fe+^)*«+.(Tt+3t+4?-)«w

En comparant ces formes avec les seconds membres des mômes équations (166) on obtient les équations plus simples,

cp tl Jk—B ,£v

dr r-m r dr "r#ô '

dr*~rtk*~ r ~ Br rlQ ;

ou, enfin, en introduisant dans les seconds membres de ces êgalilés, pour £ et y) leurs valeurs (165),

dj__d£ 2g ^ #r r/9 r

= a I .+ ** a lBi sin ö + 2 "> sin 2 0 + +A1cosO+2A2rcos2ô+...

'cr rcQ r

77 B1cos9+2B2rcos20-|- — A,sinO— 2A2?'sin29 —

Si l'on pose, par conséquent :

p = Etr sin 0 -+- E2?-2 sin 2 ô H- -+- l^r cos ô -f- F,r2 cos 20

' p' = Gtr sin 6 H- G2r2 sin 2 0 -+- 4- I^r cos 9 -h Ilsrs cos 2 9

on obtient, par la comparaison des coefficients correspondants de ebaque sinus et de chaque cosinus :

„ E= i±Sl,B'; g<=f,= -M a il0ft*±i=Ç i.

g 44. — EXTENSION D'lINE PLAQUE CIRCULAIRE. 525

de sorte que l'on a enfin p =—TjïzP~f\\ r>>i'"sin0-+-2ßär9sin20-i- H-A,rcosM-f-2A2r5cos20-h

p'=— , „H~9,t Ui>-sinQ + 2A,r2shi29+ — B,rcosO— 2B,r!cos2ô — 1

ce qui revient, d'après les (165), à

De celte façon on a complètement déterminé la forme des fonctions £, y;, £', r/, et il ne resle plus qu'à avoir égard aux conditions de limites pour les faire servir à la détermination des constantes.

Dans les deux lignes de chacune des équations (100) qui expriment

ces conditions de limites, se trouvent, affectés de ^rr~ , les binômes

formant les premiers membres des égalités suivantes, et auxquels

on peut, en verlüde la troisième des formules de changement (103),

substituer les seconds membres :

— cos 0 H- r— ^ sm 0 = -g- \-otA x- c xc y or \oxJ

Gnr r / r r\

cr% . . < ( ;\ cos 0 -+- r- - sin 0 = -^ —

Multiplions donc respectivement les deux équations (100), modifiées au moyen de ces substitutions (108 b), par cos 0 et par sinO, puis par — sinO et par cos 6, et additionnons chaque fois, nous obtiendrons, eu égard encore aux dernières formules de changement de variables

(163), appliquées à ^p, -p- au lieu de K, les équations plus simples

Vr^^cos0 + Bsin0)^£^^+^^(rcos204-v;'sin20)+-^^'; n h • z4 c r- 2 l

^(Bcos0-Asin0)=^^l[i)+-^(v3'cos25-;'sin20).

Ces équations ne s'appliquent qu'à la valeur r=a du rayon vecteur mais elles conviennent à toutes les valeurs de l'angle polaire 0. Si l'on y introduit pour £, q, rn r/, leurs valeurs en série trouvées ci-dessus, et si l'on y fait en même temps,, r~a, on obtient les équations sui-

5'26 CHAP. III. PLAQUES d'épaisseur quelconque.

vantes qui expriment les conditions limites, ou au bord de la plaque, et qui doivent être satisfaites pour toutes les valeurs de 0 :

, F, Acos0+Bsin0) =

-^ 1.2A2cos20-f-2.5A3acos50+ + 1.2B2sin20-h2.5B3asino0-f-.. ..

~\ Ao+A1acos0-hAsa2cos20 + H-B1asine+l.2a2sin2ô-h....

-^2- A1acosô + 2A2a2cos29-l- +B1asin9+2Baa8sin2fi+

468 </) ( | (1— n'j[Cocos29-f-C1acoso0+C.2a2cos404-....H-Diasin5e+Däa2sin4e+....]; 2(1-.)")

(Bcos0 — Asin0) =

L^r i.2A2sin20— 2.5A5asin50— ....+1.2B,cos20H-2.oB5acos50+.... ^ A1asin04-2A2a2sin20+ — B1acosO~ 2B2a2cos20 —

+ (1 — n')[D0 cos 20+D1acos50+D.)a2cos40 -(-.... — C,rtsin50 — C2a2sin40 — ....

Pour déterminer les constantes au moyen de ces équations, on n'a qu'à se rappeler une propriété connue des intégrales trigonoinétriques d'après laquelle, si m et n sont deux nombres différents, on a :

\ cos mO sin n0 dO = 0 , l Jo

( 1 08 e) ! I cos mö cos u0 dQ = 0 ,

Jo

F /*2ic

I sin md sin n0 (iô = 0 .

1 jo

La première de ces équations subsiste encore quand m = u ; tandis qu'on a, au lieu des deux autres

(168/) I cos1 me de = sinäm8dfl = ir ;

et, pour m=n = 0, on a, au lieu de la seconde :

/ de =2* .

ö'lt

Qu'on intègre donc les équations (J6S d) de 0 à 2- après les avoir multipliées par rfô ou parcosOu'Oou bien par sin Or/0, on trouve les équations suivantes qui ne contiennent plus que les constantes, et les grandeurs À et B supposées connues :

v kh/ ' \ (Acos9 4-Bsine)rf9 = (l-hi)')A0îr;

-jrl F 7' J»

(BcosO — Asiii9)r/9 = 0;

hK

—^ ■ j (A cos 9 H- B sin 0) cos 0 f/9 = — y-2- kfiit ;

, „^ ' ^ " (A cos 6 ■+- B sin ô) sin Or/9 = f ^ Bxoir ;

" v . F, ; ; / (B cos 0 — A sin 9) cos 9 rf0 = ~~-L \\a-K ;

1 2^i/<E/')3) f (Bcosô — Asin0)sïn0d0 = L+Jl'^air •

Qu'on les intègre de môme nprès les avoir multipliées par cosi"8dô, sin «ödo, i ayant toutes les valeurs entières plus grandes que l'unité, on a toujours, en vertu des (168 e), (168/") ne laissant subsister qu'un seul terme des séries après l'intégration,

jjêr— j' (A cos 9 4- ß sin 9) cos /9 r/9 =

/i(i l)0'7/V-2 (l4-n')(/— 2) \ „ „ n . , = ^Âi(vJ 04 L4J Vj+Ci-oVC^«'-2;

9(1 — n'ïj /»2k

il-, / (Acos0-r-Bsin9)sini0rf0 =

ttB

t(i— \)vfh*a " (l + 9')(i 2)

lf/0:

2(1 — n'2) f- \„/ (Bcos9 — Asin6)cosi0.

hh Jq

{i{i—i)tfh*a*-* 1+n'. \ „

= *»,(- 94 4-"<y + U-n>lW- .

- ,^,' ' (Bcos9 — sin0)siiw0d0 = AE Ja

(ili—\)n"h*ai~i t-f-n'. A ,.

=-*Ai(fJ 24 ^^-(l-./)^.,^