le plus gr^nd abaissement, qui se produit au milieu, prend ici la valeur
Cette tlèchc de la pièce posée est donc cinq l'ois plus grande que celle du cas précédent, où la pièce était encastrée aux deux bouts.
g 85. — Tensions. Force de résistance des pièces . ou charges qu'elles peuvent porter.
Lorsque la lige n'est soumise à aucune tension longitudinale appréciable, la valeur de la plus grande tension, dans chaque section transversale, donnée par la formule (ô.'ôr/), ^ (S,', est représentée par l'ex-
Vit pression zh- — , où // représente la distance à Taxe principal autour
duquel se produit la flexion, du point de la section transversale qui en est le plus éloigné, de chaque côté de cet axe. Ces deux points correspomlent ù deux fibres dont l'une; est comprimée et l'autre Icndue ; et, à moins de circonstances particulières (jui en décident autrement, il faudra généralement adopter, pour la section transversale, une forme telle que ces fibres soient également éloignées de l'axe principal consi-
g ÖO. — liÉSISTANCE A I..V TLEXIO.N, ET CHAKGES LIMITES. 851
déré, pour qu'elles se trouvent également sollicitées, soit par la pression, soit par la tension (*).
La section de la tige où la plus grande tension a la plus grande valeur, se trouvera en cherchant celle qui répond à la plus petite valeur du rayon de courhure p (**). On déterminera donc les minima de la valeur de p et on en comparera les valeurs avec celles de la même quantité aux extrémités de la tige. Comme d'après (55 i) on a :
ru , > d'il M
p in- h(Ti-
il se trouvera des maxima ou des minima de - aux points satisfaisant
à l'équation
dz-
ou bien, en empruntant à (555), J; 84, p. 8*25, la valeur de M ,
(') Ainsi que nous l'avons remarqué à la Note de la fin du .S 57, cette rè:rlf n'est point théoriquement exacte, puisque la rupture par compression longituduiale parait n'être autre chose que la rupture par les extensions transversales, d'une proportion bien moindre, (lue cette compression fait naître, en sorte que les formes de section les plus avantao-ouses devraient être celles pour lesquelles la fihre invarialile, ou comme disent aussi les ingénieurs anglais) l'axe tien Ire, est bien plus rapproché des libres les plus étendues que des fibres les plus comprimées, comme dans les sections en double T non svmétrique qu'on donnait aux pièces de fonte, dans le temps où on les employait en poutres, ce à quoi on a à peu près renoncé pour divers mctifs de prudence, comme nous avons dit à la même note de la fin du § 57.
Mais des raisons de fabrication aux laminoirs, etc., portent ;i l'aire en double T symétiique les sections des poutres en fer forgé, employées aujourd'hui (voir le Traité de la résistance des matériaux du général Morin); et. quant aux pièces de bois, il y a aussi d'autant plus de raisons de ne pas se départir de la forme rectangulaire, que la résistance à la séparation, pour même proportion des dilatations de la matière, y est bien moindre transversalement que longitudinalement.
La symétrie, supposée par Clebsch, existe donc le plus généralement.
On évite d'ailleurs les erreurs sur la distinction ou sur le rapport mutuel des résistances des libres à l'extension et à la compression en déterminant, comme on le fait généralement les coefficients R et Rq (même note) de rupture prochaine ou éloignée, comme ceux d'élasticité E qu'on fait entrer dans les formules pratiques, par le moyeu d'expériences de flexion et de nipture par llexion, et non d'expériences séparées où il n'y ait que des extensions ou des compressions.
(■*) Ce sera aussi la section r/aw^rrcf/se, c'est-à-dire qui contient le point (Inugcmix on la plus grande dilutation a sa plus grande valeur. Les solutions que donne l'auteur dans ce paragraphe, où il n'est question que de déformations par dilatations longitudinales et llcxions, sont donc justes ou exemptes de l'erreur que nous avons signalée dans les deux notes du § Ö7, où il présentait, même lorsqu'il y a des torsions et des glissements sensibles une formule générale basée sur le faux principe en vertu duquel on limiterait les fmxionl intérieures, au lieu de limiter les dilatations qui, seules, compromettent la stabilité de la contexture de la iratière.
CIIAP. VII. l'LKMON DES TIGES.
Le second membre de celte équation n'est autre chose que la somme de toutes les forces agissant perpendiculairement à l'axe de la tige depuis le point z- jusqu'à l'extrémité. Il y a donc un maximum ou un minimum de tension ou de pression toutes les l'ois que cette somme s'évanouit. Dans les quatre problèmes que nous venons de traiter, où nous avons considéré des charges uniformément réparties, et de plus, dans le premier, une charge isolée P, les forces agissant à l'exirémité z=l sont respectivement :
Un ))oul c'iR'ysli'é, l'jiutrc lilire.
Un bout encastré, Ta litre posé.
-in,/,
Deux bouts oiuastiés
-zjn./,
Deux bouts poses
— ^UgI.
Cela fait voir immédiatement que dans le premier cas, il ne peut survenir aucun maximum de courbure entre les deux extrémités;
dans le second cas, il s'en produit un au point éloigné de ^^ de l'cx-
trémité :; = /, car la charge comprise entre ce point et l'extrémité est -Ils/; et que dans les deux autres cas, le maximum de courbure se
trouve au milieu de la tige. Or, dans les quatre cas, la valeur de-7— = est respectivement :
1«"' cas, 2'" cas, o'' cas, 4'' cas,
JL // ,4-11 (^ — -)' iL /-— ^'/^ + 4^- Jï Z-^ — ()hH- 6 :.^ n h. — ;2
ï^crr^^ ^^~^E).^ 2 '' EV 8 ' El-' 12
8 ' El-'
En iniroduisani pour :;■ l(>s valeurs :
' Eà^' 2
ré|iondant aux points où la courbure est maximum, on trouve, pour la valeur dt; la courbure en ces points :
9ii/^
24 Eà-
D'ini aulre côté, les valeurs de - aux extrémités î = 0, :=/ sont ; à
1\ VI up
p)z = {\~ E(7A^ ' 2Ea^''
8Eà^'
ni' 12Eà^'
