SYSTÈMES DE TIGES OU BARRES

§ 90. — Système de barres sans flexion.

Dans la statique des constructions, c'est un problème important que celui de déterminer les flexions, les allongements et les tensions qu'éprouvent des tiges ou barres combinées d'une manière quelconque pour former un système. Pour plus de simplicité, imaginons qu'aucune force extérieure n'agisse sur l'intérieur de ces barres, et faisons abstraction des petites flexions produites parleur propre poids, bien que la prise en considération de ces petites flexions n'introduise aucune difficulté de principe. Imaginons d'abord un système de barres dont la forme géométrique soit donnée. Ces barres seront réunies en différents points de liaison que nous appellerons les nœuds du système. La ligure géométrique de tout le système est évidemment connue si les positions des nœuds sont déterminées par leurs coordonnées.

Supposons que, le système étant ainsi constitué, l'on applique à ses divers nœuds des forces quelconques. Il s'agit de déterminer les petits déplacements subis par les nœuds, et les tensions qui se produisent dans les diverses tiges.

Le cas le plus simple, dans lequel peut cependant se développer le caractère tout entier du problème, est celui où tous les nœuds coïncident avec les extrémités des barres, et où, en même temps, chacune des barres est parfaitement mobile autour des nœuds placés à ses extrémités. Dans ce cas, en effet, il ne se produit, en général, aucune flexion : les barres s'allongent ou se raccourcissent un peu, changent un peu de direction, et un nouvel état d'équilibre s'établit.

Il faut admettre, comme condition essentielle, que tous les déplacements doivent élre extrêmement petits, de manière que l'on puisse toujours négliger leurs puissances supérieures à la première. Supposons donc, dans le cas dont nous venons de parler, que x , y , z. soient

§ 90. SYSTÈMES ou LES PIÈCES n'éprouvent PAS DE FLEXIONS. 807

les coordonnées primitives d'un nœud qui se trouve lié, par une barre dont la longueur primitives est r. , à un autre nœud dont les coordonnées étaient x., y , z. dans l'état primitif. Soient maintenant, après les déplacements

les coordonnées des nœuds déplacés, et

leur distance modiliéc ; c'est-à-dire p. l'allongement de la tige qui réunit ces deux nœuds. On a évidemment:

et, de même

(^\j-^P^jr= i^-^j + ", - '^)^ + (//,- - '/, + '',- "/ + {z-z^ + iu-io^Y

Mais, par hypothèse, p. et les ?<, v, iv, sont de très petites grandeurs ; si donc l'on retranche la première de ces équations de la seconde, et si on néglige les carrés de ces quantités, on obtient, en divisant par 2r , l'expression suivante de l'allongement de la tige en fonction des déplacemenls des nœuds qui la limitent :

/"cm (X . - X) {u^ - u.) + (>/, - y.) (r - v) -+- {z^ - z) {iv^ - w)

u)oU 0.. — ~~ " '

formule qu'on aurait eue aussi en différentiant par o celle ^\* =

0 étant la caractéristique des déplacements ainsi que des changements de longueur.

Cet allongement donne naissance à une force élastique intérieure qui tend à raccourcir la lige, c'est-à-dire qui est dirigée du point i vers le point j, et réciproquement.

Elle a pour expression, d'après celle P = Eg j du § 81 :

ij^ij

E.. désignant le module d'élasticité, et c-. la section transversale de la tige qui va de i en j. Cette force a la direction de la tige r.. déplacée ; mais comme celle-ci diffère très peu de la direction primitive, on

868 CHAP. vnr. — systèmes de tiges ou barres.

peut aussi considérer la force comme ayant cette direction primitive der... Et, pour la décomposer suivant les directions rectangulaires des axes x^ y, z, il suffira de la multiplier par les cosinus des angles formés par r. avec ces axes. Les projections de 7^. étant

les cosinus des angles faits avec les axes par sa direction prise de î vers / sont