SS =j

La fraction dont il s'agit diffère ainsi extrêmement peu de la valeur ^,

p qu'elle a exactement, comme nous verrons au n" o7, lorsque - est regardé

comme infiniment petit, ou qu'on néglige l'inertie de la barre. En la remplaçant par p|-, et en faisant passer ce rapport sous le radical, son premier

terme devient irrrr,) »ou le cairé de la flèche purement slatùiiie que nous

désignons ainsi

(ll'lt

prise par la barre sous la pression dti poids <j dans l'état de repos. On voit ainsi, f\. étant la llèche totale^ que* dans les limites très étendues

SOLUTIONS il'l'HOCHÉES TIUÜES DES SOLUTIONS JIK.OUIIEUSES. 565

du rapport du poids V de la barre au poids Q du corps qui la heurle, ou peut prendre

K) fr^fs + ^n + ti-

C'est l'expression qui a été obtenue par Poncelet pour le cas extrême de 1> -- très petit ou en négligeant, dans le calcul, l'inertie de la barre, lors(iu"il

s'agit du clioc longitudinal.

Si V = U, d"où /o = 0, c'est-à-dire si le corps pesant Qesl posé sans vitesse sur le milieu de la barre, cette expression devient

ce qui donne une généralisation, ou une extension à presque tous les rapports du poids heurté au poids heurtant, du tliéorème connu, trouvé pour le cas où le premier poids est très petit vis-à-vis du second, et qui consiste en ce que la flèche de simple mke en charge, sans vitesse, est double de la flèche statique.

Ce résultat se conçoit jusqu'à un certain point à priori; car, au delà de la situation d'équilibre statique que traverse le système du poids posé Q et de la barre P, et où la vitesse du point milieu est arrivée à son maximum, cette vitesse décroit en passant par tous les mêmes degrés que ceux de sa croissance, et doit engendrer, par conséquent, le même espace parcouru.

Ce théorème de Young énonce le premier résultat, en quelque sorte, d'impulsion continue, ou graduelle, ou tranquille, des systèmes élastiques, qui ait été trouvé.

56. Solutions approchées et simples de problèmes de déformation dynamique des corpa ou systèmes élastiques, tirées du développement des sinus de multiples des coordonnées qui entrent dans les solutions transcendantes. — Première approximation qui suppose très petite la masse de la pièce heurtée, comparativement à celle du corps heurtant. — Prenons encore pour exemple le problème (n"' 4, 6, 15) du choc, au milieu, par un corps de poids Q, de la pièce prismatique de longueur 2a et de poids P, appuyée aux deux bouts. Alors, expression (e,) du n" T», on a

^ -^ /smm sili /;/ ^ , .,., / 1 1 \ cos»; cohm

CCS m colu/(/ \cos-//( coli-/;*

Vu les développements connus des sinus et cosinus circulaires et hyperboliques rappelés au n" 22 formules (v.), on trouvera facilement

, . „ - .\.'2.:A,\a (!'/ l.'2...7\ 1«' \.^.örr l.ti «^ ^ ö'/^ 1.2..11 («t) Z = 2»r ^ '- ^ ~ /

1 — in^ 4- ^ )/iS .

564 CH.\r. IV. KOTE DU g 61. — IMPLLSIO.N TU\>SVEUSALE.

\cos-?» coli-//( '

2iv/(« 'j>0/)('o

Ai) 141 /.)

fit, pour l'équalion destinée à fournir le paramètre m,

sin )ii

sili

cos m

col

1 inj

210 ' Mh^m ■■■■

On sait que les développements comme {c-) d'équations Iranscendanter. bornés aux premiers termes ne peuvent fournir approximativement que leur plus petite racine; nous n'en tirerons donc que celle que nous avons appelée hIq.

Supposons d'abord (jue le rapport - soit très pehl.

L'équation prouve que ml est du même ordre de grandeur que ce rap- )rt; on peut donc réduire son secoi à ce premier degré d'approxi nation,

port; on peut donc réduire son second membre à -J» el l'on obtient,

':hn 2P 4 6P

On a en même temps, d'après [c~), (b.), (a-), __" = — ^ Sm^, = -^

pour les deux termes du dénominateur de Texpression (:„) de //, el

I? ( '- ^ —] iiour — Z dans son nnméralcnr; d'où, en ôtant le signe >

cl en niellant pour t sa valeur i /-—-, avec i /— pour ml, l'expression de première apjtroxinuition suivante :

C'est précisément w (in'oii aurait trouvé en supposant nulle, de primo

PREMIÈRE Al'I'ROX. OU ON NÉGLIGE l'iNERTIK DES SYSTÈMES HEURTÉ>. 565

abord, la masse -, ou en négligeant rinfluence de l'inertie du corps heurté

pour retarder et diminuer la flexion, ce qui aurait réduit l'équation différentielle à

à intégrer avec les conditions suivantes (où l'inertie du corps heurtant Q n'est point négligée comme celle de la barre heurtée) :

En effet, si nous appelons — ^T une fonction arbitraire de t, prise pour second membre de l'équation résultant d'une première intégration de ^-^ = 0, les intégrations subséquentes faites eu égard aux trois premières conditions donnent

qui fournirait le déplacement statique des divers points si ï n'était qu'une constante représentant le déplacement du point milieu, ou la flèche. La substitution de cette expression dans la quatrième condition produit

::-rr, '7-; + T = 0: équation qui, intégrée de manière que les deux dernières

IK^hl ci-

conditions, revenant à ce qu'on ait -^ =-V et T = 0 pour i = 0, soient satisfaites, donne, ce qu'il suffit de vérifier, une valeur de la fonction T du temps dont résulte bien l'expression {d-,) du déplacement u.

Cette expression [d-) fournit, en faisant %=^a et le sinus égal à l'unité, la suivante, simplement approchée, et connue, de la flèche centrale de flexion que nous avons appelée (n" 55) flèche dynamique et désignée par {^ en même temps que nous avons désigné par f^ la flèche staticpœ due à l'action, au repos, de la force Q appliquée au milieu :

57. Méthode générale et élémentaire donnant les flexions, extensions, contractions, torsio7is, ou les divers petits déplacements des points d'un système élastique quelconque, dus au choc d'une masse rigide lorsque, pour première approximation, on néglige tout à fait l'inertie de ce système quelle est venue heurter. — Puisqu'on y néglige l'inertie du système élastique heurté, ce qui revient à supposer nuls les retards qu'elle apporte à la communication du