I*. § 45. PLAQUE CIRCULAIRE APPUYÉE SUR UN CERCLE RIGIDE

Il y a lieu alors de distinguer dans la plaque deux légions qui auront des modes de déformation différents; à savoir la région centrale où les rayons vecteurs rsont compris entre zéro elr0, et la région e.rférieure ou annulaire dans laquelle ils varient de r == ru à r = a. Comme, dans la première, où

l'on a évidemment •— = 0 pour r = 0, il ne s'exerce, au centre r = 0,

aucun effort tranchant dans le sens vertical ou des s, l'équilibre de translation, dans le même sens z, de toute portiun de plaque limitée par un ou par deux cylindres du môme axe qu'elle, exige qu'il ne s'exerce un pareil effort nulle autre part. La flexion de la plaque, dans cette région centrale, sera donc produite par des couples seulement ; et l'on aura pour ses points, en

appelant p- une constante à déterminer plus tard, des U et \V de la forme du

premier terme de chacune des expressions (f), en ajoutant, pour la seconde, une constante telle qu'est — C, à déterminer de manière que W„ ou (W) s'annule sur la circonférence du cercle d'appui, c'est-à-dire pour r = r0. Il en résulte, pour la région centrale, ces expressions qui sont semblables au reste, à celles que nous avons trouvées au n° 4 :

!=-£; vèv^+c*)

3 Ro ' ; d'où, sur le cercle de jonction des deux régions ou parties de la plaque :

Dans la région extérieure ou annulaire, dont la flexion est régie par les expressions (b") de U, W et celle (c") de Ms qui s'en tire, on devra avoir, pour r = r0 , afin qu'elle se raccorde aveu la partie centrale, les trois mêmes

valeurs (/") de W0 , -j^1 , et aussi de Ms , car le moment fléchissant ne doit

pas plus varier brusquement de grandeur en cet endroit qu'en tout autre.

On aura en conséquence, pour déterminer les constantes B, C, ainsi que le

rayon inconnu R0 de la courbure de la partie centrale, ces trois équations

relatives aux points de jonction r=r0, et dont la dernière a été débarrassée

4 e5 du facteur -=- commun à tous ses termes : ù

2R^II| 2\a, — f a/J a a, — f 2oâ

556 chap. m. — plaques d'épaisseur quelconque.

Si l'on ajoute la seconde et la troisième, divisées respectivement par r0

ctpara.-i, il ne reste que 0 = fi— f(l ^fg) ~ JS^J + jjj£g ■ d'où

(gf") 13 — g—'

qui, substitué dans les deux premières, permet d'en tirer les deux autres

constantes 5- et G. Celle-ci est

En substituant dans les [b") et en y joignant les (e"), on a pour la solution complète delà plaque sollicitée sur l'unité de longueur de son contour r=a

par l'effort tranchant P ainsi que par le moment Ma = â" "Ljj-" » et

ayant son cercle intermédiaire, de rayon r0 , appuyé sur un disque immobile [en ayant égard, pour composer la partie logarithmique de W0, à ce que

V 7* r\ TT ' Tf

— r2 log - + 2 r\ log - — 4 log = — (r2 — >i) log - -H 2 r* log -] :

Région centrale r < r0 :

rz 1 /r- — r] d'

Région annulaire r > r0 :

R Sa,*'! V a ai~ * a, — I«- / r reo re\ «>/'

On ne doit pas s'étonner de ce que ces expressions (j") relatives à la partie annulaire, auraient, si on y faisait r = ru , des termes de plus que celles qui sont fournies par les (b") en faisant 11 = 0 , C-— 0, et qu'on a dit, au n° il, être applicables au cas extrême où la [»laque est percée d'un trou très petit ; de ce que, même, cette supposition /„ — 0 rend infini le dernier terme de l'accolade de W0. La question d'une plaque unique, censée évidée à son milieu, est toute différente de celle d'une plaque composée en quelque