PLAQUE CIRCULAIRE API'UVÉE AT MILIIT OU AU BORD. ")f

sorte de deux plaques qui se raccordent, et dont l'une, celle du milieu, est entière comme l'autre. Au reste, comme tous les termes de plus, dans (/') que dans (b") particularisé, et qui proviennent des constantes, sont affectés de-/2, l'accord s'opère entre ces deux formules quand l'épaisseur de la plaque est fort petite, ou lorsqu'on peut négliger f qui est un nombre multiplié par le carré du rapport -.

Nous tirerons au n° 17 des conséquences importantes de l'expression \j "') de W0 qui donne l'équation, en W0et r, de la coupe méridienne de la surface de révolution affectée par le feuillet moyen de la plaque après sa flexion.

lu. Mais reprenons, auparavant, la première expression (d"), relative au cas extrême de la plaque prenant son appui sur son centre, ou plutôt, comme on l'a dit, sur un cercle fixe de rayon très petit, et qui donne les déplacements verticaux W0 des points du feuillet moyen, la plaque étant sollicitée sur son cylindre contournant r = a par des forces qui produisent à la fois, pour l'unité de longueur, un effort tranchant P et un couple de flexion M :

w - '* . '"* /'2a, — f— alT* j r\

{ "~ 2ÏÏ T H l "2a 7^T2f l0gâ) '

l OU n = Q ' n = — 7^ e '

Il 8a,£° R 4e° a, — i

Si l'on appelle

f la plus grande valeur de l'ordonnée W0,

Q= 2-aP (n° 8) la somme des efforts tranchants s'exerçant sur le contour de la plaque,

u>0 l'excès de /"sur W„, ou l'ordonnée de la coupe méridienne du feuillet moyen fléchi quand on la compte de haut en bas, en prenant son origine dans le plan du cercle moyen du cylindre contournant la plaque; on a

W) f—,\\ i — a~ ! *Q(l~ foi — f— a*f

Ces expressions, qui ont été établies dans la supposition que le centre de la plaque est fixe, et que son bord r=a est déplacé verticalement sous 'action de P et de Ma, s'appliquent évidemment aussi lorsque le bord est porté par un cadre fixe de manière que son cercle médian (r = a, 2 = 0) reste immobile, et que le reste se déprime sous l'action, au milieu, d'un poids Q de forme cylindrique d'un petit diamètre auquel les bords opposent,

par unité de longueur, les efforts V=~ qui sont alors des réactions du

cadre.

Les iffo sont, ainsi, les déplacements de haut en bas des points à la dis-

358 CHAP. III. PLAQUES d'ÉPAISSEUR QUELCONQUE.

tance horizontale r du centre: f est la dépression centrale ou flèche de flexion ; et l'équation (m") donne, en w0 et r, la coupe méridienne du feuillet moyen fléchi en prenant l'origine de ses ordonnées w0 dans le plan du cercle moyen du cylindre contournant.

Il y a deux cas à distinguer : 1° Si la plaque, aux points de son contour médian, est simplement posée sur le cadre fixe, on a, comme il a déjà été dit:

In") M„ = 0 ou £=0 ,

ce qui donne, pour la flèche fet pour l'équation en w0 et r de la coupe méridienne :

[ > ' lôsa^^a, — 2f V 2a, — î) '

, . «r>Qa- [~2a, — f — 3,7- /. r-\ , r- , r-~]

(*•> *f=,fi£oï L a,-f x y - y + ïi lo° ^J •

2° Si la plaque est encastrée sur son hord r — a, en sorte que la tangente aux coupes méridiennes y reste horizontale, on a

- « mz^ s

# W0 d'où, d'après l'expression (d") de —^

5Pa

8aier>

Substituant dans l'expression (m") de w», 72 disparaît et on a simplement

d'où pour la flèche et pour l'équation de la coupe méridienne

' 52na,e0 \ a- ar a-J

16. Calculons ces expressions en supposant [la matière isotrope. Servonsnous des formules (i) de la fin du n° 15 de la note du $ 10 où les dilalatations et glissements sont affectés des deux coefficients ou paramètres d'élasticité e, e', les mêmes que ceux f*, 1 de Lamé, en écrivant au lieu de e ou y-, G puisqu'il n'est autre que le coefficient d'élasticité de glissement ou de torsion du g 3; et, à l'instar de M. Kirchhof!', en écrivant iG au lieu de e' ou X ce qui vont rnièûx que de l'appeler L2kG ou 2iG, comme nous l'indiquions à ce n" 13 d'après l'illustre correspondant de l'Académie, Ces formu-

N. § 45. — FORMULES SIMPLES û'iSOTROPIE. — FLÈCHES DE COURBURE. 559

les sont ainsi :

( i,,=gp,+i^+?,+?;)]' £=%

ce qui nous paraît offrir la manière la plus simple et la plus commode de représenter les six composantes de tensions dans les corps isotropes, car i est un simple nombre que nous y maintenons par égard pour une opinion controversée ; mais, formules où il suffi i de aire

pour les mettre en rapport (même not1 du § 16) avec ce que l'expérience ainsi que le raisonnement apprennent sur les corps isotropes réellement solides, et avec la loi la plus simple et a plus probable des actions entre leurs molécules.

Alors (n° 16 bis de la même note) on a

f=G, P=d'=iG, a=c=(2 + t)G, ai=2f+P— Ç=^-^G

. 2 + 5tp 2a, — f 6+7t a, 4 + 4i

(x) { ai— f=-ô-7TG '

2a, — 2f 4 + 6i 2a! — f C + 7t . 2 f /d' 4a.\ s2 16 + 17i e* atf 52 + 54c e2

5ax\c ' e J a2 10+lOia2' 2a, — f 30 + 35i a2

Donc, toujours dans le cas d'isotropie, on a pour la flèche 1° Plaque posée au contour :

6+7 i 2 + t 3Q«2 / 52 + 5 / h. i ß. * Ai T. ' ii:»r..r, l *

Ci 4 + 4-. lti-Gsr,\ 50 + 35 ou , avec t = l,

[J ' \ i 1280-Gr- V/ 65 a*-J î coupe méridiei

sf,L\ Od «-/ \ a-/ loa2 aj

Équation de la coupe méridienne :

117Qa2

u— 1280-.G 2° Plaque encastrée

1 2+i 5Qa2 . ei 19 Qa2

( ^-G4 + 4t52^; OUaveCt = 1^-G256^-

\ Équation de la coupe méridienne : w0 = ^ tct-t —A 1 % ( l — 2 loa - 1 I

4 F, G2oÜTCE2L a2\ «/J

17. Les formules (i"), (j") relatives à la plaque entière ou non éridée, prenant son appui sur la circonférence rigide et immobile d'un cercle de rayon fini r0, moindre que le sien, fournissent des résultats non moins intéressants et remarquables. Elles donnent en faisant

l \y' pour la région centrale, où r < ru ,

( ^\" pour la région annulaire, oùr>r0 ,

0 2Rfl r

L'ordonnée W'0 de la partie centrale r<>„ du feuillet moyen fléchi est, comme on voit, négative, ce qui vient de ce qu'on a pris l'origine des W„ sur le plan censé fixe r = r0. En changeant de signe son expression {b'"), on en a la grandeur absolue. Si donc nous appelons, comme nous avons déjà fait au n° 15,

la hauteur, après la flexion, du plan du cercle r = a au-dessus du plan de celui d'un rayon quelconque r, ou l'ordonnée de ce second plan par rapport au premier r = a, en y plaçant désormais l'origine, ce qui donne d'abord, pour le plan r = r0,

l'on aura respectivement, pour les points de la région centrale et de la région annulaire, les ordonnées

log

l("Jr>rr(^.^-T 2R "

Ces expressions qui, pour r= /•„ ou sur le cercle de jonction, se confondent en effet l'une et l'autre avec celle (c"'), donnent les équations en w„ et r des deux parties so l'accordant sur ce cercle r = r0, de la coupe méridienne de la surface en laquelle s'est changé le plan du feuillet moyen,