I 12. — CHANGEMENTS DE COORDONNÉES POUR UNE PLAQUE CIRCULAIRE

En conséquence, si l'on imagine une fonction quelconque A' exprimée d'abord en a: et y, et ensuite en r et 0, on aura, par différentiation de fonctions de fonctions,

cK

'cr

cos

roQ

sin 9 ,

crK ' cr

sin

0 +^reb

cosO ,

cK dr~

''Sx

sin 0 ,

'cK ro0~

sin 0 -+-

— cos 9

Ces formules, qui sont fondamentales pour les diverses diifércntiations, permettent de donner aux équations (158) à (101) des formes telles qu'il ne s'y trouve plus de quotients différentiels que par rapport à r et à 0. Que, par exemple, on multiplie la première équation (158) par cos 0, la seconde par sin 9 et que l'on additionne; ou bien que l'on multiplie la première par — sinO, la seconde parcosO, et que l'on additionne encore, on aura, en ayant égard aux deux dernières équations (165) qui s'appliquent à une fonction quelconque telle que !• ou y; ;

2n. + d-p),^=0, ou a^ + f-^0;

et o:> il r\ ct) a „ u\ C't) n

~nQ "' '" 'cr -' — -*rdr * îr Imaginons maintenant les fonctions £ et r, développées suivant les sinus et cosinus des multiples de 0, chaque terme comprenant un coefficient dépendant de r seulement, c'est-à-dire posons :

2§=R0+R1cosfl-hRscos2ô-+- .... -|- R; sin M- R, sin 20 + . . . . , (1— 9/)u=S0-f-S1cos9-i-S8cos2e+ .... + S\ sin 0 -+- S;, sin 2 0 -+-

Introduisons ces expressions dans les équations (164) ; et, dans chacune d'elles, annulons les coefficients des sinus et des cosinus du même argument, nous aurons, i étant un indice quelconque,

cr

dxa. i -^+--s;=o ,

Ar.

cr

-is.=o,

-a-' + iR .= 0 ,

R° et S0 sont deux constantes, et R; est lié avec S', comme K avec S. par les quatre équations binômes que nous venons d'écrire.

Eliminant R' et S', on obtient pour Ri et S. la même équation différentielle du second ordre

o I c rIr

dont chacune, étant intégrée, doit donner lieu à l'introduction de deux constantes arbitraires. Or, on satisfait à ces deux équations par les expressions suivantes où A., B*, C., D' sont des constantes arbitraires :

Comme les constantes sont en nombre suffisant, puisque les équations différentielles que résolvent les expressions de R;, S. sont du second ordre, ces expressions sont bien les formes les plus générales jjfeiuetdeS..

Mais les constantes C., Df doivent être nulles afin que, pour r=0, c'est-à-dire au centre de la plaque, les valeui s ci-dessus restent finies. On a donc simplement

R , = V > S«=V ' et, par suite

de sorte que les expressions Ç et de rt deviennent : ( Ç=i rA0-hA1rcosO+A2r2cos2û + -j-B1rsinöH-Bar8sin204- J ,

(Ï3=L n0+B1rcosö + ß2r2cos2ö + — A^sinÖ— Asräsin20 — I

Tour trouver maintenant les fonctions £' et r/, nous ramènerons d'abord les équations (161) à la forme

,- ... r , r r Gl C\*l ' ' I r v r

( l' cd <<i c'jn (J- £jL__ ( -- \ cr> •

ou, en remplaçant les dérivées par rapport à x et à y parleurs valeurs en dérivées par rapport à r et 0 au moyen des formules de changement (103).

Si, maintenant, l'on multiplie la première de ces deux équations par cosO, la seconde par sin 0, ou bien la première par — sinO et la seconde par cos 6, et si, chaque fois, l'on additionne, on obtient :

OZ < 0 ( ' ( r,\ (Ci ( ç \ . ~

T1-+-k = - ■Jr-—i ; cos 20 4- h 4)smâ0 '

\ ( r ri 0 y r rc 0/ \i r rc 0/

) r -i 0\ i / r - es \ / C r;\

V ~r t— = — I—H-- )sin20H- 7 -, )cos20

On peut remarquer que les premiers membres de ces équations (160) ont tout à fait la même forme que ceux des équations (104) dans les quelles 2; serait remplacé par ç' et (1 — o')y; par y/. Cette remarque va nous donner le moyen de déterminer pour q, y/ des expressions en série comme celles (165) de £, rr En effet, supposons que l'on ait trouvé une solution particulière quelconque £', ïj0des équations (160), solution à laquelle on peut donner la forme

;j) = /5Cos26-|-p'sin29 , V =: p sin 2 0 — p cos 20 .

Si l'on met $'o, »j'o à la place de |\ dj' dans les équations (106), les premiers membres seront :

r r< ri O) c» r •

ér rfQ ré 9 cr '

et ne cesseront pas d'être égaux aux fonctions de r, 0 qui forment les seconds membres. Retranchant, des équations (166), celles qui résultent de cette substitution, on a

Les différences (c' — ço) et (•/;' — r^ doivent donc être exactement de la forme trouvée ci-dessus pour 2^ et pour (1 — 9') yj, c'est-à-dire que l'on a :

[ ?;'=?; -l-C +Crcos6H-Crscos2ô+ 4-Drsinô-t-D ar2sin2ô-4-..,

( y/ = ^ + D0 + D1rcos6H-Dîrscos28H- — C/sinO — C/2sin29 — ...

où les C , Dj désignent des constances arbitraires.

11 reste donc à trouver la solution particulière l^,^,, ou bien une

324 CHAt\ III. — PLAQUES D'ÉPAISSEUR QUELCONQUE.

expression des fonctions que nous avons appelées p, p', définies par (167). Introduisons dans les équations (106) les valeurs (167) pour q et pour r/; les premiers membres de ces équations prennent la forme

\cr rcQ r ) \or rlh r )

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