N. § 45. PLAQIE CIRCULAIRE SOLLICITÉE HE DIVERSES MA.MÈRES
sous l'action des efforts tranchants Pet des moments fléchissants M exercés
sur le cylindre du contour.
18. Or, ainsi qu'on l'a déjà remarqué au n° 15, à ces efforts P supposés exercés de haut en has par unité de longueur sur le cylindre contournant de rayon a et qui font ainsi une charge totale
la couronne fixe de rayon r„ oppose, de bas en haut, une réaction égale aussi
Po à 2tzüV, ce qui fait — par unité de sa longueur 27rr0. Le résultat, quant à
la flexion opérée, sera évidemment le même si les forces P appliquées au pourtour ne sont que des reactions exercées de has en haut par un cadre circulaire fixe de rayon a, sur lequel la plaque aura été posée ou encastrée, et si le cercle 2ivru, supposé maintenant mohile avec le reste de celleci, supporte par unité de longueur une charge P - agissant sur elle de
haut en bas, comme il arrivera si on fait porter à la plaque un poids rigide 27mP en forme de cylindre de rayon i\.
Nous nous trouvons donc avoir donné la solution du problème des dépressions des points d'une plaque ainsi fixée au pourtour sur le cadre, et sollicitée, entre son bord et son centre, à une distance quelconque r0 de celui-ci, par un poids également réparti aux divers points de la circonférence de son cercle de rayon r0.
Si la plaque est simplement posée sur le cadre, on a M =0, d'où
U A (w0) =a l'expression (d'") avec ïï = 0ou sans son premier terme ;
(e'I) (w0) = (e'") idem idem
Si elle y est encastrée, il faut attribuer à - une valeur telle que la
deuxième, (e'"), ait sa dérivée -y-0 égale à zéro, ce qui donne ce qu'on tirerait
dr
aussi de (//") en faisant » = 0 pour r = a, à savoir : dr
1 la, a' — r0
R— H h,— f a- Substituant dans (d'"), (e'"), l'on a pour ce cas de plaque encastrée
m K)r>^is,»i-i,ii+^-f)+("a+^-vios,lûg-'
De celles de ces formules ou équations qui sont relatives à la partie inté-
1 5Pa 0
rieure r < r0, on tire, en y faisant r = 0, eu égard à ^ = tt. — ,» Pa = s- »
° zH iba^' 27T
pour les flèches centrales de courbure que nous appellerons f, f,
(,Q plaque posée f=^L l^ili^M +>(£ ^.W Èl<i
(r/",') plaque encastrée f - -p^L \ 1 î| + f'I» - TA log î| ! .
Ces deux expressions de f et f, en y faisant r0 = 0, redonneraient celles (o"), (t") du cas extrême où r0 est très petit, sans la présence du terme — y1 qui multiplié par le logarithme, donnerait l'infini. Cette non-concordance vient encore ici de ce que dans le cas que nous venons d'examiner il est question, non d'une plaque, mais de deux plaques qui se joignent en se
raccordant; elle disparaît quand f (qui d'après les dernières (#") se réduit
11 ôïï ~1 ) lDei^ ^*re en°ac^ devant — 2 , ou quand la demi-épaisseur de la
plaque est très petite devant tout rayon r0 d'une circonférence portant une charge sensible.
19. Nous pourrions, avec plus de calculs, mais avec la môme facilité, déterminer les circonstances de la flexion d'une plaque circulaire, toujours supposée (pour fixer les idées) soutenue par le cadre fixe de rayon «, mais qui serait chargée d'un nombre quelconque de poids :
q, q', q", q'".... sur des circonférences de rayons r0, rQ, r'0, r'^....
dans l'étendue desquelles chacun de ces poids serait uniformément distribué. En effet, si l'on considère d'abord la portion annulaire comprise entre deux coupes verticales cylindriques quelconques r = r'Q, r = r'^ l'expression (e'") de w0, conséquence de celle (g") de W0, du n° 14, est applicable à la détermination des déplacements verticaux que les points du feuillet moyen, aux diverses distances intermédiaires r, auront éprouvés par sa flexion au-dessous du plan où se trouvera finalement le cercle médian r = r" de la seconde des deux coupes; car il suffira, pour l'y rendre propre, de mettre : 1" t" à la place de a, et r à la place de r0 dans ses divers termes ;
2° à la place de jt, dans le premier terme, la valeur tirée, d'après (/") ou
Ae3 a f
(/;"), de — ~ —, — = M » en désignant ainsi le couple de flexion s'exerçant
sur l'unité de longueur de la coupe cylindrique r== r"j
3° dans le coefficient de l'accolade, écrit sous la forme 5- t? — r~s » de mettre, à la place de n, la réaction tranchante totale exercée de bas en baut
