X- = ~ m- -f- /?- 4- v//n'' H- n' 4- 'im^n- cos !2y

On a déjà dit, .i; 50, que si, dans la section transversale, il existe un axe de syinélrie, cet axe est en même temps un axe principal d'inertie. Alors, le système de coordonnées x, y est connu tout d'abord, et il ne reste à calculer que les intégrales : .

/-<r = I .r-(]rj , ■/r<7 = 1 i/-(Jt .

Pour faire ce calcul, on peut imaginer la sui'face divisée en bandes d'abord parallè'es à l'axe des .r et de largeur dy, puis parallèles à l'axe des y et de largeur dx. Dans le premier cas, si l'on pose dz = dxdy, et si l'on intègre tout le long d'une bande parallèle aux r et dont les extrémités ont les coordonnées ^r^, x^, on trouve :

dy, y.'<7= j y^x, — x^)dy\

l'intégration devant être étendue, dans la direction de l'axe des y, à toutes les bandes qui composent la section transversale; x^^ et x^ doivent être exprimés en fonctions de y, au moyen de l'équation de la courbe de contour.

Si au contraire on considère les bandes parallèles à l'axe des y, et si l'on intègre d'abord dans l'étendue d'une de ces bandes, il vient :

XV = I x-{yi — y„)d.r, x.V = j ' ' ^^ ' "dr.

On devra alors exprimer les coordonnées extrêmes, ?/„, y^ de cbaquc bande, en fonction de x\ par le moyen de l'équation de la courbe de (;ontour, et intégrer par rapport à x sur toutes les bandes en lesquelles la section a été décomposée.

Si la section transversale est un rectangle dont les côtés sont a e( />,

on a, dans h; premier mode de décomposition, x^= — a:„= -^-, et les limites d'intégration pour // sont — - et ; de sorte ((uc

^ 80. — <rnr. itF.s kxfmim.e?. 87)0

,» 7 C^'i (V' , frh , , r - ,, air

Si la périphérie de la se('tion tninsversaio est une ellipse dont a et h sont les demi-axes principaux, et qui peut être représentée par les équations

,ï =r rt COS î , y= h sin © ,

ou a

x^^^ — .r„ =r a cos o , dif =^ h cos o r/a ;

et les limifes de o pour les bandes extrêmes parallèles à l'axe des x

sont — ^ et + ^: par conséquent,

nli

= 2ah-- j

et comme ■:=r.ah.

Enfin, la position des axes principaux devient nécessairement indéterminée lorsque l'on a, en même temps a^^ =0, et a.. = «^^ . Car

alors, tang 2a prend la forme j.. Dans ce cas, on trouve, d'après (548),

de sorte qu'un axe quelconque peut être pris pour axe principal, et donne toujours le même moment d'inertie. Tous les moments d'inertie sont donc égaux, de quelque manière qu'on choisisse l'axe; il suffit alors de calculer une seule intégrale.

Cela se présente toujours lorsque, par exemple, la section transversale a deux axes de symétrie qui ne sont pas perpendiculaires l'un sur l'autre. Chacun de ces deux axes peut évidemment être considéré comme un axe principal ; ce qui conduit à deux systèmes différents d'axes

(') On a donné § 51, à une petite note (") de la page 207, un moyen bien plus simple et tout élémentaire d'obtenir ces expressions des moments d'inertie et des rayons de gyration d'une ellipse.

principaux, qui ne peuvent coexister qu'autant qu'il yen a un nombre infini, c'est-à-dire que si un axe quelconque peut être pris comme un axe principal.

Un polygone régulier est un exemple de ce cas particulier. L'intégrale à calculer se trouve alors très facilement de la manière suivante. Puisque A" = ■/.-, on a aussi

/ a-'-</ff == j ifiU = 9 / (.r^ + if) do

et comme \x^ + \f) est le carré de la dislance de f/s au centre de gravité, cette dernière intégrale ne conserve plus aucune trace du choix accidentel du sysième de coordonnées. Si alors on imagine qu'elle soit divisée en 2n parlies dont chacune s'étendrait sur toute la superficie d'un triangle rectangle ayant son sommet au centre, et pour base la moitié d'un des côtés du polygone, chacune de ces In parties aura nécessairement la même valeur. Si donc on limite l'intégration à la surface de l'un de ces triangles, on aura

Pour calculer cetle intégrale relative à un seul triangle rectangle, plaçons le système de coordonnées de manière que l'origine restant au centre du polygone, l'un des x coïncide avec son apothème, perpendiculaire au côté choisi. Si nous décomposons la surface du triangle

rectangle en bandes de largeur dx, et si nous remarquons que - est

l'angle à l'origine des coordonnées, la longueur d'une bande située à

une distance x de cette origine sera ?/jr=ra?tang-, et l'intégration, le

long de cette bande, donnera d'abord

Si maintenant a est le coté du polygone, le côté de l'angle droit du triangle, opposé à l'origine, est ;^, et l'autre est ^^ cot-; il faut

donc encore intégrer par rapport à a; de 0 à ;t cot -, et Ton trouve , par conséquent,

.r2+7/2V/^= lang - H- ^ tang- - i ; — '— = -rr cot^ - + ^ cot ;

9, ,SG. — üwnNs d'im:rtie pour des sections composées. 841

et enfin :

,„ va' / .. r 1 ^ ttX aV =: -rr cot- - H- = cot - .

bi \ n Ö n)

D'un autre côté, la surface du triangle est -^- cot -; el par suite, la

surface totale du polygone est

na"- . TT Tr= —r- cot - ; 4 n

d'où

r/- / TT 1\ À-= -p: cet- -t + = ), cp qu'il f.iU.iil frrnivor Ht \ ^ o/

Je vais maintenant donner le développement d'une formule qui permet de trouver le moment d'inertie d'une section transversale, composée de plusieurs parties, d'après les moments d'inertie de chacune de ces parties.

Ainsi qu'on l'a vu, toute la détermination de •/. et / repose sur la connaissance des trois intégrales

où x et î/ sont les coordonnées par rapport à des axes rectangulaires quelconques menés par le centre de gravité.

Supposons maintenant que la section transversale se compose d'un certain nombre de parties isolées dont les centres de gravité ont, par rapport à ces axes, les coordonnées

Par chacun de ces centres de gravité menons des axes rr^, î/^; iTj, 7/,; parallèles aux axes 37, y, et rapportons chacun des éléments d'ji de la première partie aux axes x^ y^, et, de même, chacun des éléments (h^ de la seconde partie aux axes a:,, y,, et ainsi de suite; nous aurons, dans la première partie :

a: = .ri + a,, y=zy^-\-p^,

dans la seconde :

etc. Si donc nous calculons chacune des intégrales précédentes successivement pour chacune des parties dont se compose la section transversale, nous aurons :

842 r.HAP. vir. FLEXION DES TIfiFS.

-h 2] [i, I !j^drr,-hp, fi/A,-^ j;