PLAQUES SOLLICITÉES SEULEMENT SUR LEURS FACES LATÉRALES

C'est au moyen des expressions (152 a) des composantes de tension que l'on exprimera les conditions à satisfaire à la paroi cylindrique.

Si la normale, en un point de cette paroi, dirigée vers l'extérieur, fait avec l'axe des x l'angle p, il faut, dans les équations (25), page 40, l(.r cos p -+- ...., ou (54 /"), page 112, faire

cos (/ = sin p , (>l cos /• = 0 ;

Et si X et Y sont les composantes parallèles aux axes x, y, de la force extérieure agissant sur ce point (on a vu plus haut que la troisième composante, parallèle aux z, doit s'évanouir), on doit avoir, à la surface, les équations

( x = t.i.lcos^ + t,,/sin^-

dans lesquelles les t doivent être remplacés par leurs valeurs (132a). Ces équations doivent être satisfaites, quel que soit z, dans tous les points de la paroi cylindrique. Il en résulte que X, Y ne peuvent être des fonctions choisies arbitrairement, et qu'au contraire il est nécessaire que les forces extérieures soient réparties d'une manière déterminée pour que les états d'équilibre supposés puissent se produire. On voit tout d'abord, d'après les expressions (152 a), que les tensions t ne contiennent que la première et la seconde puissance de 2; les expressions des forces X, Y agissant sur la surface latérale, et auxquelles ces tensions doivent faire équilibre, ne peuvent contenir non plus que ces deux puissances de z, et l'on doit avoir, X0, Y0, Xr..., étant six quantités indépendantes de z,

i x=xo+v+v,

Si l'on introduit les expressions (152a) des tensions dans celles (155) des forces X, Y agissant sur la surface, on trouve, en comparant leurs valeurs à celles (154) et en égalant les coefficients des mêmes puis-

contexture n'est pas la même dans le sens de son épaisseur que dans les sens latéraux ou parallèles à ses bases, deviennent, quand on fait E' = E, t)' = t)" = r), identiques à celles de Clebsch relatives au seul cas fort rare d'une isotropie complète et qui, comme on voit, ne sont pas plus simples.

504 CHAI'. IM. — PLAQUES D'ÉPAISSEUR QUELCONQl* .

sances de z, les équations suivantes :

X = — - — ; — —7 Ur- H-oVH cosy; 4- s ^ + r±) Sin /; E' ( 1 / ,#• ri\ . ,1 (d% , H\

E'n'' l /#3cp #5J/ \ . / c"Jcp , ^ \ . \

Y. = w^n I Cw + w s,n " + ( Wh + m) cos " ! '

'.=- TT? I ES" " + '') 9 Si" " + Ä ~' î :

où Ton pourrait remplacer, comme on a vu, , , par 2f==2Gt,

^-75 par at, et 9" par |- 9 (Note du §16, form. (2.) et (r), p. 84et 80).

Les six grandeurs X0, Y0, Xt elles-mêmes ne peuvent pas non

plus être données arbitrairement, car les équations de condition qu'on vient d'écrire, au nombre de six, ne peuvent pas, en général, être satisfaites à la fois par trois fonctions /", <p, 4», pour la détermination de chacune desquelles il suffit ordinairement d'une seule équation.

g 40. — Discussion des états d'équilibre représentés par ces formules. — considération, en premier lieu, de l'extension uniforme de la plaque.

Remarquons tout d'abord que dans les six équations de condition (135) aussi bien que dans les équations (132), servant à déterminer <?, $ et/", la fonction /*se montre entièrement séparée des fonctions ? et <}>; mais, d'après les expressions (132) et (132«) des déplacements et des tensions, on voit qu'elle est liée à la constante arbitraire C Les états d'équilibre exprimés par les formules précédentes se divisent donc en deux catégories, à l'une desquelles correspondent les termes dépendant de f et de C, et à l'autre, ceux qui dépendent de 9 et de ij». Pour déterminer ce que sont ces étals d'équilibre, il suffit d'observer lesquelles des portions des valeurs (134) des forces X, Y produisent l'un des deux étals ou l'autre. Les états d'équilibre qui correspondent aux fone-

lions ?, à dépendent seulement de X0, V0, X,, \±, car duns les expressions (1526) des tensions, ces fonctions 9, <l ne sont affectées que des puissances 2 et zéro de z. Ces états se produisent ainsi lorsque

(135 bis) X = X + X ; , Y = Y 4- Y s2 .

Comme ces expressions ne changent pas lorsque : se change en — s, on voit que les forces extérieures sont, dans ce cas, symétriquement réparties sur la surface du cylindre, des deux côtés du plan xy, qui coupe au milieu sa hauteur comme on a dit. Elles exercent donc, en réalité, une traction sans torsion et même sans aucune flexion de la surface moyenne. Les valeurs correspondantes des déplacements sont, d'après (150) et (132), de la forme

(156) u = u0-{-i(,y- , v = v0-{-viz.î , w — —wlz,

où w0, i'0, ms, v,, u\ ne dépendent que de a? et y. Les points de la surface moyenne 2=0 sont demeurés sur cette surface plane, puisque w s'annule avec ».

Le caractère général de l'état que ces déplacements amènent est celui de Vextension. Les fibres primitivement parallèles à l'axe des z sont courbées, et, d'après les équations générales du § 25, page 158.

en x', y', z\ coordonnées après les déplacement opérés, on a les équations suivantes pour celles, après les déplacements, des fibres de la plaque dont nous nous occupons; équations où comme dans celles (74), x et y, coordonnées primitives, doivent être considérées comme des constantes :

S xi = x -t-« -f- u z'1

La courbe représentée par ces équations est une parabole dont le sommet (x'=x-+-u0, y'=y+vQ) se trouve dans la section médiane z=z'=Q. Le plan de celte parabole, ainsi que la droite qui lui esl tangente à son sommet, sont perpendiculaires au plan de cette même section. En effet, les équations (137), dont chacune ne contient que deux des trois variables x', y', z', représentent les projections de la courbe sur les plans yz et xz, et ces projections sont manifestement des paraboles ayant leur sommet dans la section médiane. A ce som-

met,l'ona^ = 2Mj(S' = 0; J£=2i^=0.

506 chap. m. — Plaques d'épaisseur quelconque.

Si, entre ces deux équations, on élimine z' pour avoir la projection de la courbe sur la surface médiane, qui est le plan xy, on obtient :

r ./•' — u V -h vt (x -f- u ) — ii (y + v) = 0 ;

ce qui est bien l'équation d'une droite et qui montre que la courbe se trouve, comme nous l'avons dit, dans un plan perpendiculaire à la section médiane.

Parmi ces états d'équilibre, il est à propos de remarquer particulièrement ceux que l'on peut désigner sous le nom à'état d'extension simple. Ce sont ceux pour lesquels u et v ne dépendent pas de z. On a, pour ces états d'équilibre, en égalant à zéro les coefficients de z- dans les expressions (150) de u et de v,

i x \i x (ijj Z)y\t x < yj

°) r \ L'expression ~-\~-r- est donc constante. En la désignant par •/., on r ex cy r

a, d'après (129a) :

(158) JK-|-^î=x, __+^^o, «uJ + atï— "° • ( x c y ox- c y- ( '- c y-

Ces équations ne se contredisent pas; les états d'équilibre ainsi définis sont donc, en général, possibles.

On peut donner facilement aux équations (158) une forme plus

simple. En effet si, dans la seconde, on remplace jr\ par sa valeur

tirée de la première, et si l'on fait de même dans la troisième pour

s-v il reste :

< y v a iX) < x v y v*)

(r r i \ - - — ~ 1 est également constante. Si C I / ( *As J

on la désigne; par -/.', on a, au lieu des équations (158), les suivantes :

(159) r H- r^ = une constante x. ; gp — — = une constante x';

équations qui remplacent complètement les précédentes.

On peut poser :

(159 bis) <?= — ^— -+ut> ^^"a hl'i;

où wp i\ sont des fonctions de x, y définies par les équations :

v ; CX tlj cl) l X

Portant les valeurs (159 bis) de ? et de ù dans les expressions (150) des déplacements u, v, dont on aura effacé les derniers ternies affectés de f et de C qui, ici, sont nuls, on a, eu égard à la première équa-

tion (140) qui annule la somme — * -f ~ et ses dérivées :

. . . . « xX-\- v.'ll -/.il — v!x

Les forces (135 fo's) X=X0-j-X2*2; Y=Y0 + Yszâ, agissant sur la paroi latérale, et qui sont capables de produire ces déplacements, se réduisent à leurs parties X0, Y0, car, d'après la troisième et la quatrième des formules (155), X2 et Ya sont nulles en vertu de la première (159), dont le second membre ■/. n'est qu'une constante. Et si. dans les deux premières (155), nous mettons pour 9 et à leurs valeurs (139 bis), nous avons, pour ces forces s'exerçant sur l'unité superficielle de la paroi latérale de la plaque,

V ^ X I ^ / c lll 1 <- "l • \

\ = 2ÎU^r} cos f + ï+? [IJ C0S^ +■ 77 sm P)

( l>=W=ï) sm " + r+? (--COä t + ^ « p )

où l'on peut faire (formule (2/) de la note du § 16, p. 84),

= a(-f et TZ-S = U.

2(1— if) ' 14-9'

Telles sont les expressions des deux composantes suivant les # et les y, de forces qui, appliquées sur l'unité superficielle des éléments de la surface latérale, produisent des déplacements intérieurs exprimables parles formules (141); c'est-à-dire partout, et en tous sens, une dilatation uniforme ^— =i- = - accompagnée ou non d'une petite rotation

générale l— ■=— f— =~ (g 21 à la fin). Cette dilatation (ou contrac-

O IJ ÙOC u

508 chap. m. — plaques d'épaisseur quelconque.

tion) uniforme sera prise, par exemple, sous l'action d'une force ayant ses composantes X0, Y0 représentées par les premiers termes des équations (142), savoir par

(ma) Xo==2(l-^)C°8yî Yo==2(l-9-)Sill7J;

ou par ce à quoi elles se réduisent quand on suppose nulle la fonction arbitraire de x, y que nous avons désignée par ur C'est alors une tension ou pression normale à tous les éléments de la surface latérale, et partout égale par unité de la superficie. Ce résultat particulier offre simplement une vérification de notre analyse, car il était facile de le prévoir et d'y arriver plus directement.

g 41. — Déplacement sans flexion des éléments de la plaque, avec augmentation de volume égale en tous les points.

Laissons de côté les déplacements (141) ; et considérons seulement les états d'équilibre qu'on a lorsque les expressions (159 bis) se réduisent à

u ei v étant les quantités définies par les équations (140). Pour tous ces états, w, dont la valeur est donnée par la troisième expression (152) de laquelle on a retranché, comme il a été dit, les termes en /"et en C ou C, s'évanouit en vertu de la première de ces équations (140). On a ainsi des extensions et contactions telles que chaque point est déplacé parallèlement aux bases de la plaque. En même temps, la dilatation cubique u, somme des trois dilatations principales, s'évanouit aussi, d'après l'équation (125), dont le second membre, affecté de w, est nul; et comme celle de ces trois dilatations qui est normale aux bases disparait, les deux autres dilatations sont égales cl de signe contraire. Il en est absolument de même des trois tensions principales trr, tyy, t..; on a tsi = 0, et l.ri. = — t,/#/

---, de sorte que chaque élément se trouve étendu dans une

l+O cX

certaine direction, contracté et comprimé d'autant dans une direction perpendiculaire. L'ellipsoïde à'clastkitc dont les rayons vecteurs donnent (§ o) les grandeurs des tensions suivant leurs directions se

réduit dans ce cas à un cercle dont le plan est parallèle aux deux bases de la plaque; c'est ce que l'on peut voir aussi d'après les équations du § 9 si on remarque que t,, = — t;/IJ et que t(.., t , t„

disparaissent.

Examinons ce cas avec plus de détail. Pour les déplacements dont il s'agit, on a u=u^ v = i\: on peut donc supprimer les indices 1 dans les équations (140) et les écrire

du c v OU C v

Vx + hj~ U' Ty"~Tx~ '

De ces équations résultent les combinaisons :

d (u + y y/— 1) __ ,— p d (tt -+- V \/~ 1) t

ç)(u— v\J—i) __ , je (u — vs/—l)

Tx -V"1 fy

Elles n'expriment qu'une chose, savoir que [u-\-v\J — 1) ne peut être qu'une fonction de {x — y v/ — 1 ), et peut en être arbitrairement toute fonction; et de même, que (u— v\/ — 1) ne peut ètie qu'une fonction quelconque de (x -h y \f — 1 ). On peut donc poser

\ u + v<J=ï=f{x — ysJ=T)

( u~Vs/—.i=F(x-\-yJ—i)

f et F étant des fonctions arbitraires de leurs arguments. Ces fonctions peuvent toujours se déterminer de manière à résoudre le problème dont voici l'énoncé :

Quelles sont les forces de traction qui doivent être appliquées suv la surface latérale d'une plaque prismatique ou cylindrique pour que la contraction dans une direction perpendiculaire aux bases de la plaque soit partout la même et que tous les points de la surface latérale subissent des déplacements déterminés arbitrairement à l'avance sur les normales à cette surface latérale? (*)

Ce problème se divise immédiatement en deux parties. Nous pouvons partager les forces nécessaires pour produire ces déplacements en une traction constante D agissant partout normalement, et en d'au-

(') Plus généralement : et que tous les points de la surface latérale se déplacent suivant une courbe donnée arbitrairement, en s'écartant naturellement peu de la courbe primitive. Ce problème se traite delà même manière, voyez ci-après § 4G. (Note de l'auteur.

3iÖ CHAI'. III. — PLAQUES d'EPAISSEÜB QUELCONQUE.

très forces X0, ¥0 appliquées à chaque point de la surface latérale d'une manière qui sera déterminée plus loin. Nous pouvons choisir la traction uniforme D de manière qu'à elle seule elle fasse éprouver à toute la surface de la plaque l'extension superficielle qui doit avoir lieu pour satisfaire au problème posé. Les déplacements provenant des forces X0, Y0 ne devront plus alors être accompagnés d'aucune contraction suivant la normale aux bases, car D seule doit produire partout exactement cette contraction qui, d'après l'énoncé du problème, doit être égale en tous les points. Les forces X0, Y0 ne devant produire aucune contraction suivant la normale aux bases de la plaque, ne doivent, par conséquent, produire aucune augmentation de volume dans le sens parallèle à la plaque, c'est-à-dire aucune augmentation de la superficie de sa base; et cela ne peut avoir lieu que si elles produisent, dans cette direclion, des extensions égales aux contractions.

Les déplacements provenant des forces X0, Y0 sont donc de la nature de ceux qui viennent d'être considérés. Aux équations développées précédemment s'ajoute seulement la condition que le déplacement mesuré suivant la normale à la surface latérale, c'est-à-dire la grandeur u cosp ■+- v sin p soit égale à une quantité donnée en chaque point de la périphérie de chaque section parallèle aux bases.

Désignons par N cette fonction donnée des coordonnées x, y du contour des sections, de sorte qu'on ait, aux points de ce contour,

(145' a) ucosp-\-vsinp = N.

La traction encore indéterminée D produit les déplacements dont les valeurs sont les suivantes (144) déduites des équations (141) lorsqu'on y annule la constante y/ qu'il n'est pas essentiel de conserver :

Et les équations (142 a) permettent de poser