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§ 88. ÉGM.E RÉSISTANCE. PLUSIKUnS SOLUTIONS. 857

La constante C se détermine en faisant 2 = / clans cette équation et en mettant pour h^ et (-j-j leurs valeurs données par (560 a) et (56i ). On trouve ainsi

iXJR J \ffiÀJ R,

C étant ainsi connu, l'équation (564) donne, en tirant -p,

ir-dh

coiist.

intégrale que l'on devra, en général, développer en série pour exprimer h en fonction de i-.

Le problème peut être résolu d'une infinité de manières quand aucune force n'agit sur l'extrémité de la tige. On peut prendre alors /tj==0, ce qui, comme on l'a dit, ne change pas la valeur du rapport

— ' qui entre dans l'expression de m. Les équations (560) et (561) se 'h

trouvent, par cette supposition faite sur//j, identiquement satisfaites, et il ne reste plus aucune condition pour déterminer la constante C. On peut la prendre, par exemple, égale à zéro, et l'on a alors

ou bien

dli \lmh

Puisque, pour z=:l, on doit avoir li = h^ r=z 0, l'on 1

C = — / et par conséquent

La courbe cherchée est donc une parabole dont le sommet se trouve à l'extrémité de la tige, et dont l'axe est dirigé perpendiculairement à l'axe de celle-ci. Mais cette courbe n'est qu'une solution particulière parmi toutes celles, en nombre infini, que renferme l'équation (566).

Les résultats sont différents si l'on suppose au contraire, qu'aucune force n'agisse sur l'intérieur de la tige, mais que l'extrémité 2 = /

seule soit soumise à l'action de forces quelconques. Dans ce cos, A=0; donc, d'après (562),

(567) h^ -j- == une constante C ;

et, par une nouvelle intégration,

Les constantes C et G" se déterminent en faisant :;• = / dans les

équations (567) et (568), et mettant pour {h)^^ =}l^ ci (-y.) leurs valeurs (560 a) et (561), ce qui donne:

.dh\ K h\ h] kl (A'j, + K/

^\(hji o[\q (Till' 0 IVi^i ^

Cette détermination faite, l'équation de la courbe cherchée est, d'après (568)- :

Lorsque (A')^ est aussi égal à zéro, c'est-à-dire lorsque la force appliquée à l'extrémité de la tige agit perpendiculairement sur son axe, on a, plus simplement :

parabole cubique dont le sommet se trouve à l'extrémité de la tige (**).

C) D;ms celle expression de h, le premier lacteur est un simple nombre, connu d'après la forme donnée delà section. Le numérateur de ce que le second lacleur contient sous lé radical est une somme de deux pi'oduits de forces par des lignes, et le dénominateur R ^ force par unité superficielle, est le quotient d'une force par le carré d'une ligne : La fraction sous le second radical revient donc nu cube d'une ligne, ce (ju'ii faut pour que l'expression /i= ... soit liomogène. Un facteur 5 (jui, par erreur, affucle//,'' dans le li\re de Clebscli, a été elïacé.

('*) Au lieu de prendre toutes les sections semblables, comme fait Ciebsch, on suppose plus ordinairement, dans les problèmes, des formes de solides r/'r^/fl/c rr'sisfaiicc, à section rectangle, que l'un des ciMés de la section, sa h/isc habituellement borizonlnle, reste constante; et l'on se propose de délerminer la loi des grandeurs de l'autre côté, ou des lunitcurs de la

section, .\lors, au lieu de <* = 7-5 jj, on a

et h est la demi-hauteur. Tout le monde connaît la solution, donnée déjà par Galilée (et

ß 89. — FLEXION PAP. DES FORCES LONGITI DINALES. FORCE DES COLONNES. 859

^ 89.. — Flexion surtout produite par une très grande pression ou traction '^inj) exercée dans la direction de l'axe longitudinal. — Force des colonnes.

Revenons aux équations du § 85 pour examiner les cas dans lesquels une force de traction [zvgkraft) on de pression très grande, T, agissant dans la direction de l'axe longitudinal de la tige, exige (pie l'on prenne en considération, malgré la petitesse des déplacements u^ et u, le terme T [u^ — u) de l'expression (5ô0f/) page 818, du moment total M des forces autour d'un axe de la section z dont l'abscisse est z.

Nous supposerons ici que M désigne le moment de rotation de toutes les forces, tant isolées que réparties (§ 87), dirigées perpendiculairement à l'axe de la tige ; le moment de rotation total sera

où T, s'il est positif, représente une traction, et s'il est négatif, une pression agissant à l'extrémité et parallèlement sur l'axe des z- ; et où u^ représente le déplacement parallèle aux x de l'extrémité : = /. Dans l'équation de la flexion,

(569) E ffX^ ^, = M — T (M, — n) ,

le second membre tout entier n'est plus une fonction donnée de ;; c'est seulement M qui est une telle fonction. La méthode de la varialion des constantes conduit à l'intégration d'une manière simple,

indépendante d'une erreur de sa tliéorie) pour le cas simple d'une pièce horizontale encastrée à un bout, et sollicitée à l'autre par un poids ; cas auquel on ramène facilement celui d'une pièce appuyée à ses deux bouts, et sollicitée par un poids posé au milieu. La coupe verticale longitudinale de la pièce ou de la demi-pièce est une parabole dont le sommet est au point de suspension du poids, si elle est encastrée, ou à chaque appui, si elle est appuyée.

La hauteur ou épaisseur de la pièce serait donc zéro à ces points.

C'est un paradoxe qui a embarrassé plusieurs géomètres. J'ai observé en 1858 (feuilles lithographiées d'un cours) et en 1843 (au n° 10 d'un mémoire inséré aa Compte rendu du ."50 octobre, p. 950) qu'on ne le fait cesser qu'en tenant compte du glissement transversal des sections les unes devant les autres, accompagnant toute flexion inrqale ou non-circulaire sous l'action de la composante transversale qu'on appelle aujourd'hui Vcffort Iranchant; glissement qui, en se combinant avec les dilatations longitudinales des fibres, produit une dilatation maximum dans une direction qui leur est oblique et qui peut aller jusqu'à produire le cisaillement. C'est, au reste, une observation qui n'avait pas échappé à Coulomb et à Thomas Young (voir le n" xvnide V Instoriqite q\. la note du n" 152 de l'édition de 1864 des leçons de Kavier).

800 cil Al'. VII. — FLEXION DES TIGES.

comme on va le voir: il faut seulement distinguer le cas où T est positif de celui où il est négatif.

Soit d'abord T positif: la tige est soumise à une force de traction. Laissons provisoirement de côté M ; il reste l'équation

(370) Ea\^'l^ = — 'î{u—n)

qui s'intègre au moyen d'une expression de la forme

(57i) 71 = u^ + Aé?"^ + Be~ "'.

En introduisant cette expression dans (370), on trouve que A et B restent tout à fait indéterminés, et que

Pour prendre maintenant en considération M dans l'équation (369), supposons que l'intégrale de cette équation soit encore de la forme (571) ; alors, naturellement, A et B ne peuvent plus être des constantes, mais doivent au contraire être considérées toutes deux comme variables. Et, puisque nous introduisons deux inconnues nu lieu d'une, nous pouvons nous donner préalablement, entre elles, une relalion quelconque. Cboisissons cette relation de manière que le premier quotient diflerentiel de u garde la même forme que si A et B étaient constants, c'est-à-dire de manière que les parties provenant de la différenlialion de A et de B s'évanouissent d'elles-mêmes; cela nous donne la condition

Si, ayant égard à cette relation, nous formons le second quotient différentiel de w, et si nous l'introduisons dans (569), nous obtenons

M dk „, dW „:,

V^KaVT dz. di

Cette équation, combinée avec la précédente, nous donne ensuite : ,/A «: M rfB ,, M

^-' 'iV^ff^T' '^2 'ly/V.cjVÏ

§ 89. — FLEXION TAU U>E PRESSION LONGITUDI.WLE. 861

et par intégration :

de sorte que l'expression définitive de u devient

(572 a) ;/=M,+A/'VB /''+,, ,1 ! e"" ""' f ile^' ih-e^' f Me-^',lz[ ,

Cette expression contient encore trois grandeurs indéterminées : u et les conslanlos d'intégiation A„, R„. On a immédiatement une relation entre les deux dernières en écrivant que pour :=/,« devient égal à î/p ce qui donne

(375) (l = A,p»'^-ßü^-^',

Les deux autres conditions propres à fournir u^ et l'une des deux constantes Aq, B,^ seront données par la nature du problème.

Pour ne traiter qu'un cas simple, j'admettrai que li tige ne soit soumise à l'action d'aucune force extérieure autre que T, et, par conséquent, que M^O ; mais qu'elle soit encastréeà son extrémité 1=0, et forcée de prendre en ce point une direction ne faisant avec l'axe des ; qu'un très petit angle que je désigne par £. On a, en conséquence,

pour ;=0, -^:^î : l'expression générale de m devient

et, en faisant v = 0.

Ces deux équations, avec (575), déterminent les (rois constantes :

et l'expression générale de u devient enfin

Lorsque la lige est soumise à une pression P=: — T dans la direc-

lion de son axe longitudinal, l'équation (509) donne tout d'abord, en laissant encore M de coté :

EXff*^ = P(//. — ?/);

équation qui s'intègre, A et B étant deux constantes, par l'expression

(574) î/ = î/,-l-Acosp2H-Bsiiip^.

En l'introduisant dans l'équation précédente, on voit que A et B sont tout à fait arbitraires, mais que ß doit avoir la valeur :

V EaX^*

Appliquons maintenant l'expression (574) à l'intégration de l'équation complète

(576) . Ea2||^=M + P(/// — ?/).

En considérant A et B comme des variables, nous pourrons, ainsi que dans le cas précédent, introduire une équation de condition exprimant que le premier quotient différentiel de wconservela mémeformc que si A et B étaient constants. Cela donne

-r cosB^H- -r- sinß2:=ü; dz ^ dz

et l'équation (576) devient, en y introduisant l'expression de u:

sin Si + -r CCS 83 =. /„ .-,. -

dz ' dz ' vEcrX^p

Cette équation, combinée avec la précédente, donne immédialemeni :

dk M sin [iz dli M cos ß;; ^

et, par intégration :

r^Msinj^, ß^ /•' Mcosl^^/

Jz 2\/E(7r-p J'^ 20^<7X^'P

de sorte que l'expression définitive de // devient :

(577) » = n,+A„cos^.+B„s.np.+cosl^..j^ 'VËâ?^ '" "«'^^ iVË^

§ 89. — MKME 1I,EXI0N. CAS d'uNCASTHE.MEM V UN BOUT. 805

Ici encore, u contient trois grandeurs arbitraires, m^ Ag. B,, et on a de même entre elles une première relation en posant, pour ;=/, u = ii^, ce qui fournit :

(Ô78) 0 = AoCosß/ + BoSinß/.

Les deux autres relations nécessaires sont déterminées par les données particulières du problème.

Considérons de nouveau le cas simple où l'on donne la position et

la direction de l'élément ir=0, cette direction s'écartant très peu de

l'axe des z, et où, en même temps, aucune force, autre que la pression

longitudinale, n'agit sur la tige, de sorte que M et les termes qui en

dépendent s'évanouissent. On a encore, pour z = 0, t étant un très

du petit angle, -7-= s, et par conséquent on déduit de (337), pour z = 0,

les conditions

qui, avec (378), donnent

Bo=|, Ao = — ^tangß/, //^^llangß/.

Introduisant ces valeurs dans l'expression de u, on la met sous la forme définitive :

(379) "~| i sinßj-Mangß/(l— cosß^)

Il est essentiel de remarquer maintenant, que d'après la manière dont elle a été trouvée, cette expression n'est exacte qu'en dedans de certaines limites. En effet, comme la force appliquée est une pression, si la tige a une très grande longueur, il peut évidemment se produire des flexions finies. Mais, dans ce cas, les bases sur lesquelles repose la solution qui précède n'existent plus, et il faut revenir aux considérations du g 83.

Cette restriction d'après laquelle, par conséquent, les formules ne sont applicables qu'aux tiges de longueur modérée, n'est pas nécessaire lorsque la force appliquée est une traction; mais elle est essentielle dans le cas d'une pression, et c'est pour l'avoir négligée que l'on a été amené aux idées les plus singulières, lorsqu'on appliquait la formule ci-dessus, ou des formules semblables, au problème de la force des colonnes.

Imaginons une colonne encastrée à son extrémité inférieure et pres^

86 i C.HAP. vir. FLEXION DES TIGES.

sée par une chai'ge P à sa parlic supérieure (*). Il s'agit de trouver la charge pour laquelle commencera la flexion de cette colonne. Comme, maintenant, elle est verticale à sa partie inférieure, et par conséquent comme sa direction coïncide avec celle de la force P, si l'on fait, dans la formule (579), £ = 0, on a aussi ii = 0. Donc, il ne se produit aucune flexion. Cette conclusion n'est cependant certaine que si le dénominateur cos ß/, qui se trouve dans le coefficient tang ß/du second terme entre accolades, ne s'évanouit pas lui même. Car alors u prend la

forme j::' et il peut se produire une flexion, même quelconque. La

colonne pourrait donc alors se maintenir en équilibre sous des courbures intiniment diverses.

Ce résultat est si manifestement absurde qu'il peut paraître étonnant que l'on se soit efforcé de le faire accepter, au lieu d'en rechercher l'origine dans une hypothèse erronée. 11 est cependant bien clair que lorsque cos [i/ devient très petit, et que u peut, par conséquent, devenir assez grand, bien que z soit aussi très petit, les formules, calculées pour de petites flexions, ne sont plus applicables. Mais, en même temps, il devient également douteux si c'est bien à la limite obtenue,

cosß/:=0, ou/ = ;^ que la flexion commence réellement à se produire.

Que ce résultat soit cependant exact, c'est ce qu'il faut considérer comme lui heureux hasard, eu égard au point de départ deces raisonnements peu rigoureux.

Comme il s'agit ici de tiges dont la longueur permet des flexions finies, il faut revenir aux formules primitives complètes, dans lesquel-

les - n a pas encore ete remplace par sa valeur approximative -7;-,.

Il n'est plus possible d'introduire ici cette approximation qui repose sur la petitesse supposée des angles que forme, avec sa direction primitive, l'axe courbé de la tige. Les formules complètes se trouvent analysées et traitées dans le § 55. On trouvait alors, page 414, pour la longueur de tige à laquelle commence la flexion, et en remplaçant T parP,

ce qui coïncide évidemment avec notre expression actuelle / = ^.

(*j Le simple appui, contre un plan solide, ilc la basi- plane de la colonne, fait, dans certaines limiles, l'effet d'un encastrement.

^ (SO. — LIMITF. nu COMMENCE L.V FLEXION. (S65

C'est donc en réalité à partir de cette longueur que commence la flexion de la colonne; mais, alors, les flexions ne sont nullement indéterminées en aucun point; elles.sont données par les formules du i^ 53. La position verticale, sans flexion, est toujours possible pour la colonne, mais elle est stable seulement au-dessous de cette limite; et elle devient instable au delà.

L'équilibre de la colonne chargée dépend donc de deux condilions; elle ne doit ni fléchir, ni être écrasée par la pression. La première de ces deux conditions s'exprime par la formule

La seconde, si R„ désigne la tension ou pression maximum que puisse supporter la matière, donne l'équation

P^ = ou < Ro-

Ces deux conditions doivent être combinées pour déterminer les dimensions de la colonne.

Si ]A colonne n'est pas encastrée à son extrémité inférieure, mais si elle peut tourner autour de cette extrémité, elle se placerait évidemment, dans le cas d'une petite flexion, de manière que l'extrémilé chargée fût verticalement au-dessus de l'extrémité inférieure et que le milieu de la colonne fût dirigé verticalement. On peut alors la considérer comme composée de deux colonnes encastrées, de la manière qui vient d'être décrite, et ayant chacune la moitié de la longueur totale. On obtient la formule applicable à ce cas particulier en remplaçant

dans les précédentes /par - , c'est-à dire qu'on a la condition

pour exprimer la limite à partir de laquelle commence la flexion. En résolvant cette formule par rapport à P, on trouve, pour P, nne limite quatre fois plus grande que dans le cas précédent; la force portante delà colonne se trouve donc quadruplée.

nou ^<^v/n?-

On exprime le plus ordinairement cette condition de non-flexion par

P<- — qui, au lieu de limiter la longueur de la pièce dite solliciti'c dehouf, limite sa cliarge, supposée agir au milieu de sa base supérieure.

Il faut laire attention que l'encastrement inférieur, bien loin de réduire au quart la charge susceptible d'être portée sans flexion, la quadruple au contraire, si la base supérieure est astreinte à rester exactement au-dessus de la base inférieure, de manière que leurs centres se correspondent verticalement.