PLAQUES CIRCULAIRES. EXTENSION

Nous aurons ainsi pour la somme des déplacements que le problème propose de trouver :

( u = C. -t- [(G + C.) cos cp -+- S, sin ©]--+- (C, cos 2» 4- S3 sin 2«) '— -h . (151 a) j

f v = S, -h [S, cos cp -+- (G — C») sin çl - -f- (SL cos 2» — C3 sin 2©) *— -+- .

Ces formules, avec celles (149) et (151) qui donnent la signification des C, S, déterminent complètement les déplacements w, v, parallèles aux x, y.

Cherchons maintenant les forces qui sont propres à les produire. En premier lieu, la traction normale D, qui agit partout uniformément devient, d'après (146) en remplaçant toujours J par tm\ ds par ado :

D = — n r- où on peut faire i — - — , =2 (a. — f) .

Quant aux forces X0, Y0, on les trouve au moyen des deux premières formules (155) du § 59, p. 504, dans lesquelles on remplace cp et cj; par u et v et où on introduit ensuite pour u et v leurs valeurs (150). Ce calcul est rendu beaucoup plus facile au moyen des équations (140), page 507, avec u, v mis pour ut) vt, savoir :

du

dv n tu dv

dx^ dy~~ ' dy 0x—U'

qui permettent d'éliminer v de X0 et u de Y0 et qui donnent à leurs valeurs (155) la forme simple

E' (du tu .

cos |) + — sin p

1 h- n' \Sx l ^ dy E' (dv dv

(dv dv . \

On a vu au § 55, formule (92 c), p. 225, que les expressions entre parenthèses ne sont autre chose que les quotients différentiels de u et v par rapport à la normale au contour, et comme, ici, la normale se

(*) Ces expressions ne sont autre chose, comme on voit, que les seconds termes de celles (142) de X„, Y0 de la fin du § 4Ü, termes que l'auteur avait supprimés en annulant ou abstrayant ut , », , sans en présenter le motif, et que j'ai rétablis en ne réduisant qu'ultérieurement les valeurs (142) à celles (142 a) que l'auteur donnait seules.

On observera que , = 2 f où le double du coefficient d'élasticité du glissement gxy.

316 CHAP. m. — plaques d'épaisseur quelconque.

confond avec le rayon, on a les expressions

^ ou 9f du h dv 9f (v

A°~ l + t)'ê)r~MS)r' Ï0~lH-9'^r~^ dr ''

et, en y mettant pour w, v, les expressions (150) des parties de w, v, qui ne viennent pas de la force de traclion constante D du § 41, l'on obtient les expressions suivantes des forces qui doivent agir, sur le bord de la plaque, en même temps que cet effort extenseur :

xo = /. \ 'n ( C* cos ? -+- S2 sin m) + 2 (C5 cos 2cr> H- S, sin 2a») -'+....

Y<> = a(l-j-n') ^2 C0S ? "~ Ca Si" ^ + 2 ^5 C0S 2? ~~~ °3 Sin ^ a + * " '

§ 43. — Application à la solution approximative de problèmes généraux sur les plaques.

La considération des étals particuliers d'équilibre dans lesquels, au commencement du § 40, nous avons reconnu principalement le caractère de l'extension, peut encore avoir une autre utilité.

Le problème général qui consiste à déterminer Vétat d'équilibre d'une plaque sur la surface cylindrique de laquelle agissent des forces quelconques parallèles aux bases ou faces planes extrêmes, ne peut pas être traité rigoureusement dans toute sa généralité puisque, comme on l'a vu, les forces qui correspondent à un pareil état d'équilibre sont soumises à des conditions particulières. Mais si nous supposons que les forces agissant sur chaque bande infiniment étroite de la surface latérale cylindrique soient symétriquement réparties sur cette bande de part et d'autre de la médiane suivant laquelle elle est coupée par la section moyenne; que, par conséquent, elles ne tendent à produire que des. extensions ou contractions sans aucune torsion nillexion; nous pourrons avec quelque approximation remplacer, de la manière suivante, le problème général qui vient d'être énoncé, par un autre dont la solution soit comprise dans les formules du § 59.

Soit \ds la somme de toutes les composantes X des forces extérieures qui agissent sur la bande de la surface cylindrique latérale dont la largeur esids, élément de la périphérie, et dont la hauteur est L'épaisseur de la plaque. Soil également IW/.s la somme des composantes Y. Dans le problème du g 59, on obtient les sommes analogues en multi-

pliant d'abord, par l'élément dz ds de la même partie de la surface cylindrique, les composantes des forces agissant sur l'unité de surface

X=X0H-X1s-hX8s*,

' Y=Y0+Yl2 }-Y2-,

et en faisant les sommes / X dzds, / Ydzds depuis z — — ^ jusqu'à

z = + 5 , si h désigne

donne, pour une bande.

z = + <= , si /i désigne l'épaisseur de la plaque. Cette intégration

les termes dépendant deX1? Yt, ayant entièrement disparu.

Dès lors, ce problème se rapprochera autant que possible de celui du § 59 si on suppose les fondions X, Y déterminées de manière que les sommes des composantes qui correspondent à chaque arête de la surface cylindrique aient la même valeur dans le problème posé et dans celui que l'on doit y substituer. Posons donc

(155) a=X0/i+X2^, B = Y0fc + Ya^;

où A et B sont des fonctions données de x et de y, et remplaçons alors le problème donné par celui dans lequel les forces agissant sur la surface cylindrique seraient déterminées par la loi

x=x0+xä^,

Remarquons que les quatre fonctions X0, Y0, X2, Y8, de x, y, ne sont pas complètement déterminées par les équations (155), qui n'expriment entre ces quatre fonctions que deux relations nécessaires. D'un autre côté, les équations (155) de la fin du § 59, p. 504 donnant des expressions de X0, Y0, Xg, Y2, ne peuvent être prises comme pouvant subsister à la fois toutes ensemble ; il faut seulement les considérer comme imposant d'autres conditions auxquelles doivent satisfaire les fonctions X0, Y0, \, Y2 des équations (155). Si donc on

518 CHAP. m. — PLAQUES d'épaisseur quelconque.

exprime ces quatre fonctions au moyen de leurs valeurs tirées de (135) en ©, 4*, et si l'on introduit ces valeurs dans (155), on a les deux conditions suivantes :