X : Y = cos/j : sin p

Elles sont aussi proportionnelles aux dislances de leurs points d'application à la surface médiane; nulles sur cette surface (z = 0), elles croissent de part et d'autre avec des valeurs opposées quant au signe (*).

(*) NOTE FINALE DU g 45.

1. Clebsch, dans ce § de son livre, considère, comme on voit, le cas d'une plaque sollicitée, autour, pur des forces faisant couples, et d'intensités proportionnelles aux distances z de leurs points d'application à la surface médiane. Finalement même, par l'annulation de la loue lion /' (qu'il rétablira au g 40), il réduit les forces à celles qui agissent normalement au cylindre contournant et qui ne tendent à faire tourner qu'autour de tangentes à la périphérie de la section médiane, ce qui produit une flexion spliérique, analogue à cette flexion égale ou circulaire des tiges, déterminée par des couples de forces normales aux bases, dont nous avons parlé au n° 2 de la Note de la fin du l 28.

Dans la présente Note, nous considérerons d'abord cette flexion sphérique. — Nous ferons voir qu'elle peut être trouvée d'une manière fort simple avec une complète rigueur quelle que soit la forme du contour, toujours pour des plaques d'une épaisseur quelconque, sans avoir à la déduire d'une analyse générale et très complexe, préalablement donnée, comme celle des §§ 59 à 44 ci-dessus. Il suffit, en effet, de la regarder comme résultant de la superposition, à angle droit, de deux flexions circulaires ou cylindriques de courbures égales ou de même rayon, et de même sens.

Puis, nous montrerons que le même procédé simple, en superposant deux flexions cylindriques de courbures inégales, même de sens opposés, peu faire obtenir avec la même rigueur une curieuse variété de déformations.

On verra ensuite que des solutions tout aussi rigoureuses peuvent être obtenues lorsque les flexions composantes sont déterminées, non plus par des couples, mais par des efforts tranchants qui agissent tangentiellement

558 GHAP. NI. — PLAQUES h'ÉPAISSEUR QUELCONQUE.

sur les faces latérales de la plaque, et qui l'affectent de ce que nous avons appelé des flexions inégales, dans la théorie des liges.

Mais c'est surtout aux plaques circulaires, d'épaisseur quelconque, dont le bord est appuyé ou encastré, ou même est libre si l'appui a été pris sur tout autre cercle que celui du pourtour, que ce genre rigoureux de solution sera appliqué, et sans faire aucunement l'hypothèse (g 29, \%\ a et 1*21 b, p. 297) de nullité des composantes de tension t.«, tl/z partout à l'intérieur. 11 donnera complètement la forme prise par la plaque fléchie sous l'action d'efforts ou de couples symétriquement distribués autour de son axe de figure, même ailleurs qu'au pourtour. On verra aussi que lorsqu'il s'agira seulement de déterminer sa flèche centrale de courbure, les solutions s'étendront à des charges distribuées sur les faces de toutes les manières, même sans continuité ni régularité. Ces solutions, si on néglige certains termes propres aux plaques épaisses (dont l'analyse actuelle tient compte), se trouveront être d'accord avec celles que Poisson a données en 1828 pour les plaques minces et les seuls cas de symétrie, en les tirant de l'intégration de l'équation connue aux différences partielles du quatrième ordre, dont l'établissement est fondé sur de pareilles suppressions faites a priori, et qui sera démontrée surtout à la Note du § 75.

2. Comme préparation à ces solutions relatives à des plaques de dimensions finies, considérons d'abord une plaque de longueur infinie dans le sens des//, de largeur finie, constante, mais quelconque dans le sens des x, aussi horizontal, etd'une épaisseur que nous appellerons

sollicitée uniquement sur ses deux faces verticales parallèles aux y, et par« tout de la même manière sur leurs diverses bandes ^tdy, par des forces normales t.dydz , supposées proportionnelles à la coordonnée z, et, par conséquent, faisant couples, puisque z est positif entre ses valeurs 0 et + £, négatif entre 0 et — e . On suppose que l'élasticité de la maiière homogène de la plaque est la même dans tous les sens horizontaux, mais que celle du sens vertical en diffère autant qu'on veut.

Vu qu'aucune raison n'existe pour qu'une plaque ainsi sollicitée se dilaté

(Id dans le sens y où elle est indéfinie, on aura partout <\ — j-~-0, et les trois

tensions normales seront régies par les formules (AJ du n" 15 de la Note du g 16, reproduites ci-dessus § 59, sous le n° (121 c), page 297 :

(a) t =(2f -\- P) <T + ä'3' , £ — PÏT + &Ï , t.. = d'?. -+- cfei J

Elles sont à substituer dans les trois équations indéfinies de l'équilibre d'un élément de volume

NOTE DU § 45. — l'LAQUK d'uNK LONGUEU« INDÉFINIE. ö.~)(J

On y satisfera, ainsi qu'à t.. ,t îr t - ~ 0 pour z ==±s, l'origine des z étant prise sur le feuillet moyen, au milieu de la largeur de la plaque, par

(-) u = — -jj- , » = 0 , m> = gît ( x' -j 7 :-: j ' (K étant une constante)

clonnaiit

Si nous substituons dans (a), en faisant, comme au n° 16 bis de la .Note du g 10, formules [«), p. 84,

nous avons

(</) t = — aiïï- l = — (a, — 2H ^ , L =0, t — o

w' xx Mi .'/y v ' 7R M ' ffs,zx,xy — "•

qui réduisent à l'identité 0 = U les équations d'équilibre (b).

On voit que al est un module d'élasticité d'extension propre aux plaques dont les deux faces perpendiculaires ä une seule coordonnée z sont libres, comme le module E de Navier est propre aux tiges dont les quatre faces perpendiculaires à deux coordonnées transversales sont libres de toute action extérieure (voyez le n° 15 de la Note du g 16, et le n" 6 ci-après de la présente Note) (*).

Les équations (e) prouvent que toutes les petites lignes ou petites faces matérielles primitivement parallèles ou perpendiculaires aux x, y, z resteront à angle droit les unes sur les autres.

La première (c) prouve qu'un point dont l'abscisse et l'ordonnée primitives étaient x et z a maintenant pour abscisse x -f- u = x ( { — jt-X QqHq

quantité est = 0 pour 2= R; toutes les lignes matérielles primitivement vertica'es aboutissent donc maintenant, si on les prolonge, à une Ijo-ne horizontale ayant pour équation x — 0 , s=R. Comme elles restent normales, vu (e) gix = 0, au feuillet moyen, on voit que ce feuillet primitivement plan est changé maintenant en portion d'un cylindre à base circulaire de rayon W. ayant pour axe cette même horizontale parallèle auxv/.

La première (g) montre que le moment ou couple de flexion M appliqué

(*) Ce module a, est les — du module E de Navier lorsque a*=h =s c = 7>(=ù(' ~")d' — ZG .

aux. faces verticales de hauteur 2s, parallèle aux y , a pour valeur

La seconde (g) prouve que si, dans cette plaque indéfinie, on taille une plaque rectangle d'une longueur finie dans le sens y, et si l'on veut que la llexion ne cesse pas de suivre ces lois, il faut appliquer aux divers éléments dxdz des deux faces nouvelles de hauteur 2s, parallèles aux ,r, des forces normales, faisant couples, comme celles qui agissent sur les faces parallèles aux y, mais ayant, pour l'unité superficielle, des intensités

„,,) ^=-(a,--äf)|

quatre fois moins grandes, quand a = c = of = o f = od' = 5G, que les intensités de celles-ci, et ne servant qu'à empêcher les nouvelles faces de perdre leur verticalité.

o. A ces déplacements (c) d'une plaque indéfinie clans le sens y , superposons-en d'autres, à savoir ceux que prendrait une plaque indéfinie dans le sens x, d'une longueur finie quelconque dans le sens y , et sollicitée sur les

nouvelles faces, qui sont parallèles aux x, par des tensions t = — at ~. Ces

déplacements ne différeront de ceux (c) qu'en ce quex sera changé en y,el u en v; et ils leur seront superposables par simple addition, comme on sait, si les uns comme les autres sont très petits. Les déplacements résultants auront ces expressions qui conviendront à des plaques, soit rectangles de dimensions quelconques, soit, comme on va voir, circulaires de rayons quelconques :

donnant

en sorte que les lignes droites primitivement normales au feuillet moyen % ^'0, ainsi qu'aux laces 3 =± z, sont restées normales à ces trois surfaces après leur incurvation.

Prenons des coordonnées semi-polaires

(/.) , a , telles qu'on ait x — r cos o. , y = r sin a,

égalités qui, différent iées, donnent, pour avoir les déplacements :

(ßj) ox = or cos o. — rS% sin a , oy = Sr sin a -f rSa. cos a ;

n yz

1 fx* + y*

l =t = — 2(aA— f)J,

un R

N. DU § 45. — PLAQUE QUELCONQUE FLÉCHIE l'An DES COUPLES. 541

ou, en appelant, avec Lamé,

U, V, YV

les déplacements du point (x, y, z ou r, a, z) dans les sens respectifs du rayon vecteur r, de l'élément ro<x de son cercle, et des z:

( M = Ucosa — V sin a , » = üsin a -f- Y cos a;

( d'où 11 = a cos a + v sin a , V= — m sin a -f i> cos a.

En y substituant les (i), on trouve, eu égard aux (/.),

Toutes les fois que le déplacement horizontal Vdans un sens perpendiculaire au rayon vecteur r est nul, et que les déformations s'opèrent symétriquement autour de l'axe des z , les dérivées peu rapport à a sont nulles, ce qui n'empêche pas qu'il n'y ait une dilatation <?a dans le sens rd» perpendiculaire au méridien de tout point, puisque, r devenant r-+-\], le pelit arc rd<x augmente de lh/a; d'où il suit, comme il est facile de le voir, qu'on a pour les dilatations, les glissements et les composantes de tension dans les sens r, rd-x et z,

\ r Vr ' a r » — dz

C t,T = (2f+f')?r + P?a +,d'D , taa = rDr-f(2f+f')?a +d'^, ( t.. = d'?r+ d'?K+ ea.i

d'où, si l'on a partout t.. = 0 , l'on lire, en éliminant d^,, (P) tn, = a, (Df + DJ - 80. , tar/ - a, (3, + ? J - 2fi>r .

Dans le cas présent on voit par les expressions (m), des déplacements ; 1° Que g.r sera nul comme les deux autres glissements; 2° Qu'on aura partout

o° Que le rayon vecteur r d'un point quelconque est devenu, après la flexion,

Comme cette quantité s'annule pour z — P., il s'ensuit que toutes les petites lignes matérielles primitivement perpendiculaires au feuillet moyen, mesurant

les distances s des divers points à ce feuillet, concourent maintenant, étant prolongées hors de la plaque, au point z=J\ de l'axe des z. Comme elles lui sont restées normales puisque les glissements g;a, g r sont nuls, ce feuillet s'est changé en une portion de sphère de rayon R ayant son centre à ce même point (r = 0, 3 = R). C'est ce qu'on pouvait déjà voir par les expressions (J) qui donnent zéro pour x -4- u et y-\-v quand on y fait s — R.

k. Si donc on a une plaque horizontale, soit rectangulaire de côtés quelconques, soit circulaire de rayon quelconque, et si l'on applique uniformément sur ses faces verticales des forces normales t . t out, d'inten-

J **■ vif

sites (/), — 2 (ax — f) p par unité superficielle de leurs éléments, forces qui

sur chaque bande verticale feront couples puisque les ; se comptent tant au-dessus qu'au-dessous du plan à égale distance des deux faces horizonlaies :- = ±£, ce plan, si la plaque est circulaire, se changera en calotte sphérique de rayon R, et, si elle est rectangulaire, en une portion de sphère du même rayon; portion qui pour \V0 = (W)0 supposé très petit, se confond avec la portion de même hauteur du paraboloïde de révolution

w0 = - an ■> donné par la troisième équation (?) en y faisant c — 0.

Le milieu x = 0, 3 = 0, ou r= 0 du feuillet moyen, qui peut être supposé n'avoir pas changé de place, ne se trouve plus, après la flexion, à égale distance des deux faces 3= — s, 5 = + s, aussi devenues sphériques. Toutes deux se sont relevées de

Ces relèvements s'expliquent, savoir: 1° celui de la face inférieure 2 = — s,

d' 1 z d' 1 £ par les contractions verticales — dz.= — . s'sH — • n â> dont chacune des 1 c R 2 c H 1

deux moitiés accompagne nécessairement, et dans une proportion— (*), les

dilatations horizontales dr et ?a = — ^ qui ont üeu Pour 5 = ~ r} z »

moyenne des ordonnées de ce côté inférieur dont la hauteur est t; et 2° celui dé la face supérieure z ==s, par les dilatations verticales, ou dans le sens s, accompagnant les contractions horizontales de.r et y ou r et a, quand on a, comme ici, t =0 sur les laces inférieure et supérieure c — rb;.

(*) Cette proportion —, ou — -^ d'après la nolation de Lamé, quand il y a isolropie v ' ' c / + 2,'J.

complété; serait de ■„ si ). élait égal à jx (noie du g 16), c'est-à-dire sérail supérieure aux n

qui sont, égaux à 7 dans li 'nie supposition d'isolropie.

>'. DU § 45. — PLAQUE FLÉCHIE DE DIVERSES MA.MÈItES l'Ail DES COUPLES. 545

On aura, pour les moments fléchissants produits par ces forces L ., ou t out^-a^-f) ^

W M,o..M//ouMr=-2(a,-f) £ j{ z.,z == - * *JJ=J .

Ces résultats sont conformes à ceux des formules (172), (174), (I7i a) de flebsch lorsqu'on y fait (voir formules (x) et (;•) de la Note g i6, p. 83-84),

1^-Iz^c 2[a-rV--^- d-i--Ä

Ils ont uni intérêt pratique bien que l'application, au contour, de forces normales distribuées comme l'exigent les expressions ci-dessus t , t ou

tr -— — 2 (ai — 0 n^ soit irréalisable ; car si à leur place, il y a (comme on a

dit au § 28 et à la Note), tout auprès des bords d'une plaque mince, d'autres forces appliquées par exemple sur les faces supérieure et inférieure de manière à n'avoir pas de résultante et à produire des couples dont les mo-

2es

ments fléchissants aient par unité de longueur la valeur (s) — 2 (a. — f)^;,

oll

la plaque soit rectangle, soit circulaire, éprouvera très approximativement la déformation sphérique indiquée, partout sauf de très petites zones auprès des bords, par les raisons que nous avons données précédemment en traitant des tiges (Note citée du % 28).

5. Aux déplacements u, v, w donnés par (c) on aurait pu en superposer d'autres donnés par

différant de ceux qu'on a ajoutés au n° 5 pour avoir (i) en ce qu'au lieu de R il y aune autre constante H'. Il en résulte, au lieu de (i), (j) :

"".R.' ^>J~ ~ R" w*==AR."'".B7jf Cm' *FifW»

Ces valeurs de t.( .r, tw donnent les forces faisant couples à appliquer normalement sur les faces latérales perpendiculaires respectivement aux x et aux y, d'une plaque rectangulaire de dimensions quelconques pour que se points éprouvent les déplacements (/), et ses parties les petites déformations (u).

541' CHAP. lil. — PLAQUES d'ÉPAISSEU» QUELCONQUE.

Si R, P/ sont de même signe, l'équation w0 — ör + Ä du feuillet moyen après la flexion est celle d'un paraboloïde elliptique. Si R, R' sont de signe

contraire, c'est celle d'un par abolo <ide hyperbolique. Comme on n-r~j — f>'

c tin i

%^- ==— 7 , on voit que lorsque les flexions sont faibles, ce qui doit toujours

être supposé dans la théorie de l'élasticité, R et R' sont les deux rayons principaux de la courbure prise par ce feuillet.

Si R = — R', le feuillet moyen devient une de ces surfaces à courbures principales égales et opposées, appelées anticlastitjnes par MM. Thomson et Tait, dans leur grandi T réalise of Natural l'hilosuphy, de, 1867, dont un seul exemplaire existe en France, et dont il n'a encore été réédité que le premier volume.

6. Si ce sont des efforts tranchants, au lieu de couples, qui déterminent la flexion de la plaque, des solutions analogues à celles des nos 2, 5, 4 peuvent encore être données, et cette flexion est alors (comme pour les tigesj inégale au lieu d'être égale ou sphérique.

Soit d'abord une plaque indéfinie dans le sens g, et terminée dans le sens -x, aussi horizontal, par deux faces verticales planes x = ±a. Si P représente l'effort tranchant qui agit sur l'unité de longueur horizontale et tangentiellement dans le sens z sur ces faces dont la hauteur est 2 s, on doit avoir, pour l'équilibre de translation dans ce sens vertical, et pour l'équilibre de rotation autour de la médiane Js = 0 d'une section verticale dont l'abscisse est x, de la partie de plaque de largeur a — x comprise entre cette section et le bord $==,a :

(„) J^ ■ t- d* = P , jl t t „,. zdz = P (a - x) •

Il est facile de reconnaître qu'on y satisfera, ainsi qu'aux équations

indéfinies (b) de l'équilibre avec les — = 0, et, aussi, aux conditions

(t \ he = 0> par les expressions suivantes :

5P fax* a;5 «P / \ 221

donnant

', a . < -m 9tv d' '( 11

1 i)x te v '

S. DU § 45. — PLAQUE FLÉCHIE PAK ms EFFORTS TRANCHANTS. 7) 15

et, par suite :

En faisant s = 0 dans les expressions (r), l'on voit que, pour les points du feuillet moyen de la plaque, le déplacement horizontal u est nul, et le déplacement vertical

suit la même loi que pour une tige horizontale d'épaisseur verticale 2-, posée sur deux appuis distants de 2 a, si elle est chargée au milieu d'un poids 2 P par unité de sa largeur. Seulement, il y a, au dénominateur, le module a[ des plaques (n° 2), au lieu du module connu E des tiges, un peu moindre, qu'on a lorsque les faces verticales 2 ; sont libres; en sorte que la flèche de la flexion de la plaque d'une largeur très grande, ou comparable tout au moins à sa longueur 2 a, posée sur deux lignes horizontales

p . . . , . , Va' ;. , Va'

fixes, et ainsi chargée, est „ = au lieu de an . •

2 at £J 2 E s»

Si l'on voulait, au reste, que les points prissent exactement les déplacements (x) quelle que fût la largeur de la plaque dans le sens y (et toujours quelle que fût l'épaisseur 2 z) , il faudrait appliquer, non seulement sur les faces x = a les forces tangentielles verticales ti;. exprimées par la formule («'), mais encore (et analogiquement à ce qu'a offert l'expression (ftt) du il" 2), sur les faces taillées, des foires perpendiculaires aux y, et exprimées par la valeur (a') de t( ( .

7. On pourrait même, aux petits déplacements «, v, w du système (x) en ajouter d'autres qu'on en déduirait en y changeant u en v en même temps que x, a, P, en y, b, Q, ce qui donnerait les flexions d'une plaque de largeur 2 a dans le sens x, de longueur 2 b dans le sens y, sollicitée sur ses faces latérales perpendiculaires à x et à y par des forces telles que (a') faisant efforts tranchants P, Q pour l'unité de leur longueur. Mais l'expression qui en résulterait pour les déplacements verticaux du feuillet moyen

5 /P«.c* + Q%* P,r-- + Qr\ (C } " v~ 2a^ V 2 6 )

montre qu'on ne saurait regarder une plaque ainsi sollicitée comme appuyée tout autour sur un cadre horizontal; car, même en ajoutant, autour,

(*) M. Boussinesq, à qui je dois la détermination, à ma demande, des formules (x), a remarqué que celles (c), (d) n° 2, sont un cas particulier de celles (x), (y), (z), (a') que nous venons de donner : il suffit, pour y ramener celles-ci, de taire P infiniment petit, «

2 a jô infiniment grand, mais leur produit P« fini = ^——* On sait, et on voit en statique, qu'un

couple peut en effet être réduit à une force infiniment petite agissant à une distance infinie sur un système invariablement lié à celui où le couple s'exerce.

iÖ (MAP. III. — PLAQUES ü'EPAISSEl 1t wlELCO.VQIE.

des couplos comme ceux du n° 5, choisis comme on voudrait, et augmen-

X* II'

tant w0 de^-jT + ^TT;, on aurait toujours, en faisant soit x = a, soit y = b,

des valeurs de ir0 non constantes, à cause des termes du troisième degré en y ou x. Le problème de la flexion de la plaque rectangulaire posée de niveau tout autour ne peut probablement recevoir que des solutions approximatives comme celles qui feront le sujet de la deuxième partie où nous allons entrer, et où l'on traitera, chajp. V, des plaques d'une épaisseur très petite. La fin de la note du g 7a en donnera la solution due à Navier (*).