XVI AVERTISSEMENT DES TRADUCTEURS

dans les bois, diverses expériences ont fait reconnaître que le coefficient ou module d'élasticité d'extension désigné par E était jusqu'à vingt fois et même cinquante fois plus grand pour les fibres longitudinales, que pour de petits prismes taillés transversalement; et il doit y avoir, pour les fers forgés ou laminés, et même fondus, des différences analogues et sensibles quoique bien moins grandes.

Les formules de Glebsch , pour avoir quelque utilité , avaient donc besoin qu'on les modifiât.

C'est ce que nous avons fait.

Cette généralisation ne les a pas rendues plus compliquées. 11 nous a suffi, pour les formules d'extension, flexion et torsion des tiges, de laisser tout à fait indépendants les uns des autres le module E d'extension longitudinale, le module G de glissement ou de torsion, et la fraction n désignant le rapport de la contraction transversale à la dilatation longitudinale qui l'engendre, sans supposer, avec Clebsch, ces trois quantités liées par la rela- K

(1+9) tement isotropes.

Nous avons donc pu simplement, en ce qui concerne les tiges, ou jus-

qu'au b 58, mettre !2G là où Clebsch mettait j— ■ — , et -^ là où il mettait ' r' 1 -+- f) 2(j

(1-f-npour obtenir la généralisation désirée.

Pour les plaques, qui ont ordinairement aussi une élasticité différente dans le sens de leur épaisseur, et dans les sens parallèles à leurs bases, il a fallu une modification d'une autre sorte. Nous l'avons fondée sur les formules (9), page 76, de la Note du § 16, des six composantes des pressions ou plutôt tensions dans l'intérieur des solides qui sont hétérotropes, mais où il se trouve assez généralement trois plans rectangulaires de symétrie de contexture. 11 nous a fallu, pour modifier en conséquence et facilement les solutions données par Clebsch des problèmes sur les plaques d'épaisseur quelconque (§§ 59 à 46), nous borner au cas ordinaire (formule (h), p. 77, de la même Noie du g 16] où leur élasticité peut être regardée comme la même dans les divers sens parallèles aux bases, mais aussi différente qu'on veut dans le sens de l'épaisseur. Les formules ne diffèrent guère alors de celles de Clebsch qu'en ce qu'il y a lieu d'accentuer E et n, c'est-à-dire au lieu du module E relatif à tous les seus et de la fraction n dont nous venons de parler, de mettre E' = E., = E,„ module d'élasticité des sens perpendiculaires à celui z de l'épaisseur, ou module d'extension de bandes taillées dans la plaque suivant les sens x, //, ou d'autres parallèles à ses bases, avec rf=v)llt i),,,, en y joignant quelquefois i)"=ï)xz=i)IJS (Note du g M», p. NO, 85) rapports respectifs, aux extensions qu'on ferait subir à ces bandes dans le sens x on y de leur longueur, des contractions qu'en même temps elles éprouveraient dans le sens y ou x de l'autre dimension parallèle

AVERTISSEMENT DKS rUADUCTEUttS. \YU

aux laces de la plaque, et dans le sens ^ de son épaisseur; ou bien encore, el ce que nous préférons presque toujours, ainsi que nous l'avons indiqué connue variante aux £ 39, 40, 44, 45, et employé exclusivement dans

/ i'\ Of

notre Note du g 45, en remplaçant E' par 4f( 1 — — ), 9' par 1 — — , et 9"

quand il y a lieu , par , 1 étant le coefficient de tXy == f ga#, at, un module

spécial d'élasticité relatif aux plaques (note du £ 16, p. 85) qui est assez

souvent les — du module E', et d', c deux autres des paramètres des for- \o r

mules (g), (h) de la même Noie du § 16.

Nous avons même pu, pour les plaques minces, modifier ou établir la

plupart des formules (2e partie g 64 à 81 et Note du § 75) pour le cas d'une

élasticité inégale dans les trois sens de symétrie.

Nous n'avons pas besoin de motiver ici les autres modifications de détail apportées à la rédaction de Clebscb et qui, bien que quelques-unes embrassent des pages entières dans une vue d'éclaircissement, auraient certainement été approuvées de cet éminent professeur, comme nous pouvons le juger par des lettres que nous avons eu le bonheur de recevoir de lui, et que nous avons sous les yeux, où il nous exprimait, avec son assentiment à notre œuvre, son contentement de ce que nous avions l'intention de faire connaître son livre en France. Nous avons aussi changé quelques notations pour les mettre en rapport avec celles de notre pays ou de l'Angleterre, ou pour éviter des confusions. Nous avons, par de nombreux renvois, donné diverses explications.

Mais disons quelques mots de nos grandes Notes ou additions.

Dans celles de la fin du g 11 et surtout du § 16, nous avons discuté d'abord, le plus clairement que nous avons pu, un pofcit fortement controversé, la raison ou l'explication de la forme linéaire des expressions les plus générales des six composantes des tensions en fonction des six déformations élémentaires ?, g, mais principalement le nombre de leurs coefficients distincts ou inégaux, nombre qui est de 21 suivant Green, et de 15 seulement (d'où un seul et non deux quand il y a isotropie) d'après la loi que chaque action entre deux points matériels dépend de la seule distance où elle s'exerce (nos 6, 7, 8, 9 de la Note du § 16). Après ces raisonnements et réserves, faisant à l'opinion contraire une concession sans danger rendue transparente par des accents dont la simple suppression suffit pour rentrer dans la nôtre, nous donnons les formules de composantes de tension poulies divers cas de symétrie de contexture et d'isotropie partielle ou totale et diverses conséquences de ces formules quant aux expressions des modules d'élasticité E des prismes taillés dans le corps, ou aux rapports 9, etc.

Will AVERTISSEMENT DES TRADUCTEURS.

Mais pour les corps non cristallins et en même temps non isotropes, il doit y avoir, entre les coefficients des formules des tensions, des relations telles que les rapports de celles-ci aux dilatations ne varient que d'une manière continue et simple, quand on passe d'une direction à une autre. La recherche de pareilles relations, en s'aidant du peu de faits jusqu'ici possédés, et de suppositions naturelles, occupe toute la seconde partie, nos 17 à 25 de la même Note, que nous terminons en proposant, pour ces sortes de corps comprenant tous ceux que nous employons comme matériaux de nos constructions, des formules plausibles et bonnes à employer en attendant que des expériences désirables de mesurage des coefficients, dont la même Note indique le mode, aient donné plus de lumières.

La Note du g 122 [et surtout celle du j< 28 justifient par des faits, et aussi par des raisonnements ainsi que par une analyse de M. Boussinesq basée simplement sur la nature particulière des solides allongés appelés tiges, la supposition (t.rJ- y;/».n/ =0 approximativement) sur laquelle on fonde l'établissement des formules de leurs extensions, flexions et torsions. Celle du g 28 expose les raisons d'employer ces formules avec confiance, même lorsque les forces appliquées aux tiges ne sont pas distribuées ou appliquées aux extrémités de la manière qu'exigent ces formules pour donner des résultats tout à fait exacts.

Celle du £ 31 donne la théorie de la torsion des prismes ,ou cylindres à base quelconque eu égard au gauchissement qu'éprouvent nécessairement les sections non circulaires pour rester normales aux arêtes latérales devenues des hélices; ce qui fait que le moment de torsion est toujours moindre que ce qui résultait d'une théorie supposant que les sections restent planes. On y donne comme exemple le calcul en série transcendante, pour un prisme à base rectangle, des ordonnées de la section devenue courbe, ainsi que la formule du moment de torsion. Celle de Cauchy, de 1829, n'y est conforme que dans le cas où un côté du rectangle est extrêmement petit par rapport à l'autre; cas où le plan de la section devient un paraboloïde hyperbolique, comme quand son contour est une ellipse, etc. On donne finalement une formule du moment de torsion, exacte pour un cylindre elliptique, et qu'on a reconnue, numériquement donner une suffisante approximation pour toutes les autres formes de section pour lesquelles ce moment a été calculé.

Celle du % 57 donne, en la généralisant d'une manière nouvelle, après en avoir discuté le principe, rétablissement des conditions de stabilité de lu cohésion, ou de résistance permanente à la rupture, même éloignée, des se Iules d'une contextnre quelconque; conditions qui reviennent à imposer une limite, censée fournie par l'observation, à la plus grande des dilatations, si le corps est isotrope, et, s'il ne l'est pas, à la dilatation dont le quotient,