AE

-cos/,r^+^ 0y)+ 12 \dx*^dxWy) 1

/ /C) Ç) I \ .«"1.9 / 61* 61ïl

H-.in,. (l-n<)(^ + 'ri)+'>T£(7i-i- + FiTL f \<-.*/ c.r/ 12 \c-xcij Etx&y*

M \ ' ## ##/ 12 \cxhf Ixf) '

ou 1-7=-, -V"=^' ■> =('1-,?')7

Les équations (155) étaient en trop grand nombre pour pouvoir être satisfaites à la fois par un choix arbitraire des fonctions X0, Y0, X2, Ys. Cette difficulté n'existe plus avec les équations de condition (154) ; on peut toujours satisfaire à ces équations, lorsque A et B sont des fonctions données der et de y. Bien que l'on ne soit pas en état, à l'aide de ces conditions, de résoudre le problème général posé au commencement de ce paragraphe, on peut donc cependant résoudre le problème pour lequel les sommes de toutes les composantes qui agissent sur chacune des génératrices du cylindre sont des grandeurs données arbitrairement. Les solutions de ce problème sont, d'après (150) p. 501,

en mettant [(z) de la note du § 16] — ; — pour -p, exprimées par les

équations :

n (vf

l—i)' V'-J dxBy) 2

dans lesquelles les fonctions 9 et ù, outre qu'elles doivent satisfaire aux conditions délimite (154) imposées pour que les forces agissant sur la surface soient les forces données A, B, doivent encore satisfaire en tous les points du solide aux équations (151), p. 501, imposées par les

suppositions t.. = 0, t,/3=0, t = 0, partout :

/ '-> i * — *)"cl» i 1 + ^ ^ -n

/.<^ 2 c>/2 2 crfi/~

ru a (156)

§ 44. — Solution approximative du problème général pour une

plaque circulaire.

Je vais appliquer ces équations au cas simple d'une plaque circulaire. Nous introduirons les coordonnées polaires r, ô, et nous considérerons (153) A et B comme des fonctions données de l'angle 0, tandis que dans les équations (154), r devra avoir la valeur constante a qui correspond à la périphérie de la plaque.

Posons maintenant pour abréger

Vx + TJj = '- ' TÄj~Tx = (i>

Ci r • o r •

OV ri », OV ( -b ,

SC 7~ — ? 1 ~C H 7 — — d •

t .c ( \j ( y vx

Les équations (154) et (156) prennent alors des formes beaucoup plus simples. On devra en outre remplacer partout l'angle p par l'angle 0 formé par le rayon r avec l'axe des x attendu que la normale à la périphérie se confond avec le rayon; les conditions généra les (156) deviennent donc

(158) Tx-\ ■%- ^-U, ^ 2 ^u,ou 2 -^

et, vu que les équations (157) donnent

(i59j / ^f HV g» = E-r

520 chap. m. — PLAQUES d'épaisseur quelconque.

les conditions limites (154) deviennent

. ( 1 — n' , n"tf Pc \

___COS9j 2 « H- ^ ^j

Les grandeurs Ç, £', kj, tf doivent, en vertu de (159) satisfaire aux équations

\ <C!J ~ Sx >

/ c(; — s j £ (n — rt )

l / '' c ij

Si, au moyen de ces équations et des équations (158) on détermine les fonctions £, £', tq, V, les mômes (159) fournissent enfin

1 d? = — ^-dx-\ y—dy,

# = — ^r^- f/r -+- ^-p- dv ;

et par conséquent <p et à par une simple intégration.

En introduisant les coordonnées polaires dans ces équations, on a

œ — rcosQ, y = rs'mO,

d'où l'on déduit en différenliant d'abord par rapport à r, puis par rapport à 0; ensuile en différenliant chacune de ces deux mêmes équations par rapport à xel par rapport à y, et tirant par résolution de chacun des deux groupes de deux équations qui en résultent, les valeurs des quotients différentiels de r et de 0,

dx ?y .' dx . By

cos 9, >)-=sin0, çtt = — rsinô: =£=rcos0,

fl rrr . , 0 sinû / 0 cosO

^- = cos 9 , j- = sin 9 , -r- = —

dx mj dx r ' < ij r