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puisqu'on suppose que le rôle de la traction D est de produire ces déplacements-là. La constante y, elle-même, se détermine facilement d'après la condition que l'extension totale de la surface, produite par la force 1), soit égale à celle qui résulte du déplacement (145 a) N. Ce déplacement du contour des sections de la plaque étant Irès-petit, on peut imaginer l'agrandissement total des superficies des mêmes sec-

tions comme formé de petits rectangles dont un côté serait un clément ds du contour, tandis que l'autre serait exprimé par le déplacement normal correspondant N. L'agrandissement superficiel tout entier est donc

la somme / de tous ces rectangles étant étendue au contour entier de la plaque. D'un autre côté l'application de la traction D t'ait que chaque élément dxdy est agrandi, et que sa surface, après le déplacement, est d'après les équations (144)

d(x-\-u)d(y-\-v) dxdy ( I — '- ) ■

Chaque unité de surface des sections est donc agrandie de la quantité

en négligeant le carré de la petite grandeur •/.. Si on désigne par J la surface entière de la base de la plaque, on doit avoir, en conséquence

pour que l'extension produite parla traction D soit égale à l'extension donnée. On trouve donc enfin

d'où, en substituant dans (144), l'on tire pour D et pour les déplacements produits par cette force supposée d'abord agir seule :

' j 2J(l-nV

(147) u==Wi fMs ' r = ^~] fNrfs •

ce qui donne

rcos/> -j- '/ siu /' i\- , n cos p^-v sm/j— j ( Nos.

Pour compléter la solution, il reste à déterminer la seconde partie des déplacements de manière qu'ils satisfassent aux équations (143): et qu'en même temps le déplacement normal correspondant à cette

seconde partie, après déduction du déplacement normal correspondant à la première, ait la valeur donnée

(147 bts) ii cos p -h r sin/> = N 91 j Nds .

% 42. — Cas particulier d'une plaque circulaire.

Le problème posé ci-dessus ne peut être résolu d'une manière plus complète que lorsqu'on attribue à la plaque une forme déterminée. Je vais chercher cette solution pour le cas d'une plaque de forme circulaire.

Introduisons les coordonnées polaires. Soit r le rayon vecteur, ou la distance, au centre de la plaque, d'un point situé dans sa surface médiane z=0, et soit 9 l'angle du rayon r avec l'axe des x. Nous avons

a: = r cosep, y=rsincp;

et aussi, d'après les principes connus

x + .'/ \J — 1 = r (cos cp H- y/ — 1 sin cp) = re~ ~ , x — y\J — l=r(coscp — \J — 1 sin cp) = re ~ * .

Imaginons maintenant les fonctions (145) f et F développées suivant les puissances de leurs arguments ; ces puissances ne peuvent être que positives, car tout terme affecté d'une puissance négative de r rendrait u ou v infini au centre pour lequel on a r=:0, ce qui ne saurait être; on a donc

( //+t>v/=r^A + A1re~'v/~1+A,/-,e^"?v"1+

j /,/A/Zri^B + B1re?V'~1 + B2r-'/fVrri+ ;

A,- A,,... B, B15.... désignant des constantes arbitraires. Remarquons maintenant que

= (u — v\J — 1) (cos cp -+- y/— T sin cp) -+- (u -+- v \J— \ ) (cosep — \ — Ishis) = 2(w cosep -L- rsincp).

Comme, pour le cercle, la normale en un point de la circonférence fait, avec l'axe des x, l'angle ? lui-môme, ou comme on a/> = <j>, et par