CHAP. III
PLAQUES D ÉPAISSEUP. QUELCONQUE.
Ces équations suffisent pour déterminer complètement les constantes, car celles (169), où n'entrent ni les C ni les D, donnent A0, At, Bt et le système des quatre équations (169 a) fournit les quatre constantes A., R, C{2, Di 2> cl Par conséquent tous les C, D, ainsi que les A, B d'indices 2 et au-dessus.
On a ainsi, en tirant A4, Bt de la troisième et de la quatrième des (169) sauf à se servir plus loin, comme on va voir, de la cinquième et de la sixième qui les contiennent aussi,
E'tt J0 [
.\cosO-t-Bsin0)</9,où
il 1 . L-L "
109fr)
A =Lil__ 11 / ""(Acosô-f Bsin0)cosfld0 ,
«// h TT Jq
Bx = y,..,n (Acos9 4-Bsin9)sin0r/O, an ihn e Jo
A ^ULzJÛ f2i:[Acos(; + l)e + Bsin(/+l)e]rfO
1 d'il b 7T Jq
b 4(1 — 23 r-^Asin(i + l)ö — Bcos(i + l)6](/ô ,
1 (X lllli TC J o
r*** i(i— l)n»Ä» — 6(l!+i/)«"» /'2* ,. .;, n . ,. , .wt „
C. , = LJ-p-77-^/-Lj-L-JJ — / [Acos * + l)9 + Bsin(* + l 9]r/9
„, . ; I (BcosS — A sin 0) sin /6
L'a»-** Jo
rfe.
f *[Asin(i+l)"fl— Bcos(i'-t-'l)e]<fc
U O // Vj 7T J o
/(;i)n"/,« 6(l+n')a-/ T2' z'ÄEV Jo
w, ,v+? f" "(B cos Ö — A sin 6) cos ZflrfO .
Il résulte, en oulre, des équalions ci-dessus, trois conditions qui ne contiennent pas les constantes et qui, par conséquent, paraissent exiger, pour les forces extérieures, des propriétés particulières. L'une de -ces conditions est exprimée par la seconde des équations (169). En ajoutant, d'une part, la quatrième et la cinquième de ces équalions, et, de l'autre, en retranchant la dernière de la troisième, on obtient encore deux équations de conditions. Ces trois équations sont :
f'T'{WcosQ — Asin0)f/0 = 0 ; /"*Af/6 = 0; f"*Br/0 = 0 • J 0 «^0 «/ 0
Elles n'expriment en réalité que la condition que les forces exlé
Heures agissant sur la plaque se fassent équilibre. En effet, si l'on désigne par ds un élément de la périphérie, parx, y ses coordonnées; les sommes des composantes des forces extérieures seront :
/ kds , fßds ,
et la somme de leurs moments de rotation sera
fi^x-ky)
ds .
Si les forces extérieures se font équilibre, ces trois intégrales doivent être nulles. En les égalant à zéro, et en y remplaçant x, y, ds par acosO, a sin 9, adb, on obtient bien les trois équations de condition qui viennent d'être écrites.
La détermination des constantes est donc complètement opérée; le nombre des conditions a été suftisant, et le problème ne présente aucune ambiguïté. La constante B0 seule est restée inconnue, mais on verra plus loin que cela ne fait aucun obstacle à ce que le problème soit entièrement déterminé.
Il reste à exprimer les fonctions o et <b, ah'n d'arriver à l'expression générale des déplacements m, v, w. Cela se fait à l'aide des considérations suivantes :
Comme conséquence des équations (159) et des troisième et quatrième formules de changement de variables (165), on a
dr
sin 6,
cos ö
sin 0,
— -y — sin 9 H ^ — cos 0 ,
rW
rTê = ~
sin 6
cos 6.
Les deux premières de ces équations, intégrées par rappoU à r donnent
^ f = cos 9 fi L+i dr + sin o fil+ï dr + 0, ,
dr -4- sin ô
dr -j- 0„ ;
550 CHAP. M. — PLAQUES d'épaisseur quelconque.
où 0t et 02 ne sont fonctions que de 6. Ces expressions donnent évidemment, pour les quotients différentiels de ? et de à par rapport à r, les deux premières équations (170). 11 faut déterminer 0, et 02 pour que les quotients différentiels de ? et de «J; par rapport à 0 soient d'accord avec les deux dernières équations (170). En différen liant ces expressions par rapport à 9 on a :
8* cos 9 rrf (; + ;') , , sin 9 fr9(v + i>') , . #®i
Fe = "T~ Jo ""a- r//' + T Jo "" 7^" '''' + 70
sin 9 /'r „ ,„ . cos 9 /''• . ~-~ï~ Jo (; "*" ; ) + T" Jo (" + ï; ] (/ '
?* COS 9 /»r ^ (ïj — -o') . sin© f r # (Ç ;') , . / 02
sinö /'''• . cos 9 /,,> , . .
+ "2~ Jo (s",3)rfr"h"2~Jo (; ^' *
Si maintenant, dans les équations (161) on substitue, au moyen des (165), les quotients différentiels par rapport à r et Ô à ceux qui sont pris par rapport à $ et à y, ces équations deviennent :
^V)cos6 + £iî=i)bin0 '11=11 *„,+ £<!=£ „..=«>
On peut alors, dans les expressions précédentes de -^ , — , mettre ,
à la place des quotients différentiels par rapport à 0, ceux qui sont pris par rapport à r, et l'on obtient :
t y COS
3s9 rr ( 0(i-W)\ , sine Çr(t^„, £ii±i)\ , jfcl
^ cos 9 /r/ #(Ç ç')\ Sine /»'•/ ffo — v/)\ . #0S
On peut maintenant intégrer les seconds membres; et, en observant que les quatre intégrales qui sont r(y] ± r/), r(Ç ± £'), n'ont pas besoin qu'on leur ajoute de constantes, vu qu'elles s'annulent à la limite inférieure r = 0, on obtient :
h ( a*-W • J + ^\ , ge, ^ - r ^cosfl -g sinfi -g-j + w ,
/ !> / ; — ;' . ïj — aj \ '< 0-
g 44. — EXTENSION D'UNE PLAQUE CIRCULAIRE. ."öl
Ces équations concordent avec les deux dernières ( 1 70) à la condition que l'on admette Q{ et 02 comme des quantités constantes, afin que leurs quotients différentiels par rapport à 0 disparaissent. En donnant ainsi aux grandeurs 0 cette signification de constantes, les équations (171) p. 329, donnent les expressions complètes de 9 et de <b.
Pour effectuer les intégrations qui y sont indiquées, remarquons que d'après les séries (168), p. 525, ç' et r{ ont la forme
et que d'après (107) on a
l'n cos 0 + m'0 sin 6 = p cos 0 + p' sin 0 , yjo' cos 9 — \' sin 9= p sin 6 — a cos 6 .
On peut donc aussi écrire
l cos 0 /*'' , . , sin e rr .
/ , cos 9 rr . , ,, , sinô rr
( += — 2*J0 (»-»;+fO*-+-j-j0 (?-5;+/»)dr+08.
Au moyen des développements (165) de ç, rn p. 522 et (168«) de p et p', p. 525, on donne facilement aux binômes (ê-f-p), (y; 4- p') la forme
^ + P = T7T ^ [Ao4-A1rcosO + B1rsin64-A,r2cos2ô + B,/-2sin20 + ...l
— 4(1__^/| [A0 + 2Atr cosO -+- 2Btr sin 0 -f- 3A2r2 cos 26 -f- 5B2r2 sin26 + ...]
fi -f /j' = ttt^-^77 [l'o + Bi>' cos 6 — Axr sin ô + B2r2 cos 26 — Aä/-' sin 29 -+- . . .]
H-, ,,+ ^ rP0+2BxrcosO — 2A1>-sinQ + oB2r2cos2Q — 5A,Hsin2e+...1 4 (1 — n j
ou -. '- — -J + i .
Si enfin, on prend dans (168), p. 525, les valeurs de l'^'c? — £ et de 75J =vj' — »)ô on a, par l'intégration des termes de (171 a), les expressions suivantes pour 9 et ^ :
â°2 CIIAP. III. — PLAQUES D'ÉPAISSEUR QUELCONQUE.
y = ®i + 8(1 , |r(Aocos0 + BoSia6) + ?-"(A,cos2O + Blsin'2&)4-Ç(A2cos3e4-B2sin50) + ... |
~8(1— ri) j'"(-4oCOs9 — Bosin0) + r2A1 + r^2cos0 + B2sin0) + r4(A3cos20 + B3sin20)+. ;
+ 3^»,(Cocos0 + Dosiiie) + Ç(Clcos29 + D1siQ20) + ~~ (C2 cos 30 + B2 sin 30) +...J
==0i+8(l — n') jr(AoSi»fl — B0cos5) + ?^~ (A, sin 20- B, cos 20) + '-' (Assin 50 — 6400530) + ... J
~8(1 — ri) | r'A«sin9- Iîocos0) — r2B, + r3(A2sin0 — B,cose)+r*(.A3sin2ö — B5cos29)+...
+ 2 |?'(Cosin0 — Doces0) + ^" (0,811120—0400520+) Cc2 sin 30 — D2 cos 30) + ... •
Après avoir donné ces développements coinplels, il suffira d'indiquer brièvement les formes sous lesquelles se présentent les déplacements et les tensions. En introduisant dans les expressions (152 a) de?/, v, w, et (132 b) de t^, t tx les fonctions Ç, >q, £', vj', définies par (157) cl
(159) et en remplaçant ensuite les^> ?+> ^-i> ™ t^-£- par les délier cy Var cif cxcxj
vées en r et 6 que fournissent les formules de transformation (105) et
(162 a), l'on obtient pour les déplacements :
" = 9TT — ^v hr cos ° — zn> sin e + ? >
^ ( 1 — 9 ) ( or rcQ )
Ott-.') , o f c r \
et pour les tensions :
+ 9',-2i|-!cos2e + 2^-4^^m0cose+(/44T+^si,l2ôM'
^ = 2TT^y [(i + 9')^ - (i - 9') ^'
+ n V i f^j sin50 - 1 & - -Ph) si'1 û cos 0 + ('-^ + 4r) eus2 0 j] ,
-+~n"a it"1-^ ^-Wcos2ô — sinäö) -K ( ' "1 — 4A — -V1) sinOcosO ;
7 (\rcn0 r2c<)J K \<- /- r*#Gs /v /y )|
• EV w i" , i" 0
ou2(i — ■>'-)— c' a(i-9')~ai l' ï'd + 9')-1.
Dans les expressions des déplacements, il y a encore trois constantes indéterminées B0, 0t, 02; mais ces constantes ne se trouvent pas dans les expressions des tensions : celles-ci sont donc complètement déterminées en chaque point. Pour reconnaître l'influence de ces constantes sur les déplacements laissons les subsister seules en faisant disparaître tout le reste, nous avons :
u = 0t + - B0 r sin 0 = e, + -£- ,
v = 0j — ^ ly- cos 9 = 0a H,
On a déjà dit plusieurs fois que des formules de cette espèce correspondent à un petit déplacement du système des axes coordonnés, c'est à-dire à une petite translation avec une petite rotation générale; et ici, où l'on a ii>=:0, cette translation et cette rotation ne sont que parallèles au plan xy. L'indétermination de 0X, 02, B0 est donc sans influence sur l'état intérieur du corps; on peut par conséquent annuler ces constantes ou bien leur attribuer une valeur arbitraire quelconque. Le problème est donc complètement déterminé.
Il est sans doute possible de résoudre, pour des plaques d'une autre forme, le problème proposé, comme on vient de le faire pour une plaque circulaire. Il nous suffît d'avoir montré complètement, pour ce cas particulier, la marche à suivre ainsi que la solution : on voit aussi que cette solution, complète et générale, pour ce cas le plus simple est déjà compliquée; car, dans les expressions obtenues pour les déplacements u, i\ w des points et pour les tensions t , t , t qui y agissent, il faut, à la place de la fonction ;, mettre la série trigonométrique (165) p. 522, dont les coefficients A0, At, A2,.... Bt, B2, ont les
expressions (109 6.) de la p. 528, où les intégrales définies / se
Jo
calculent lorsque les forces A, B qui agissent sur chaque bande longitudinale de la surface latérale de la plaque sont données en fonction de l'angle polaire 0.
; 45. — Flexion d'une plaque par des couples de forces agissant sur son bord — Flexion uniforme par des couples égaux tournant autour des tangentes à la courbe périphérique de la surface médiane.
Pour compléter ce qui a été dit au commencement du § 40, il reste à examiner la seconde espèce des états d'équilibre contenus dans les expressions générales (152«), (152 6) p. 502. Pour ces états qui dépen dent uniquement, avons-nous dit. de la fonction /et de la conslanteC entrant en même temps que ? et ty dans les expressions générales des déplacements et des tensions, on a seulement :
(172) v=-z^-{l-f)1CLl
\ w = f— C'(i — n) — 4-^—') y mï=w'' la fonction /"étant définie par l'équation (152)
ct les tensions (152 b) ont alors pour valeurs :
,74) ^ = -ïT?W"(t4-?°â
9' W F/g ry , e/ 0 k'. f
Vv — 1 +9' ^,y 0U 1 -h n' ~~ ' 2 ~ a, '
Ce qui caractérise l'élut dont nous nous occupons maintenant, c'est que toutes les tensions changent de signe avec z; que, par conséquent,
C) D;ms le livre de Clebsch il y a doux erreurs d'inadvertance. Il y a été donné - pour
dénominateur à. -*-+?/- dans la troisième (172), el 1 — 1/ pour coofiieient à ' dans les
deux premières (174). Il faut 4, el 1 -f 1/. Je les ai corrigées aussi plus loin, notamment aus formules (174a), en y donnant à a- -\- y- le dénominateur 2 qui manquait, eleu rédui-
,- au lieu de -", ' -. — ; — >; et, aussi, dans les formules (174c), (175). 1 'J I [ i) \ t \ i
§ 45. — flexion d'une plaque tau dks couples. 555
les tensions dans la inoilié inférieure de la plaque sont exactement égales et opposées à celles de la moitié supérieure à même dislance du plan milieu z = 0. Les forces de traction agissant parallèlement à la plaque sur ses bords ou sur son cylindre contournant sont donc aussi égales et opposées de chaque côté de la section plane médiane. Elles n'exercent, composées ensemble, ni traction ni pression; elles agissent seulement comme moments de rotation autour de droites tracées sur le plan de la seclion médiane ; et le caractère des formules qu'on vient d'écrire et des déplacements qu'elles expriment, est une flexion produite par des couples de pareilles forces.
La surface plane médiane, elle-même, n'éprouve de tension d'aucune sorle; elle subit seulement un changement de forme tel que ses points se trouvent déplacés normalement à son plan primitif 2=0, sans que leur projection change de position dans ce plan, car u et v s'annulent avec z. Les libres intérieures de la plaque, perpendiculaires à cette surface médiane, restent rectilignes mais changent de direction. En effet, si l'on pose [(75) ou (74) et (75) du g 25, pages 158-159]
on peut, des équations [472), déduire les suivantes, en négligeant les quantités d'ordre supérieur de petitesse :
Si l'on considère x et y, coordonnées de la situation primitive de la libre, comme des quanlités constantes, les équations qu'on vient d'écrire sont en x', y', z\ celles de deux plans. L'intersection de ces plans donne la position de la libre déplacée, restée sensiblement rectiligne comme on voit.
Le cas le plus simple est celui où /"lui-même disparaît; les formules (175), (174) se réduisent alors simplement à
ou — ^-L- = — 2 a,
v = — — - C ijz ,
Un pareil état d'équilibre peut évidemment se produire dans une plaque quelconque, quelle qu'en soit la forme. Dans cet état, toute surface parallèle à la surface médiane éprouve des lensions égales en chacun de ses points ; car t et t sont égales et indépendantes de x, y ; et cette tension produit une extension simple et égale dans tous les sens puisque ^ = ~ , et que la tension t^ , qui produit le glissement des éléments les uns devant les autres, est nulle.
Les équations des fibres déplacées deviennent alors :
Les droites représentées par ces deux équations se coupent toutes en un même point de Taxe des z dont les coordonnées sont
On peut donc considérer les fibres déplacées comme un faisceau qui diverge à partir d'un point unique, pris sur l'axe prolongé, à une grande dislance du plan milieu de la plaque. Enfin l'équation d'une surface parallèle à la surface médiane, après les déplacements, lorsqu'on néglige les quantités d'ordre supérieur de petitesse, est l'équation suivante, obtenue en posant z' = z-t-w et en remplaçant dans l'expression (172) de w, où l'on fait f=Q, les coordonnées primitives x, y, par les coordonnées après le déplacement, x', y' :
Cette équation représente un paraboloïde de révolution dont le sommet a pour coordonnées
Si, pour un moment on désigne par Ç la coordonnée z' du sommet, l'équation ci-dessus peut être écrite sous la forme
ce qui montre que les différents paraboloïdes, dans lesquels se sont changées les différentes sections planes de la plaque, sonl superposa-
§ 45. — FLEXIOiN d'üKE PLAQUE PAU DES COUPLES. 557
bles, et ne diffèrent que par la position du sommet, puisque la seule grandeur z qui les distingue n'est contenue que dans Ç.
Les forces extérieures qui sont capables de produire cet état d'équilibre sont données parles équations (134), (155) du § 59. qui se réduisent dans ce cas à
