RÉSISTANCE ET CHARGES LIMITES POUR LES DIVERS CAS

Dans les deux premiers cas, la plus grande tension se produit donc au point 2 = 0; dans le troisième, la plus grande tension se produit en même temps aux deux extrémités, et dans le dernier cas, au milieu de la tige.

Si, dans l'expression de la tension, on introduit la plus grande valeur de - ainsi trouvée, et si Ton pose

(344^) - = Ro,

Ko désignant (voy. (5276), §81) la plus grande tension admissible sans danger de rupture même éloignée, on obtient la force de résistance de la tige. On a donc, pour les problèmes précédents, les quatre équations suivantes, établies comme on vient de le dire :

l«"" cas, S*". cas, 5*^ cas, A" cas,

i^'U'^TJ-^'«' r^-T~''»' PT^-^"' r^'T=^''-

Dans le premier cas, faisons P=0, pour que la tige n'ait à supporter, comme dans les trois autres, qu'une charge uniformément répartie; nous obtenons les expressions suivantes des valeurs de la charge qui peut être portée par unité de longueur :

La Chargen que peut porter une tige encastrée à une extrémité seulement peut être, comme on voit, quadruplée si les deux extrémités sont appuyées, et sextuplée si elles sont encastrées.

Là charge étant donnée, on obtient pour les longueurs de tige admissibles :

et si les longueurs et les charges sont données, on aura les valeurs suivantes pour les rayons d'inertie des sections transversales :

, /nT , /ii/i , / 11// . I~iïk

On peut supposer que la tige soit soumise en outre à une tension

854 CUM'. \11. • — ILKXIÜ.N DES 'JIGES.

longitudinale, à la condition que celte force ne soit pas assez grande

pour devoir èlre prise en considération dans l'équalion de la courbe.

Alors, à l'expriîssion — , il faut substituer les deux suivantes :

T , Eh l'^

OÙ T désigne la force de tension longitudinale, // et h' les dislances à l'axe de flexion des libres de la section transversale les plus éloignées de chaque cùié. On peut nalurellement, avec ces grandeurs, opérer

exaclement comme nous venons de le faire avec — et leur anpliquer

P les mêmes considérations. Si on fait Ji=It\ l'une des tensions maximum est augmentée dans chaque section transversale, l'autre est dimimiée et peut même être changée de sens, c'est-à-dire de pression devenir tension ou inversement. Il n'est pas nécessaire d'insister davantage sur ces observations très simples.

^ 86. — Calcul des rayons d'ineriie.

Tout ce qui précède suppose connu le rayon d'inertie ou de gijrdlion A. Nous allons donner quelques indications sur la manière de l'obtenir pour des sections de différentes formes.

Conformément à la définition donnée § 28 par les équations (8*2) page 173, oii ont été introduites les notations ■/., a, on appelait a'c le moment d'inertie de la section transversale autour de l'axe des y, lequel, dans le problème que nous venons de traiter, est perpendiculaire au plan de flexion.; et v:c était, de môme, le moment d'inertie autour de l'axe des x. Donc, T désignant toujours les intégiales élendues à toute la section transversale c, et ces notations étant conservées, on a

\'i7 ='- I .r-Wo-, x-(T = 1

l'iU

La détermination de ces deux grandeurs se trouve donc ramenée au calcul de deux intégiales, en supposant connue à l'avance la position des deux axes principaux.

Mais il en est autrement hnscpie ces axes ont besoin, aussi, d'êlrc trouvés.

Prenons deux axes (juelconques, pei'peli'liculaire'i l'un à l'autre el

^86. — DÉTEU.\ll>ATlu> DKS AXKS ET DES IIAYO.NS k'i.NEIITIE DES SECTIOINS, 855

menés par le centre de gravité ; désignons ces axes par x\ \j\ et par ?', 9 les coordonnées polaires, complécs à partir de leur inlcrseclion et du premier des deux, d'un élément f/c: de la seclion transversale. Si nous considérons un autre système d'axes rectangulaires menés toujours par le centre de gravité, dont l'axe des x fasse avec celui des x

l'angle a, et, avec l'axe 7' l'angle ^ — a, les coordonnées du même

élément dz, par rapport à ces nouveaux axes seront :

X = r cos {-il — aj = x' cos s -\- y' sin a, y = r sill (s — a) =: y' COS a — x' sin a.

Si les .'■, 7, sont les directions des axes principaux d'inertie, déterminées par l'angle encore inconnu a, l'on aura, d'après la définition des axes principaux donnée au § 28, la condition

(545) U= I .ryih-^^ I |.y' CCS a -f //'sin otj ((/'cOS'/ — x' f>hlct\(l/T,

et les moments d'inertie X-'s. -/.'g seront délerminés par les lorniules

1 ),-o-= I .r-(l/j= I (.'■' COS «-{-//' sill a)- ^/t»

[ x.-a= j y-(l'7= j ^//'cûSa — x' hin ctf da.

Supposons maintenant que, la seclion transversale étant donnée, l'on ait calculé, dans le système primitif quelconque de coordonnées x', //', les trois intégrales

I x'hh, j y'-dtr, j x'y'ih,

et posons

Les équations (540) et (545) donnent

!À- := a^., siii^a — la ^.^^ sin a cos a + a^ ^ cos-'a , •x^ir^a^.^ cos-a-f-'Ja^ sinacosa + r/^^ sin-a , 0 = 0. ,. sinacosa-i-a (sin^a — cos-a) — a sin a cos a. ,rx jij un

Il reste, au moyen de ces trois équations, à- calculer la position des axes principaux, ou l'angle x, et les grandeurs des l'ayons d'inertie ■A, A. On peut résoufire ces équations par deux moyens différents.

Celui (jui se présente le plus naturellement consiste à déterminer

CHAP. VII. — ILKXION DES TIGKS.

l'angle a au moyen de la dernière équation qui peut se mettre sous la l'orme

''2 sin a cos a 2«

(549j -^-^ ^^ = lang 'ia ==

COS-« — ïni-a ^ a — a

.ci: ij!I

cela donne, pour l'angle '2 a, deux valeurs qui diffèrent entre elles de deux angles droits. De ces deux valeurs, il y en a une qui salislait aux équations

(549 a) sin 2g = "^ : cos 2a

v/(r/ — a )--i--4f/.- v/(a — a )^-f-4rt-

Si nous prenons cette valeur, et si, au moyen des formules

l4-f'os2a . J — eus 2a . siu2/

COS-a = 7^^ > Sni-a = r. » SUl a COS a ::= — - — ,

nous introduisons dans les expressions de •/. et de a les valeurs de sin x et de cos «, nous obtenons :

L'autre méthode, plus élégante, consiste en ceci : multiplions la première des équations (548) par sin a, la troisième par cos a; puis la première par cos a et la troisième par — sin a; ensuite, multiplions la seconde par cos a et la troisième par sin a, puis la seconde par sin a et la troisième par — cos a; et additionnons chaque fois les deux équations obtenues, nous aurons

{(i y,. — À-) siii a — a^.^^ cos -a = 0 , {a^^, — •/.-) cos <x-\-a ^.^ siti « = U,

— a ^.^^ si II a 4- (V/^^^^ — À-j cos a = 0 , a cos a H- (a — ■/}) sin « = 0 .

Eliminons l'angle a de chacun de ces deux systèmes, en égalant

sm a

entre elles les deux valeurs que chacun donne pour » nous obte-

^ cos a

nous pour -/.^ et pour V une mèmcéqualion du second degré, qui, en

représentant par ;;• l'une ou l'autre de ces quantités inconnues, est de

la forme

et dont la solution est

I j:^ ) 2 / " ' •''.'/ ^ un j:>> ^^ ".,;/ k