N. DU § 45. — PLAQUE CIRCULAIRE. — COUPLES ET EFFORTS TRANCHANTS

la seule résultante Pest donnée, et dont nous pouvons choisir arbitrairement le mode de distribution, toujours inconnu, y suivent, comme on a vu dans le problème du n° 6, la loi parabolique du second degré, la plus simple de celles qui donnent {h'), (t;..).±£ = 0, et (£'), />\ e trs rZs = P, pour r==a; c'est-à-dire la loi représentée par

en (m-«=fO-S);

2° Si en même temps les forces horizontales t}T, dont le seul couple résultant est donné, y ont une distribution telle qu'on ait, en tous les points (comme nous avons vu aussi dans les autres problèmes),

(*') tss=0 ;

cl si, bien entendu, ces deux suppositions sont reconnues, par le résultat du calcul, compatibles entre elles, ou susceptibles d'être satisfaites par les mêmes valeurs de U et W satisfaisant aussi aux équations indéfinies, et définies (</') (h') (ï) du problème; valeurs qui en offriront alors la solution désirée, rigoureusement exacte si les forces appliquées au contour suivent bien le mode de distribution supposé.

9. La supposition (/.') réduit la seconde équation d'équilibre (f/) à

Ç) une fonction de s

d'où il résulte aussi, vu ('/) et (/"), qu'on a partout :

v / /- \dz or ) if r

La même supposition (hf), t,. = 0, si on l'introduit dans la troisième formule de tension (c'j et si l'on remarque que

' ru U 1 £.»-U ^■^^ = ^+r=rTT donne

g\v cp t [yu

* ' dz 7 c r ï r

En faisant comme au n° 5, et déjà au n° 16 de la grande Note du 16,

2 f-f- f -== a, , l'on obtient :

1 r.»U -JI . 1 d.rXS 'M [ L„— a..- -s 2f- , tÄ = a,- — 2f 75- 3

{U) I Qï 9 /UN a,r , ',r-t.« q S /l -.»-UN.

550 CHAI». III. — PLAQUES D'ÉPAISSEUR QNil.CONQrE.

en sorte que si l'on fait pour abréger . . oVa 1

où il est facile de voir que H exprime une longueur linéaire, et si l'on a égard à la valeur (/') de t;.., la première équation d'équilibre (g') prend celte forme

[0 ' dr \ r Pr ] ~ \\r

Intégrant une première fois, puis substituant dans (m') et désignant par

2 -4 Io°* a A, ou plutôt par — yr~> une première constante arbitraire, nous

obtenons , pour déterminer séparément U et W, les deux équations :

•4 v 2 rz

Tirons, de la première, c .r\]=z. r- r log - dr — :^ dr et intégrons; ajou-

4 r r tons à ce que donne -^ log - dr, une constante linéaire F>, dont nous dispo- 11 ' a r

serons ci-après, commode A. 11 faudra toujours, après avoir mis, à la suite,

2 rz

l'intégrale du second terme ^-, ajouter pour la généralité une fonction

arbitraire de i. Appelons % cette fonction de :-, et nommons, de même, di une fonction arbitraire de rà ajouter à l'intégrale du second membre de la deuxième équation (//) ; nous aurons

* / r \ B- rz 1 d' /'■2t- r ;-\

WU=s(2,log,--r)+|-^+-S.; W= --^1og--?|+i9l.

Les deux fonctions % et fil doivent être telles que ces expressions de U et deW satisfassent à l'égalité du second au troisième membre de l'équation (/) donnant trz, ou, eu égard à ce que (n\) H représente, à

< en., il

v ' ; ;. ' dr II e r

En y substituant les (r/'), on a, pour ta condition à remplir par les fonctions 25 et , de la première desquelles nous avons, ce qui était permis, détaché en quelque sorte le terme Br,

(S) II ga 1I + F A+ PF- Il c' /• +II e r r 0* "

Cette condition (*') peut être remplie de plusieurs manières. On pourrait en tirer une. des deux fonctions arbitraires en laissant subsister l'autre 5

H. DU § 45. — l'LAQCE CIRCUI.AIKK. — COUPLES ET KITOKTS TÜANf.IIANTS. ."51

mais, d'après la nature du problème, des conslantes y suffiront. Tirons donc

-r— - et -s— de l'annulation supposée de chacun des deux membres de (s'),

dont le premier ne contient que r, et le second que ; quand on le débarrasse du diviseur r;puis déduisons-en, par intégration .-il, et £, en appelant — C une nouvelle constante à ajoute* à ce qu'on obtiendra pour $, et substituons dans les expressions (q!) ; elles ne contiendront plus que des constantes, et nous aurons ces valeurs générales des déplacements :

( U= ; .-r '2r; log >■: -\ — H a-; — =

) „. 1 /r* d':2\ 1 ( , /". 2dfts\ , r ) n\r

C'est à dessein que nous n'avons pas, en intégrant, ajouté une constante à la

valeur de 3j> comme à celle de $, car, en l'appelant (/, elle aurait apporté à la

valeur (t') de U, un terme — , d'où, à celle de trr comme on va voir, un

terme — 2f— qui aurait empêché la première condition i i')J fj , ln.ik^l=il~0,

d'être satisfaite et qui, pour d'autres raisons encore, ne saurait subsister lorsque la plaque n'est que fléchie ou n'éprouve pas d'effur[< extenseurs de son feuillet moyen.

10. On en déduit, en mettant dans l'expression \n'\ de la composante normale de tension t;r la valeur [t') de U, celle-ci :

Cette force est nulle, ainsi qu'on voit, aux points : =0 du feuillet moven; et elle se distribue symétriquement de part et d'autre, suivant une loi parabolique du troisième degré, comme Clebsch le remarquait déjà pour l'intérieur des tiges, au § 2(3.

Multiplions par zdz et intégrons de — i à e afin d'avoir le moment ou couple fléchissant Mä auquel nous avons à imposer des conditions en certains points, tels que ceux des bords de la plaque. Dans cette intégration,

chaque facteur ^ produira ^-, et chaque facteur — produira ^, en sorte

que le binôme entre crochets produira -r-s- v" ( — h 4 — ). Si donc nous fai-

sons,

pour abréger,

(juantité numérique du second ordre de petitesse, et généralement négli'

552 CHAP. III. — PLAQUES D'ÉPAISSEUR QUELCOiNQUE.

geable si le rapport ^- de l'épaisseur au diamètre de la plaque est petit du premier ordre, nous avons

M,,=£,„,„=^j-»i=f+^[2(a,-r,1o^ + f-alfg-f^

11. On vérifie facilement crue les expressions (t) de ü et W donnent une valeur de t „ conforme à l'expression posée (/'), ainsi que des valeurs (n) de t ,t — t qui, avec celles-ci, satisfont identiquement aux équations différentielles indéfinies (g'), ainsi qu'aux quatre condilions définies [h'), (*'); enfin, qu'elles donnent bien t.. = 0, en sorte que cette supposition (£'), et celle (/'), faites en commençant, sont parfaitement compatibles et remplies par les mêmes expressions dcU, W, satisfaisant ainsi à toutes les conditions de la question.

Ces expressions [t') de U, W, peuvent, en conséquence, servir à résoudre les divers problèmes qu'on peut se poser sur la flexion des plaques ou parlies de plaques circulaires sollicitées symétriquement autour de leur axe de figure sur les deux cylindres contournants, en déterminant les trois constantes A, B,C dans chaque cas, au moyen des équations («')> &) qu'on en a déduites, ainsi que des valeurs spéciales qui peuvent être données, dans des cas variés, pour les deux expressions suivantes, tirées de la seconde [t'),en faisant 5 = 0 pour l'appliquer aux points du feuillet moyen :

M W„=£+.|(l-log0-C-Bl„g'a

M T^A + ïil'-'^J-r

Par exemple

1° Si la plaque sollicitée sur l'unité de son contour r = a> à la fois par l'effort tranchant P et par un couple fléchissant donné Mfl , se trouve fixée au milieu par un boulon cylindrique de rayon r„ qui encastre sa partie inférieure, en obligeant ses éléments contigus à rester horizontaux, on aura les conditions

Ll- Si cette même plaque boulonnée ne supporte à son pourtour que l'effort P, sans couple de flexion, les conditions seront

(M,),=o, (wo)r=r=o, (!^)r=;o=o.

3° Si, toujours èvidée et sollicitée au pourtourpar le couple Mfl , elle n'est que posée sur le cercle rigide el immobile du rayon r0, en sorte que les

plans des éléments n'y soient astreints à aucune direction particulière, on devra avoir

(Ms)r=a=Ma , (Wo),.=,n = 0 , (M,)r=r=0 .

d W Ces équations de condition, en y mettant pour Ms , \V0 , — — ° , les expressions (x')f {y'), {%') spécifiées pour r= a, ou r =»•„ , serviront à détermi-

ner facilement les trois constantes -, B, et C , dont les valeurs, substituées

dans les (?) ou seulement dans {y') W0 , donneront, pour ces divers cas, les déplacements U , W, et spécialement la valeur de W0 qui fournit, en r, l'expression de l'ordonnée W0 de la coupe méridienne de la plaque, ou l'équation de cette coupe.

12. Il est avantageux d'éliminer d'abord la constante j en la remplaçant

par l'introduction, dans les formules, du couple Mft , donné ou nul, c'est-àdire du moment des forces horizontales agissant sur le cylindre contournant r= a.

On aura pour cela, en faisant r = a dans (x') ,

. ,. .. 4e3 a,-f 4s* f~a,f fa' B

\*l) lvl«-~5" A +T H "T1^'

Si P= 0 , d'où y = 0 , ou si la flexion est l'effet du couple Mfl , sans effort

tranchant, cette expression, avec B = 0, fait retrouver, comme cola devait

être, et sauf A écrit au lieu de R, celle (s), n° 4, du moment fléchissant

d'une plaque de forme quelconque, qui ploie son feuillet moyeu en portion

de sphère d'un rayon que nous avons appelé R; et la même supposition,

= 0, avec annulation de la constante C comme de celle B, réduit les ex-

pressions [t') de U et de W à leurs premiers termes qui sont les expressions (m) du n° 5, p. 541.

Faisons donc, ce qui simplifiera les formules,

M «.= -ix» uu R=-4üa7^r

l'équation de condition (z\) relative au moment de flexion sur le contour,

divisée par — ? (ax — f) e% donne pour la constante A :

11 , lf-a^ ^B

{ ' A R^H a, — f a,— la*

En la substituant dans les (V). on a ces solutions que M. Boussinesq a cher-

354 CHAP. III. — PLAQUES d'ÉPAISSEUR QUELCONQUE.

chées et trouvées à ma prière

] I/O8 d' \ Il , /r3 d' A/f— a.f' OI r\\ D1 r f B/i* d1 A

f 4 5Pa 1 3 M„ ,H /d' , ,aA l*

lou ÏÏ = 8a^' R = F'ïï-^t-' r~5^ U + 4ëJ^*

Et, en susbslituant le même (a") dans (x'), on a pour le moment fléchissant, aux points de la plaque à une distance quelconque r de son centre,

(OMs=£v^ = ^{-Vf^[^a.-n.0^-a,f(|-l)]-.B(i-i)j;

qui, spécifiée pour r — a , se réduit bien à (z\) Ma .

13. Les formules (b"), quand on y fait les constantes C = 0, B = 0, offrent déjà la solution d'un cas extrême et important du problème de la plaque sollicitée sur son contour par un effort tranchant P et un couple Mft. On voit en effet qu'alors

Ces deux expressions s'annulent pour r = 0, (car on sait qu'en général x logx est = 0 pour x = 0). On ne peut sans doute pas supposer que la plaque s'appuie sur un seul point central, ou sur un cercle de rayon infiniment petit; car il résulte de l'expression (k\) ou (/') de t , ou de celle

Va ir3 dz = — qui en est tirée, ou encore simplement de la condition de l'équilibre de translation de toute porlion de plaque limitée par deux coupes cylindriques de même axe qu'elle, que sur ce cercle infiniment petit la plaque aurait à supporter un effort tranchant infini. Mais ces formules (b"), avec C = 0, B = 0, sont parfaitement applicables, lorsque seulement ee cercle d'appui est de rayon très petit, car, vu la grandeur toujours considé-

ràble de B par rapport à toute valeur de r, W0 et -r— peuvent être regardés comme du second ordre de petitesse quand r0 est du premier ordre. Nous en tirerons aux nos 15 et 10 des conséquences importantes.

14. Mais nous allons d'abord développer la solution pour un cas non moins intéressant. C'est celui où la plaque, sans être percée ou évidée, s'appuierait sur un disque rigide et immobile de rayon r,„ en n'en touchant que le bord, de manière à ne pas être empêchée de iléchir jusqu'à son milieu propre.