SOTE DU § 45. PLAQUES CIRCULAIRES. RÉSUMÉ

en les déduisant de l'intégration de la célèbre équation de Lagrange, aux différences partielles du quatrième ordre, de l'équilibre des plaques élastiques, qui sera démontrée ci-après au chapitre Y et surtout au g 73, ainsi qu'à la grande Note que nous y avons jointe. Cette équation classique est établie par Poisson au moyen d'hypothèses plus que contestables que nous discuterons au n° lJ5 de cette Note.

Dans la môme note du % 7'3J, nous donnerons à cette équation du quatrième ordre, d'autres bases, en rapport avec la constitution en quelque sorte géométrique des plaques minces, mais ne lui étant pas le caractère de simple approximation qu'elle présente généralement.

On pourra voir aux nuS 50, 51, 7d. 33 de cette note du $ 75, sous une forme simple, rétablissement des équations et formules y relatives, et l'on trouvera aussi à la fin du texte même du § 70 une expression tirée par Clebsch de l'équation de Lagrange, toute semblable à celle ci-dessus (?/") de la fin de notre n° 15, pour le déplacement vertical t, (ou w0) de tout point. à une distance r du centre d'une plaque encastrée, et produit par un poids unique appliqué à ce centre; expression qui, comme on a vu, ne contient point la

constante y"- ou le rapport

23. Nous avons démontré, dans la présente Note, comme on a vu, nos formules d'une manière rigoureuse, ou sans annulations de termes.

Leur parfaite rigueur est subordonnée, il est vrai, comme est celle de toutes les formules ci-dessus d'extension, flexion, torsion des tiges (Note du % 28) à ce que les forces ou les réactions d'appuis et d'encastrements agissent exclusivement sur une certaine surface qui est, pour les plaques, leur cylindre contournant, en s'y distribuant des manières qui sont exprimées en z par les formules du deuxième et du troisième degré (/) n° 9 et (u') n° 10 donnant t et t,T, et spécifiées pour r=a. Mais, ainsi que nous avons eu bien des fois occasion de le dire, elles donnent des résultats très suffisamment approchés quel que soit le mode d'application et de distribution si la plaque est peu épaisse; et, en tous cas, notre analyse actuelle,

outre qu'elle tient compte de termes ( ceux en f ou ^-A dont il n'est nulle

question dans l'analyse connue, a l'avantage de ne donner (pie des résultats où tout a été mis en compte dès le commencement ou sans suppressions faites de prime abord, et dont on n'aperçoit pas a priori la portée et le degré d'influence sur les résultats lorsqu'on en opère de ce genre (*).

(*) Nous ne pouvons point passer sous silence, à ce sujet, un Mémoire sur la reparution des efforts dans les cylindres et les sp/tères pressés normalement, cl dans les plaques circulaires symétriquement chargées, par M. Brune, aucun élève de l'École polytechnique, professeur à l'École des Beaux-Arts; mémoire qui a été inséré en septembre 187G aux Annales des I'onts et Chaussées, p. 227 à 252.

Cet auteur se sert, dans ses calculs, de la théorie de la résistance des tiges à l'extension et à la flexion, telle qu'on l'enseigne dans le» écoles, et nullement de la théorie générale et

568 CHAP. m. — plaques d'épaisseur quelconque.

46. — Flexion produite par des couples de manière que la périphérie de la surface médiane vienne, par de petits déplacements perpendiculaires à son plan, se placer sur une surface donnée.

Dans le cas le plus général, où s'introduit la fonction f du g 59, les conditions qui doivent être satisfaites pour le bord de la plaque sont, d'après les équations (155) de la fin de ce §, p. 504,

mathématique de l'élasticité, si ce n'est qu'il lui emprunte le théorème des contractions latérales qui accompagnent toute extension longitudinale de tige ou d'anneau. Il établit d'abord deux équations pour l'équilibre d'éléments de plaque circulaire, limités par deux plans méridiens faisant entre eux un angle infinitésimal dot, et par deux cylindres conaxiques à la plaque, ayant pour rayons r et r-\-dr. La première de ces deux équations est destinée à exprimer l'équilibre de translation dans le sens r, de l'élément auquel il suppose une épaisseur, dans le sens z, égale à l'unité; ce qui revient à lui attribuer une épaisseur dz par la-

(IV quelle on divise finalement tous les termes; il écrit cette équation (p. 228), T= F-f- r— »

ce qui, avec nos notations, serait :

lk"'\ t = t A-r ° •

Elle peut bien être applicable aux cylindres creux indéfinis ; mais, pour les plaques, cette équation est incomplète, car elle revient à notre première équation (/"'), sans son second

terme ^- Cette omission vient de ce que l'auteur n'a pas tenu compte de la différence

dr des tensions langent ielles, de sens r, sur les faces supérieure et inférieure, rdadr, quoique l'alinéa du bas de sa page 240 semblerait prouver qu'il a aperçu leur inégalité. La seconde équation, qu'il écrit, page 238,

d'n „ (/'") m'— m -f r — — rT .

où T représente maintenant l'effort tranchant, est exacte : elle suppose que l'élément a toute l'épaisseur 2s de la plaque, et elle revient à

f-^^fL^r^-r^fL^n^-rfi^r.^-

Elle est analogue à celles qui, dans les tiges, ainsi que dans les plaques où l'on considère des éléments compris entre quatre plans parallèles à des coordonnées rectangles ,r, y (voyez n° 12 de la note ci-après de la fin du g 75) établissent des relations entre les efforts tranchants et les dérivées des moments ou couples fléchissants par rapport à ces coordonnées. Elle exprime en effet, l'équilibre de rotation de l'élément à faces courbes, dont on vient de parler, autour d'une ligne tracée sur le feuillet moyen de la plaque, perpendiculairement nu bout du rayon r bissecteur du petit angle de/.. On voit facilement, en effet, que si — mrdv. représente le moment des forces normales trr qui agissent sur la petite face cylindrique de rayon r et de largeur horizontale rdx, un moment I mr -f- < ••' ' ■ dr j d%, de sens

contraire, agira sur la face cylindrique opposée, de rayon r + dr. D'une autre part, sur les deux faces méridiennes de largeur dr. les forces normales iaa produisent des moments ou

couples m! dr dir j l taa zdz qui, portés comme des longueurs sur leurs axes de rotalion dr (à la manière de l'oiusol cl . Caucliy) et projdtés sur Yaxe râ«. du moment »1 avec lequel ils font des angles , fournissent des moments composants faisant une somme

§46. — FLEXION PRODUITE PAIt DES CGDPLBSj 569

E'C'cosü E' (frf &*f .

Xi = S- T-TÏ hdC0SP+Â3 smP

2 l-\-ri \(jf- ' [.if ii

(174 ai

„ E'C'sin,, E' / frf r-f .

\ , = k— '- — T— — ; T-h cos jr-h'-cA sin p

2 14-9 ' '".J oif

Les forces agissant sur le point (#, y, z) du bord de la plaque ont

w'rf;- I g 4- g )i et l'effort tranchant T, agissant sur la plus grande face cylindrique

avec un bras de levier d'r>, fournira, en négligeant les produits du second ordre, un moment

— Trdadr. Egalante zéro la somme de ces moments en leur attribuant des signes convenables, et divisant parrfaar, on a bien l'équation (/'") de M. Brune.

• Aussi celte équation de moments, écrite sous la forme [m'"), est satisfaite identiquement quand on y met pour taa, t,.r, trj les valeurs trouvées ci-dessus (u!) et autres, déduites des solutions (/') du n° 9. Et elle résulte même immédiatement de la première équation {g'), prise complète ou sans omettre son second terme, et multipliée par zdz, puis intégrée de

— £ à j, car cela donne

égalité dont le second membre, intégré par parties, devient

trinôme qui se réduit bien à son dernier terme, vu que tn est supposé nul sur les deux aces : =— s et ; =i de la plaque.

Hais, pour n'avoir pas suffisamment étudié, sans doute, les formules générales de l'élasticité et de composantes de tendions, l'ingénieux professeur se trompe lorsqu'il pense qu'il y n un rapport constant, tel que celui qu'on désigne par E, entre la traction exercée par unité superlicielle sur les bases d'un élément prismatique, et la dilatation longitudinale qui en résulie : cette constance du rapport n'a en effet lieu que si toutes les faces latérales sont libres de pression ou tension; car si deux des faces, seulement, de ce prisme ou de cet anneau (supposé à section rectangle) en sont libres, ainsi qu'on peut le supposer pour les laces parallèles aux bases d'une plaque mince, tandis que les deux autres supportent des tensions, telles que celle t,.,.. le rapport entre les tractions longitudinales et l'allongement dépend aussi de cette traction latérale t,T. Il se trompe encore s'il pense qu'il y a un rapport constant, tel que le Q , , de Lamé, (ou -7 si /. = //.) entre les contractions transversales et la dilatation longitudinale du même élément: ce rapport dépend aussi des pressions latérales, s'il y en a.

Les formules sont donc en partie fausses.

Mais comment, ou par quelles compensations ou éliminations d'erreurs se fait-il que les applications données par M. Brune fournissent, pour le cylindre creux ou la sphère creuse, des formules conformes à celles de Lamé (sauf un coefficient 5 au lieu de 2 dans les expressions de Ar de la page 251), et qu'elles le conduisent, pour les plaques circulaires, non seulement à l'expression (d") de la flèche centrale déterminée par un poids unique quand la plaque est simplement posée, ainsi qu'aux deux autres que Poisson a données aussi pour le cas de charge uniformément répartie (voir .Note du § 75, nos 30, 51) ; mais même, et tout aussi exactement, aux équations des coupes méridiennes de la plaque fléchie dans ces trois cas dont H. Brune s'est occupé, en ne s'abstenant de donner un calcul que pour le quatrième cas de Poisson (celui où le poids unique agit sur une plaque à bords encastrés) ?

C'est ce qu'il nous parait difficile de reconnaître, car en mettant dans les équations de 1 tM 3r

M. Brune, à la place de E et de -. les vraies valeurs des rapports ^— et — ^— qui doi-

vent,contenir t,r et taa, et en rétablissant dans l'équation d'équilibre le troisième terme qui y manque, on introduit de nouvelles inconnues, ce qui parait rendre impossible l'aboutissement de son genre de calcul, \otis ne ferons donc pas ici la tentative de cet éclaircissement.

alors, d'après les expressions (loi), p. 503, pour composantes, \z, Yxz, et on a déjà vu plus haut que les fonctions Xp Y, ne peuvent pas être choisies arbitrairement. Le problème de déterminer une flexion arbitraire de la plaque, par les procédés développés précédemment, ne peut donc être résolu d'une manière générale; mais on peut résoudre un certain nombre de problèmes particuliers remarquables, parmi lesquels je choisirai le suivant :

La flexion delà plaque, produite par des couples, p. 335, agissant d'une manière déterminée sur ses bords ou sur sa surface latérale, doit être telle que la périphérie de la surface médiane vienne s 'appliquer^ sur une surface donnée arbitrairement, très voisine de la périphérie primitive.

Soit

l'équation de la surface donnée, telle, que la fonction F, pour les coordonnées x, y, z des points de la périphérie de la surface médiane, ail une très petite valeur. Introduisons, au lieu de x, y, z, les coordonnées (x + u), (y-hv), (z -f- w) qu'on a après les déplacements: la condition imposée est que, pour les points de cette périphérie de la surface médiane, on ait

¥(x-+-u, if-hv, z.-\-w) = 0.

Développons suivant les puissances de u, v, w et négligeons les puissances supérieures, nous aurons :

' i," ")ir €iV

équation dont tous les termes sont très petits et comparables, puisque la valeur de F (x, y, z), c'est-à-dire la distance de la périphérie primitive à la surface donnée, est supposée très petite, et en deçà de limites convenables. Pour la surface médiane où £==0, on a, d'après (172) p. 334,

u = 0, v = 0, w = j — C'(l — i)')'rl~\'y! ; et l'équation de condition se réduit à

{mb) u^/-c(i-.y)^/:=-l;!;^'0)

En d'autre» t'.'rmns, le problème peut être remplacé par le. Mm.'nl. plus simple :