Mais il en est autrement d'une plaque circulaire
Sa flexion peut être obtenue exactement et complètement, quelle que soit son épaisseur, si elle est sollicitée symétriquement en tous sens autour de son axe de figure, moyennant que les forces appliquées à son cylindre contournant, et dont on ne connaît en général que les résultantes et les couples résultants, seront supposées distribuées d'une certaine manière sur les bandes verticales qui le composent. Nous supposerons aussi, pour nous borner, qu'elles ne tendent qu'à fléchir la plaque et nullement à l'étendre.
Et même, lorsqu'on ne se propose d'avoir que l'amplitude de sa ßeche centrale de flexion, on verra qu'elle peut être obtenue avec autant de facilité pour une multitude de cas de dissymélrie et de discontinuité des charges.
Considérons, pour plus de généralité, une plaque évitlée circulairemenl au milieu, ou bien une portion de plaque comprise entre deux cylindres conaxiques à base circulaire.
Soient r0 et a les rayons intérieur et extérieur des cylindres limitant cette plaque horizontale, d'épaisseur 2*;
P, comme au n° 6, l'intensité de l'effort tranchant vertical qui agit sur l'unité de longueur de son cylindre contournant extérieur, la plaque étant, pour fixer les idées, supposée prendre son appui sur la circonférence immobile, de rayon r0, du cercle moyen du cylindre intérieur ou d'évidement;
Q — SîraP, l'effort tranchant total s'exerçant sur toute la surface du cylindre extérieur, de rayon a, de longueur 2 na, de superficie 2 7r«.2e;
M , le moment ou couple fléchissant que des forces normales ou horizontales peuvent en même temps produire, aussi sur F unité de longueur horizontale du contour extérieur r = a, autour de la tangente à son cercle mo'ven ;
(") On voit aussi, en faisant £ = r cos «, x = r sin « avec a = b, P'= Q dans l'expression (c') de w0 relative à la plaque carrée sollicitée tout autour par des eflorts tranchants égaux, qu'on ne peut en déduire ce qui est relatif a une plaqua circulaire sollicitée de même, connue on a pu le faire au n° 3 quand il n'y avait, au contour, que des forces fléchissantes faisant couples. En effet., cette substitution produit, entre les parenthèses, un
terme , I' ?-5 (cos 'a + sin "a) faisant varier «•„ non seulement avec r, mais encore avec
l'angle azimutal a; et la surface affectée par le feuillet moyen n'est pas de révolution.
N. DU § 45. — TLAQIE CIRCULAIRE. — COUPWîS BT EFFORTS TRANCHANTS. 547
M , le moment ou couple semblable, qui s'exerce sur une coupe faite dans la plaque par un cylindre vertical et conaxiquc, de rayon quelconque r;
R, comme au n° 4, le rayon de la portion de sphère en laquelle se serait changé le plan du feuillet moyen de la plaque si elle n'éprouvait d'autre action que le couple Ma, sans effort tranchant;
W0 la valeur du déplacement vertical W pour :• == 0, ou l'ordonnée des points du feuillet moyen de la plaque après sa flexion.
Vu la symétrie supposée, comme au n° 5, des actions et flexions autour de l'axe vertical des z qui passe par le centre de la -plaque, on aura, en conservant les notations de ce numéro, et les 4 ne désignant toujours que les dislances primitives des divers points de la plaque à son feuillet moyen:
P V = 0 , et les — = 0 ; ou les tensions et 1rs déplacements indépendants
de l'angle azimutal a ; t,r^(2i + i^ + f^ + d^:
sr
Les tensions t devront satisfaire aux deux équations différentielles suivantes, indéfinies ou applicables à tous les points, de l'équilibre de translation d'un élément de plaque dans les sens r et z :
9\„ $U t-— t $t„ trx dtzz
(') Ces deux équations sont une particularisalion, pour^— = 0, t =0 » des trois que
Lamé a déduites [leçon 14 sur l'élasticité, form. (5)], par une transformation en coordonnées semi-polaires r, y., de celles d'équilibre en coordonnées rectangles x, y, z. On peut les écrire, 51, J\d , 3d étant les forces s'exerçant par unité de volume dans les sens r, rd-x, z :
Dr r (i cf. dz r
t r r au c :■ ?•
ft.,. lrnL rt.. t,,.
îî. + — — -+- . " -t- — + S? = o .
Elles se trouvent démontrées d'une manière directe au n° 6 d'un Mémoire sur les divers
ainsi qu'aux conditions définies ou relatives à certains points, savoir : 1° Ceux des deux faces horizontales de la plaque :
2° Ceux de son contour extérieur vertical :
Nous chercherons donc quelles sont les valeurs générales des déplacements U, W capahles d'y satisfaire :
1° Si les forces verticales ou tangentiales t agissant sur le contour, dont
genres d'homogénéité des corps solides [Journal de Liouville, t. X, 18G5), et au t. II, n° 163, du Traite de mécanique generale de M. Résal, 1874.
Celte démonstration directe, réduite au cas qui nous occupe, consiste à considérer un élément de volume dr.rda.dz compris entre deux plans ayant pour ordonnées a et z -\-dz, deux méridiens faisant entre eux le petit angle dx, et deux cylindres de rayons r et r + dr, conaxiques à la plaque.
Cet élément est sollicité sur ses six laces : " 1" Dans la direction r, supposée bissectrice du petit angle d«, savoir :
Sur ses deux faces cylindriques, par deux forces
— rdvxh\rr et (r+dr)dxdzf trr 4. ZT dr ]
Sur ses deux faces perpendiculaires aux z, par deux forces
rdixlrl^, et rdadr ( t . -4- VI dz ) 5
Sur ses deux faces méridiennes par les composantes, suivant r, de deux forces q= drdz taa
qui leur sont normales et qui font avec r des angles ayant ± -} dv. pour cosinus, en sorte
que les deux composantes donnent ensemble
— drdzd« taa .
2° Dans la direction a, perpendiculaire au rayon r, par des forces qui, pour le cas ic considéré, se détruisent ; 3° Dans la direction z :
Sur les deux faces cylindriques, par deux forces
rdxdz t,.. et [r+dr)d*ds (t,.. | £? dr J ;
Sur les deux faces perpendiculaires aux z par
— rdadr t., et rdadr I t.. -j- __!: dr j ;
Sur les deux faces méridiennes par deux forces — drdzta, et drdz ta. qui se détruisent.
On a donc, en égalant à zéro les sommes de composantes de forces de mêmes directions, elfaçint les produits infiniment petits du quatrième ordre et divisant par le volume dr.rda.dz de l'élément, les deux équations d'équilibre ci-dessus (</') des forées agissant respectivement dans le sens r et dans le sens s, eu supposant qu'aucune force analogue à la pesanteur n'agit sur la matière de la plaque.
