N. § 45. — FLÈCHE CENTRALE QUEL QUE SOIT LE MODE DE SOLLICITATION. 5G

par la partie de plaque au delà de la portion annulaire ainsi considérée. Cette réaction (qui est zéro sur le cercle de rayon r0 limitant la partie centrale ou non-annulaire ne supportant aucune charge), sera respectivement

pour l'étendue totale des circonférences de rayons

Et les déplacements totaux absolu* w0 de haut en bas, dans chaque région ou zone, s'obtiendront par cumulation des déplacements relatifs qui y auront eu lieu, en astreignant, bien entendu, les zones consécutives aux conditions de

leur raccordement qui sont les équations de valeurs de w0, de -y-0 et de M

égales dans l'une et dans l'autre zone.

On pourrait même supposer les charges q', q"-..., en nombre infini, en les regardant comme des portions d()=p.27:r()dr0 de sa charge totale

0 = 2w / prdr où p, fonction donnée du ravon vecteur r ou r0, représente

la charge de l'unité superficielle en tous les points à une même distance du centre. La substitution de p.%irr0dr0 à Q dans les formules ci-dessus donnera, au lieu de w0, la valeur de l'élément -j-^dr0 de la dépression totale ,

et par suite, si l'on intègre entre les limites 0 et a de r0, en regardant comme constant r qui entre dans ces formules, on aura la dépression w0 à une distance déterminée quelconque r du centre, et par suite l'équation de la coupe méridienne de la plaque fléchie, ou ce que fournirait, d'une manière moins rigoureuse, l'équation différentielle connue du quatrième ordre de Lagrange (g 75 à 78) simplement approximative comme étant fondée sur des suppressions, et supposant essentiellement que y2, dont cette méthode du § 75 ne tient pas compte, peut être négligé, ou que s2 s'efface devant les plus petites comme les plus grandes valeurs de r2.

20. Mais, lorsqu'on se propose d'avoir seulement la flèche centrale, sans chercher la forme que prend la plaque en ses divers points, une remarque bien simple montre que les expressions (e'"), (e"\), en a et r0, suffisent au calcul de cette flèche pour toutes les distributions possibles, même non symétriques, même discontinues et irrégulières, des charges que supporte la plaque soutenue en haut.

En effet : 1° h'après la complète symétrie de la structure d'une pareille plaque autour de son centre ou de son axe, si on la charge d'un poids isolé 0, à un endroit distant de r0 du centre, la flèche centrale de flexion qu'elle prendra sera évidemment la même que si on avait placé ce poids Q en un tout autre endroit de la plaque, pourvu qu'il fût à. cette même distance r0 de son centre.

2° D'après le principe de composition ou superposition pure et simple

504 chap. m. — plaques d'épaisseur quelconoii:.

(noie du \ 11) des petits déplacements des points des corps élastiques sous l'action simultanée de diverses forces, censées avoir agi d'abord séparément, la flèche au centre sera encore la même si au lieu du poids unique Q, l'on

charge la plaque de deux poids -jQ, ou de trois poids =Q, etc., placés en

des endroits différents, mais tous à la même distance r0 du centre. La flèche sera donc, en vertu de ce principe (conséquence de la linéarité des équations différentielles des petits déplacements dans les corps élastiques), précisément celle (VQ ou (fQ que notre calcul a fournie pour un poids Q disséminé d'une manière égale sur les divers points d'une circonférence dont le rayon est r0.

Nous avons ainsi, en établissant les deux formules (cï'^j et (d'I), résolu le problème de la détermination de la flècbe centrale de courbure produite par un poids unique Q posé n'importe où sur la plaque, ou distribué absolument comme on veut sur une circonférence qui lui est concentrique (*).

Et il y a plus. Que la même plaque soit chargée d'un nombre quelconque de poids Q, Q', Q"...., distribués aussi irrégulièrement qu'on veut et à des distances respectives r0, r'0, r"0.... du centre; on n'aura qu'à construire pour chacun d'eux, selon qu'il y aura simple appui ou encastrement tout autour, des formules comme celles (d"l) ou (cQ, et à les additionner, pour avoir la flèche centrale, quelles que puissent être, du reste, les dépressions ou ordonnées w0 aux autres endroits que le centre r = 0 (**).

(') Aussi, Clebsch, le premier auteur qui ait calculé la forme prise par une plaque sous l'action d'une charge non centrale, a trouvé, comme on verra vers la fin du £ 76, pour la dépression ç d'un point quelconque moins éloigné du centre que le point où la charge est posée, une expression qui lorsqu'on y l'ait r = 0, se réduit à un premier terme, indépendant de l'angle 60 qui détermine la situation azimutale de cette charge.

M. Lévy, en 1877, a tiré la même chose de la solution analytique qu'il a présentée du même problème, en se servant, comme Clebsch, de l'équation du quatrième ordre de Lagrange, transformée comme a fait Poisson par l'emploi de coordonnées semi-polaires; et il en a énoncé la conclusion en exprimant « que la flèche au centre d'une plaque circulaire ne change pas si l'on vient à changer arbitrairement les charges qu'elle supporte, pourvu que l'on conserve la résultante de toutes celles qui agissent à égale distance de son centre ».

(**) Une curieuse remarque a été suggérée à M. Boussinesq, qui nous l'a communiquée, par la forme des expressions (rf\ ) , (e'J ) de la flèche centrale que produit une charge Q appliquée à une distance r0 du centre de la plaque. Ces expressions, lorsqu'on efface y-, ce

qui revient à négliger —, devant -% , sont composées de la même manière en r0 que le sont ■ a- a-

en r les expressions (/>"), (u") des déplacements verticaux éprouvés par des points éloignés de r du centre pour cette même charge placée au centre. Ainsi, une cKdfg'e donnée, appliquée au centre d'une plaque circulaire mince qui est appuyée ou encastrée sur tout son contour, produit, en tous les points situés à une distance quelconque r0 de son rentre, un déplacement vertical égala celui que In mime charge produirait au centre, si elle était appliquée en des points qui en fussent distants de rcito même quantité /■„.

L'aspect comparatif, soit des (^"), (''") soit des (<■/'.,'), ('''!) lui a fait apercevoir une loi analogue de réciprocité pour les dépressions produites, non plus seulement au centre, mais à une distance quelconque r du centre, par l'effet d'une charge agissant à une distance