PLAQUES CIRCULAIRES. EXTENSION

conséquent, d'après (117 bis),

/.,n, • AT i' cos s -h //sin s /' (i48 6) m cos » H- j- sin » = N ^f N*>

l'on peut, pour la périphérie, égaler le second membre de l'équation (148 b) qui vient d'être écrite, à la moitié du premier membre de la précédente (148 a) et qui est affecté des exponentielles imaginaires. Or, soit a le rayon de la périphérie, on a aussi :

(h = ach ; x cos p-+- y sin p — a ; J = a8« ;

en sorte que le second membre de ^148 6) peut s'écrire

Quant à la fonction N qui est supposée donnée pour tous les points de la périphérie, nous pouvons la considérer comme une l'onction de 9. Si donc nous égalons l'expression précédente à celle qui suit, moitié du premier membre de (148 a)

| f"(« v y/ZTI) e^~ l + (u+v yCTT) e-^~ H ;

et si nous remplaçons (u -\-v\f — 1), (u — v\f — 1) par leurs valeurs (148) en même temps que r par a, nous obtiendrons, pour la détermination des constantes A, B..., l'équation suivante :

(148c) N— i r2\\^^-^Àe-X~1+A1r/e~-'V'"1+A,a^:;;V"1+....

L. Be r s ~ ' -f Bjoe2' v'~ ' + B2^e3- N l + . . . . j .

La détermination des constantes se fait par l'application du principe connu en vertu duquel l'expression

s'évanouit toutes les fois que ?i est un nombre entier positif ou négatif différent de zéro ; car on a toujours dans ce cas :

e-" -\— -cos 2nic-i-tf — 1 sinv2/(-= 1,

Mais si n = 0, cette intégrale / devient égale à %%. Si donc on mul-

tiplie l'équation ci-dessus (148 c) par.e,4fV -1 d? ou par e ~"ïV " ' dç et si l'on intègre de 0 à 2~, tous les termes du second membre, excepté un, disparaissent chaque fois, et l'on obtient

Jo ' n" ' '

JNe dtù = ttB , « ;

ou, en remplaçant les exponentielles imaginaires par leurs expressions trigonométriques :

n — I \ / /»2it /'•iï \

A a =-( / N cos /m/? + y/— 1 Nsinwa-dï ,

M ' «■ \«/o jo ' /

n j | / /"2lt /»2 t: \

Bw f a = 7ï ( / Ncos/^fy— y/— - 1 / Nsin«srM. Si donc on pose

(149) C =î f *Ncos nvdo; S =- f^Nsin M» » l'on a

« — i ci11 ~ * « — i an~-^

Enfin, en introduisant ces valeurs dans les expressions (148) et en séparant les quantités réelles des imaginaires, on arrive à

l u=C, -+- (C, cos<p-t- S.,sinq>) — h (C.cos2»+S-sin2co) — H-..., \ T 'a ° ' ' a2

f w— S, -f- (S, coscû — Casincp) — h (S-, cos 2» — C, sin 2 s) —-+-.... V v T J' a ' a-

Remarquons maintenant' que les portions des déplacements qui sont produites par la traction D ont des valeurs (147), u — ^-. I Nrfs,

v = ïfï j Nds, qui reviennent, vu que œ = rcos<p, ;/ = rsin?, et que J = - a-, ds = ad ç>, à

n .— - C cos cp , v = - C sm cp ,

où C représente l'intégrale