I .rJJa, , j .r^iiida, , I yldG

(»ni, ])our la première partie de la section, la même signification que n^^p, a,!,!^, «,.^c pour la section transversale entière. Désignons- les donc par a' a,,«' g,, a' c,; désignons de même para" c„, a" c,, a" g, les intégrales analogues pour la seconde partie, et ainsi de suite. Les

§ 86. EXF>FPLES DES Tlf.ES CRF.ISF.S. 84'

équations précédentes prendront alors la forme :

.ex IX l x.t 1 ' 1 1 i 2

un ijy l iiiJ i ' ri i ' > i î '

.ri/ III i ' m i ' 1' 1 1 • irj j

Le calcul des a^,^, a^^, a.^ pour la section transversale entièi-e se trouve donc ramené au calcul des grandeurs correspondantes pour chacune des parties de la section transversale, et à la détermination de son cenlre de gravité (*).

Ces formules se simplifient nolablemcnt si tous les centres de gravité des diverses parties se trouvent sur une même ligne droite, qui soit en même temps un axe principal de chacune de ces parties. Cette droite est alors aussi un axe principal de la section transversale entière. Si nous la prenons pour axe des x, tous les a^,^ disparaissent,

ainsi que les ß; les ci^^ deviennent égaux aux >- correspondants, et les a , aux ■/•-. Nous avons alors

À-o- = À^<7^-h>;T, H- ...... -T- aV| -->;>,. -h

Les formules qui précèdent sont encore applicables au cas où certaines parties de la section seraient découpées dans d'autres plus grandes ; il faut seulement alors prendre les parties retranchées avec un signe négatif.

Je vais en faire l'application au cas particulier d'un corps creux, dont la section transversale est limitée par deux courbes semblables et semblablement placées, avec leur centre de gravité commun.

Composons la surface transversale au moyen de deux parties, dont l'une soit la surface totale pleine, et l'autre la partie correspondant

(■) On peut voir aux -;§ 1 et 0 de la note du ir 8'2, page 48. de lédition de Kavier de 1864, quelques Ihéorèmes propres à facililer le calcul des moments d'inertie de ligures polytronales

quelconques : la formule I = (7 ^ du moment d'inertie d'un trapèze autour d'un de

ses deux côtés non parallèles sera surtout utile, o- étant l'aire; h', h" les distances, à ce côté, des deux angles qui ne s'y trouvent pas. et par conséquent les longueurs des deux côtés jiarallèles s'ils sont perpendiculaires à celui-ci. Toute figure peut, en effet, être ramenée à une somme algébrique de pareils trapèzes.

Au g 11 de la note du n" 8ô, pages 61, 62 du même livre, .on trouve des théorèmes pour faciliter le calcul des fj:ij(h des mêmes figures polygonales quelconques.

.\u ^ 4 de la note de son n° 85, se trouvent deux manières, conseillées l'une par Poncelef, l'autre par Bélanger, à préférer suivant les circonstances, de calculer, par la formule de quadrature approximative de Simpson, le moment d'inertie d'une ligure curviligne.

au creux. Puis(i ue les centres de gravité des deux parties coincidenl, les a s'évanouissent; et si z^, g^ sont les surfaces, >.j, x^ ; >.,, % les rayons d'inertie des deux parties, on a, d'après ce qui précède, pour la section transversale enlière :

et, comme évidemment '^ = '^i — '^„

Comparons ces rayons d'inertie à ceux d'une section transversale de même forme, mais entièrement pleine et de même superficie que celle de la section donnée, c'est-à-dire appartcn;mt à une tige pleine de même poids. Si nous appliquons l'indice 0 aux grandeurs correspondantes à cette section pleine, nous aurons tout d'altord

Si nous admettons que chaque ligne de la section entière <y^ soit, à la ligne correspondante de la section pleine c^i dans le rapport de \ ä 711; et que de même, chaque ligne de la section c^ soit, à la ligne correspondante ou homologue de la section c^ dans le rapport de i à n, nous aurons aussi

'y^z=nÙQ, Xj=mxo, l,^n\, x, = wxq:

par conséquent,

et les formules qui donnent les valeurs de À' et de y.-, deviennent

r = Il {nf- -+- 11") , x^ = x;' [m} -\- ■n}) ,

Rappelons-nous maintenant que la force de résistance de la tige

est proportionnelle au rapport-^ ; et que li, dislance à l'axe de flexion

de la fibre qui en est la plus éloignée, est évidemment égal à mh . Nous pourrons écrire

h lin \ tu

^ 87. ^ — ■ TIGES COMPOSÉES DE TLUSIEUnS PIÈCES QUI SE RACCORDEM. 845

Par conséquent, la force de résistance de la tiçje creuse est à celle

(le la lige pleine dans le rapport de 1 à | 2ni 1 si les dimensions

du contour extérieur de la section creuse sont à celles du contour extérieur de la section pleine dans le l'apport de 1 à ni.

^ 87. — Flexion produite par des forces réparties, jointes à des forces isolées. — Pièces portant sur plusieurs appuis.

Les l'unuules du g 8i permettent de traiter le cas où la tige doit supporter non seulement des forces réparties sur toute sa longueur, mais aussi des forces isolées appliquées en des points quelconques. On peut considérer celles-ci comme dt- s forces réparties uniformément, d'une intensité très grande, sur de très petites parties de la tige, et nulle partout ailleurs. Ces forces isolées se transforment ainsi en forces continues, et les formules du § 84 donnent facilement les flexions qu'elles produisent.

Une méthode, plus naturelle peut-être, consiste à imaginer d'abord la tige décomposée en un certain nombre de parties dont les jonctions se trouvent aux points d'application des forces isolées f'). On a alors à établir, pour chacune, une équation particulière d'équilibre de rotation ; et ces équations différeront de forme, en ce que le moment

EîV- -T— ; des résistances élastiques, à travers une section quelconque :;

de l'une d'elles, devra être égalé à la somme des momcnis des forces extérieures, tant isolées que continues, s'exeirant sur toute la tige, entre cette section et l'une de ses extrémités, par exemple la deuxième; sans y faire entrer celles qui agissent depuis la première extrémité ^. = 0. jusqu'à cette même section z dont on s'occupe.

(') C'est ceUe seconde méthode que Kavier a enseignée et employée, en posant, comme "va faire Clebsch, la double condition de raccordement des parties aux points d'application des torces isolées. (Résumé des leçons sur l'application de la mécanique, n" 27G, p. 186 de l'édition de ISt^G, et n° Ö0'2. p. 2Ji, de celle de 1853.) On peut voir au n" ö-2ö, p. 6Ö8 de la Mécanique de Poisson, ÜSÖö, combien cette méthode est plus simple que celle qui consiste ;i traiter, comme il le fait, une force isolée comme si c'était une force répartie sur un petit espace, en représentant la loi de répartition des forces sur toute la pièce par une fonction discontinue exprimée en série transcendante.

Cette méthode de Kavier eit rigoureuse. Il n'y a d'erroné, dans les mêmes parties de son livre, que ce qu'il avance sans calcul, au n" 282 (18t-(3\ ou ôO.j (1803), à savoir que le point où la pièce horizontale tend à se rompre est toujours situé dans la verticale du centre de gravité des poids dont elle est chargée: car, ainsi que nous l'ovons observé en 1838, le point de plus grande couriiure est toujours un de ceux d'appücalion des forces supposées toutes isolées.

846 CUM'. VII. FLLXIüN DES TIGES.

Appelons :• l'abscisse do cette section 7, à quelque partie qu'elle appartienne, et, la lige étant toujours supposée horizontale, désignons par

les dé[)lacernenls verticaux qui auront lieu dans ses dilTérentes i»ar- »ties; et

les forces isolées, supposées verticales; enfin

/i, /iH-/,, ii-hi,-{-i,, . . . . , /=^^-/, + /,^- .... H-/„

les dislances des points d'application do ces forces à l'extrémité :==Ü, en sorte que

soient les longueurs des diverses parties de la tige de longueur /, séparées par ces points d'application. Enfin, désignons par

le moment, autour de l'axe horizontal d'inertie de la section c, des seules forces continuement réparties, agissant depuis celte section jusqu'à l'extrémité ;;• = /; moment qui est, d'un bout à l'autre, une fonction de z. Nous pounons poser respectivement, pour les points des parties /^ /,,... /,, :

L'intégration de chacune de ces équations amène deux constantes arbitraires, pour la délerniinalion desquelles on a les conditions exté* rieures auxquelles sont soumises les extrémités posées ou encastrées, etc. de la lige totale. Mais on a, avant tout, celte condition, que la lige reste continue, c'est-à-dire qu'en chaque point de séparation de ses partiesj les déplacements // et les angles des tangentes avec Taxe

g 87. — TIGES COMPOSÉES DE PLUSIEURS PIÈCES QUI SE KACCOUUEM. iSi?

des z, mesurés sur les deux parties consécutives, aient la mônic valeur. On aura ainsi :

, (lu, (lu.,

pour i = /j. "i=^"i et — -'=— ^,

î = /j-i-/,, iii = u- ot

(Iz (h.

(lu., (lu.

Eu égard à ces conditions, les intégrales premières des équations (551) se présentent, a étant une constante, sous la forme :

(lu, P,{l,-z.)'- ?jl^+l^-zf P,(/,+/,+...+/,-;)^ r^Mdz

<i!^^ ?,{!,+ 1,-zr^ i'„(/,+/,+...+/,-:)^ r^}i(iz

On voit que la condition consistant en ce que pouri = /j on ait

du, du^ , , , .. du., du. ,

-77- = -77' que, pour i.z=/^-f/.,, on ait ~ .- -y-, etc., se trouve sa-

U/c (\Z ' (IZ (IZ

tisfaite si seulement la constante d'intégration a est prise partout la nième(*). Une nouvelle intégration donnera de la même manière : (555 a)

'■ , r^ nM(h(iz

,,'0 Jo L(7/.- '

P„(/,-l-/o+...+/„-c.r , r= i''M(iz(iz

î-r----tt,-z-r i • r-wtzdz

(*) En effet. /, tt-t; est, comme M, une fonction de 2 qui varie continuement dans toute

JÜ E7/l'étendue de la pièce et qui a, par conséquent, la même valeur dans deux de ses parties contiguës, à l'endroit de leur jonction. La constante appelée a n"est pas celle qui eût été à

n^'l- , . , j n . • -du

njouter à l'intégrale ( ^-r:, seule ; c est la somme de celles a ajouter pour avoir -r- à tous le^?

termes résultant des intégrales effectuées. Cette constante aurait eu une valeur différente si l'intégrale de p-r^. au lieu d'être prise entre les limites 0 et z, l'avait été entre les limites :• et /i 4- /ä + . . . . + /„ où agissent les forces réparties dont les moments individuels autour d'un axe de g composent le moment M qui lui est relatif; mais elle aurait dû avoir toujours

la même valeur dans les expressions de -j^, —rf, pour les raccordements des diverses

parties de la tige. Nous pensons »[ue ces explications pourront nétre pas sans utilité pour bien comprendre le sens des formules du texte.

848 CHAP. vil. — FLEXIOA DES TIGKS.

Ici encore, la condition que, pour i = /p on ait u^ =u^, et, pour ~ = ^1 4-/3, u^ = i(., etc., est satisfaite si la constante d'intégration ß a la même valeur dans toutes ces équations. Les conditions à remplir pour que la tige soit continue se trouvent donc entièrement satisfaites, et il reste seulement à déterminer les deux constantes a, ß, d'après les autres conditions données.

Le système des équations précédentes peut encore être employé lorsque les forces P ne sont pas connues, mais qu'elles représentent des réactions produites par certains points d'appui. A cùlé de ces nouvelles inconnues, et pour servir à les déterminer, il se présente de nouvelles conditions consistant en ce que la })Osition des points appuyés se trouve déterminée à l'avance.

J'examinerai le cas d'une tige chargée uniformément, posée librement sur ses appuis extrêmes, et supportée, en outre, en (h — 1) points également distants, qui divisent, par conséquent, la longueur de la tige en n parties égales dont chacune sera désignée par /. Dans ce cas, on

a 1^ = 1^=2 = l^^r=l; et ni est la longueur totale de la tige. Les

pressions sur les points d'appui, qui sont égales et contraires aux réactions exercées par ces supports sur la lige, pourront être désignées pai' On Qs-.-- Q„,êt on aura Pj= — Q^,V^=:—Q.,, ....etc.; et entin si II désigne le poids par unité de longueur, on aura aussi :

M /"^"""'n/ / - r U(ltl — Z)- M= L U[)îl — z](h=-——^^ -;

de sorte que le système des équations précédentes devient :

Mtit Q„ini-zf n /.^/v ./r .^\ •

"«- 6Ea),2 ••• 6EaX^ ^EaxA 4 6 +i)/J^«^ + '^'

Les conditions auxquelles doivent satisfaire les constantes sont maintenant celles-ci : que, pour tous les points d'appui, la valeur de u s'évanouisse. Si donc on pose, pour z = 0, ?/, = 0; pour :;• = /, M^=z<j=:U, etc., on aiu'a les conditions :

§ 87. — TIGES COMPOSÉES DE PLUSIEUltS l'IÈHES QUI SE RACCOI'.HEM. 840

(552) l\Q,+2\0.+rr.Q3+...+/r.r)„ =*-^P;

^^Q,+2^03+...+{/i-^r••O„=!!l^(i.«/+f5)+ (±l^-i\n^j\ ni;

,. ,, 6Ea).- , , ,. \'ù.{n-i)-.n'- .. (ii-\\'\^,

^ ()EaX- , , , /7t. n-.ti- . , "''\ri; 0=-y^ (n.^/+ö)+ ( — n'.n + ^j "/•

A ces conditions doivent s'en ajouter deux autres exprimant qu'aucune courbure ne se produise aux extrémités libres, et que, par consé-

fi IL quent, -r^ s'évanouisse pour ;= 0 et pour ; = 7il. On voit aisément

que la seconde de ces conditions est déjà remplie. Ouant à la première, elle donne

Pour trouver maintenant, au moyen des équations (552), (555), les inconnues Q^, Q,.... Q^, on peut procéder de la manière suivante. Quel que soit le nombre ('.on a toujours, identiquement, les quatre égalités :

Si, à chacune des équations (55'2), on ajoute les quatre (jui la suivent dans le même système (552), multipliées respectivement par — 4, + 6, — 4, H- 1, et si l'on tient compte des quatre égalités ou identités qu'on vient d'écrire, l'on obtient le système plus simple :

qui, joint aux quaire dcriiicres équations (552), remplace ce système (552). Si nous imaginons que l'on lire des équations (554) les valeurs de toutes les quantités Q, deux d'entre elles resteront nécessairement indéterminées, puisque le nombre de ces quantités surpasse de deux celui des équations. En d'autres termes, on satisfait de la manière la plus générale au système (554) si l'on peut exprimer tous les Q par une formule contenant deux constantes arbitraires. C'est ce que l'on fait en posant, A et B étant ces constantes, la formule :

().=W-^kp-{-Bq\

OÙ p et q sont les deux racines de l'équation du second degré

car si l'on pose (555) p'- -+- Ap +1=0 et 7^ -+- 4^ + 1 = 0,

et si l'on introduit les valeurs de Q. dans les équations (554), elles sont identiquement satisfaites, bien que les constantes A et B restent tout à fait arbitraires. De l'équation du second degré, il résulte :

7^ = — 2 + v'5, q = — '-l — \J^, pq=l-

On a alors :

Qi=:n/H-A(— 2 + v/^)H-B(— 2— y/o), Q,=n/ + A(— 2 + v/5)^' + B(-2-v/5)S

Si maintenant on prend les quatre dernières équations (552) ; cl si, à la première de ces quatre équations, on ajoute les trois autres multipliées respectivement par — 5, -+- 5, — 1 ; enfin si, à la seconde, 011 ajoute les deux dernières multipliées par — 2 et H- I, l'on oblient

et ces deux équations, avec (555), suffisent pour déterminer A, B, 0 ^ et par conséquent pour avoir la solution com|dèle du problème. On abrège 1» résolution de ces équations en observant que, par raison de

^ 87. — riÈCES rORTANT SLR UN NOMBRE QLELCONQIJi; u'aPPUIS. 851

symétrie, on doit avoir nécessairement :

Qi = Q„,, CI.2 = 0«-2' • • • etc.

ou, en général,

A/;' + r>7' = Ap" - ' -\- B7" - 1.

Comme, à cause des équations du second degré (555), le produil/^y

est égal à l'unité, on a 7 = -, et l'équation précédente ne peut avoir

lieu, pour une valeur quelconque de /, qu'autant que l'on aura

D'un autre coté, on tire de (357) ou bien

ou encore, à cause des mêmes équations du second degré :

A;4H-Bf/' = -in/.

Cette équation, avec la précédente X jf = B, donne immédiatement,

en remplaçant d'ailleurs 7 par -, qui leur est égal, •

et, par suite, en introduisant ces valeurs dans les équations (356), on a pour les valeurs des pressions ou réactions ^^-^Q^ ^« i '

La valeur de Q^^ n'est pas comprise dans cette formule. D'après \ù^7) elle est

La répartition des pressions sur les points d'appui se trouve donc entièrement délerniinée. Les dernières équations (552) permettent aussi de calculer les constantes a, ß, et par suite les déplacements m, ce qui d'ailleurs n'a pas ici un bienoiand intérêt.

On peut encore, au moyen des mêmes formules, déterminer la

seclion transversale dangereuse, c'est-à-dire celle où la courbure -

acquiert la plus grande valeur. Il convient seulement de faire observer qu'il ne suffit pas, comme dans le problème du § 85, de considérer, d'une part, les points delà tige où se produit un véritable maximum de courbure, et d'une autre, ceux des deux extrémités de la tige; mais que l'examen des grandeurs de la courbure doitporter aussi sur les sections placées directement au-dessus de chacun des points d'appui, c'est-àdire sur celles où sont appliquées les pressions 0,, 0^.... qui viennent d'être déterminées. Il suflit d'avoir appelé sur cette particularité l'attention du lecteur (*).

^ 88. — Sections transversales variables. Pièces d'égale

résistance.

On peut appliquer des considérations analogues lorsque les parties successives de la lige ont des sections transversales différentes; dans ce cas, les quantités o- et a% employées dans les formules du § précédent, présentent des valeurs différentes pour chacune des parties de la tige; cette application n'est pas absolument rigoureuse, mais elle est justi-

(') On Fail que le problème de la flexion et de la résistance des poutres droites continues reposant sur un nombre quelconque d'appuis, connue sont généralement les poutres de ponts métailifiues, se l'ésout maintenant en prenant pour inconnues, non pas les réactions de ces appuis, ou les pressions que la poutre y exerce, comme fait ici Clebscli, mais, directement, les moments de llexion sur ces mrmes appuis, moments dont il reconnaît nécessaire, et de toute manière, de calcnler euHiile les valeurs, parce que c'est de leur grandeur que dépend le danger de rupture. On sait aussi que les équations, toutes du premier degré, où cesmomenls se trouvent engagés, se posent au moyen du théorème dit dis iroix %o»irntx. qui établit une relation simple entre ceux qui ont lieu sur trois appuis consécutiis, en sorte (luc chaque équation ne contient, comme celles (5.')4), que trois des inconnues; et que la résolution de ces équations du premiei' degré s'opère le plus souvent par des artifices d'élimination analogues à cehii que Clehsch enseignait comme on volt. Nous ne pouvons, sur ce sujet, que renvoyer à des ouvrages spéciaux, jirincipalement à la Iroisièvie partie, datant déjà de is(')5, du Cours de Mécanique appliquée de M. liresse, où se trouvent présentés des moyens analytiques et graphiques d'obtenir les moments en tous les points intermédiaires entre ceux d'appui, sur lesquels les épures l'ont reconnaître que se trouvent pres([ue constamment les plus grands moments. On peut consulter aussi, avec beaucoup de fruit, des ouvrages plus récents, tels que ceux de M. Edouard Collignon, et divers mémoires insérés surtout aux Annali's des l'onts et Chaussées.

i/ <S8. — SECTIONS VAniABI.rS. PIKCKS d'kCAI.E RKSIST.VNCF:. (SoT)

fiée lorsque les différences des sections des parties successives de la tige ne sont pas très grandes.

Ces formules peuvent être employées avec une plus grande rigueur ou approximation, en y apportant de légères modifications, lorsqu'il y a, entre les forces isolées, des charges réparties et dont la grandcui' peut même varier brusquement d'une portion à l'autre de la pièce qui leur est soumise. Les valeurs du moment fléchissant appelé M (commencement du § 84) sont différentes pour les diverses parties delà tige, mais comme rien n'est changé à la méthode, il suffit d'avoir indiqué ces problèmes et la manière de les traiter (*).

D'une tige à sections transversales variant brusquement, on passe facilement à une autre dont la section varie d'une manière continue, dans des li miles d'ailleurs peu étendues. Ce cas ne se trouve pas, évidemment, compris dans les formules que nous avons prises pour base, mais nous pouvons cependant les y appliquer avec une certaine approximation, si les modifications des sections transversales et les grandeurs absolues de ces mêmes sections sont suffisamment petites. Nous devrons alors, dans les formules fondamentales (55i), (555) du § 84, considérer <? et a comme des fonctions données de :•, et, pour le reste, procéder de la même manière que nous l'avons fait dans ce ^84.

On peut aussi déduire de ces considérations une solution du problème de trouver comment doit varier la section transversale pour que la tige puisse être regardée comme également résistante dans toutes ses sections, c'est-à-dire pour que la tension des fibres les plus tendues ait, à travers toutes, la même valeur. Ce problème peut être résolu pour certains systèmes de forces, tandis que, pour d'autres, il est manifestement impossible et n'a même aucun sens. Je supposerai toujours que les forces agissant sur l'inlérieur de la tige ne dépendent que de la coordonnée longitudinale ;• et nullement de leur point d'application dans la section transversale, comme cela se réalise d'ailleurs le plus souvent avec une grande approximation. Alors les sommes U et V des composantes des forces [form. (550) du § 85] agissant par unité de longueur de la lige à l'endroit où est la section (7, prennent la forme Ao- et B^, A et B étant les composantes suivant x, y, de ces

(*) Pour que les formules des paragraphes précédents pussent être appliquées rigoureusement aux tiges composées de parties de dimensions diflérenies, il faudrait que les force agissant aux jonctions y fussent appliquées et distribuées conformément aux formules déjà plusieurs fois citées (75 a), du commencement du § 26. Mais, avec un autre mode de distribution et d'application, l'erreur ne peut porter que sur de très petites portions de la tige. de part et d'autre des sections de jonction, et n'affecte pas sensiblement la solution obtenue,

mêmes forces s'exerçant à l'intérieur, rapportées maintenant à l'unité de volume de la matière de la tige.

Dans ce problème, ce sont les quantités c- et a qui sont les inconnues. Comme il y en a deux, la solution n'est pas absolument déterminée ; mais on peut y ajouter une condition sur la forme de la section transversale. J'admettrai ici que toutes les sections transversales soient des figures semblables et semblablement placées, dont les centres de gravité se trouvent, dans l'état primitif, sur une même ligne droite, celle qui est prise pour axe des :■.

Désignons maintenant, pour la section transversale de l'extrémité z = l, par

c-j. sa superficie;

Àj, son rayon d'inertie ;

/fj, la distance, à l'axe principal ij, de celle des fibres qui en est la plus éloignée. Pour une autre section quelconque, les mêmes grandeurs seront désignées par

ff, X, h ; et, à cause de la similitude de ces deux sections, nous aurons :

(558) ff=— ffj, \ = -\;

sorte que la grandeur h reste comme seule variable à déterminer en fonction de z. L'équation /* = f (z), que la solution fera trouver, aura d'ailleurs une signification géométrique très simple : elle représentera, en projection sur le plan xz, la courbe formée par les points des sections transversales les plus éloignés des axes de flexion ou axes principaux des y, c'est-à-dire le contour apparent de la tige.

D'après le § 85, form. (344 a) p. 851, la plus grande tension, dans la

Eh section quelconque o-. peut se représenter par — Pour que cette tcn-

sion soit la même dans toutes les sections, il faut (lue - ait partout la

même valeur; et si nous désignons, comme à co § 85, form. (5 H h]

p. 855, et précédemment au § 81, par

cette valeur de la plus grande tension non dangereuse, nous aurons :

§88. — PIÈCES d'égale hésistance. 855

Si maintenant, dans cette équation, nous remplaçons -

ç dz-

par sa valeur tirée de l'équation (534), Eca^-t^^^M et si nous exprimons aussi, par (358), c et /. en fonction de h, l'équation (555) du commencement du ^ 84 sera

(358 b) -^ ¥ = M --= ( A' j; 4- K ( / — :•) -^j^.J-^ A (^ — =) hdz. ;

ou, comme à ce § 84 et au § 85, formules (550 a), (350 h), K est la composante totale, suivant x, des forces qui agissent sur la section extrême 2=/; (A')^ est le moment total de ces mêmes forces autour de toute parallèle aux y, et A est la composante, parallèle aux x, des forces agissant sur l'unité de longueur de la tige, au point dont z est l'abscisse.

Pour obtenir et développer la valeur de h capable de satisfaire cette équation, je différentie d'abord, ce qui donne

ViM -,.dh

(5o9j -^ . oh^ = K - ^ j^ Mi'-dz

et, en posant, dans la même équation (558 b), z = l, j'obtiens la condition limite

Si le moment de rotation A' est donné, cette équation fournit le moyen de déterminer la grandeur de la dernière section transversale. En effet, puisque, par hypothèse, la forme de cette section est donnée,

les grandeurs -ri^ -r-, ont des valeurs numériques connues; et alors.

l'équation précédente donn^

où tout est connu dans le second membre.

En faisant ;:■ = / dans l'équation (559), on trouve :

• Iq \dz/i On en tire pour la valeur de la tangente Irigonométrique de l'angle

850 CHAI'. XII. FF.KXION DF.S Tir.F.S

formé avec l'axe des ::■ par la tangente à la courbe /< = /" iz) dont il a été question plus haut, ù l'extrémité r=:/,

/dh\ hlK KiY~ï TWJ^i

On voit donc que pour (A')^ = 0, la grandeur// s'évanouit et -,-

devient infini. Si donc, à l'extrémité, il n'y a pas de moment de rotation, la tige doit, d'après cette analyse, y devenir arrondie, c'est-à-dire se terminer par une surface à laquelle la ligne des z est normale. Si,

au contraire, K = 0, -p s'évanouit, et la tige se termine par une partie cylindrique ayant des arêtes parallèles aux :;■,

Différentions l'équation (559); nous obtenons, pour déterminer /i en z, l'équation du second ordre

L'intégration de cette équation iniroduit deux constantes arbitraires, à la détermination desquelles servent les équations (500) et (561) ; car si, conformément aux hypothèses, //, est déterminé, l'équation (541) exprime la condition que, pour ;:• = /, h devienne égal à ll^. Il convient de remarquer que l'équation (562) ne dépend de li^ que d'une manière

apparente ; car, on l'a dit, le rapport —■ est un nombre abstrait qui

dépend uniquement de la forme adoptée pour la section transversale. Su})posons que la pesanteur soit la seule force agissant sur la tige ; alors, A = n, si II est le poids de l'unité de volume. Posons, pour abréger :

2/rfA

L'équation (562) devient

15RoXf

dz\ dz)~^l Elle -devient immédiatement intégrable si Ionen multiplie les deux membres par 2/i^ -r-\ t^t l'intégration donne :

IhV