FLEXION PRODUITE PAR DES COUPLES

La flexion de la plaque produite par les couples doit être telle que la périphérie de la surface médiane subisse de petits déplacements donnés, dans une direction perpendiculaire à son plan.

Soit N la fonction de x, y représentant ces déplacements. Alors f doit satisfaire non seulement à la condition générale (128) du § 59,

mais encore à la suivante relative aux points de la périphérie de la section médiane, et qui peut être tirée de la troisième (152), p. 505 :

Cela peut avoir lieu d'une infinité de manières différentes; on peut attribuer à la constante C toutes les valeurs possibles, et la fonction /* se trouve chaque fois déterminée complètement. On peut donc toujours amener la plaque dans une position conforme à la condition donnée en appliquant sur son bord des couples comme ceux que produisi-nl les forces Xr Yt exprimées par les (174 a), où Soft aura mis pour f sa valeur tirée de (175); couples équira/enls à d'autres tendant à produire des rotations, les uns autour de tangentes, les autres autour de normales à la périphérie de la surface médiane ainsi quau cylindre contournant où elle est ttvmée.

Je vais examiner le cas particulier où la périphérie est un cercle. Si l'on pose, comme aux §§ 42 et 44,

x = r cos 9 , y == r sin 6 ,

l'expression la plus générale pour /'qui soit admissible, est la suivante, dans laquelle nous ne faisons figurer que des puissances positives de r, attendu qu'elle ne doit pas devenir infinie pourr = 0 :

(175 c) /,= A-+-A1rcos0 + A2racos2â-f... -+-B,rsinô -j- Bjr2sin2ô+...

Pour se rendre compte de cette forme que nous attribuons à l'expression de f, il suffit de se reporter au problème du § 44, où, en éliminant n' de (158) par différentiation et addition, on trouve, pour ï,

£2£ o'2c l'équation ■%- -% -f- — — > = 0, semblable à celle que nous avons pour/", et

où l'on a trouvé aussi, pour cette môme inconnue, un développement

(165) conforme également à celui que nous venons de poser pour f.

Soit maintenant a le rayon de la périphérie; l'équation de condition

572 CEAP. III. — PLAQUES d'ETAISSEUR QUELCONQUE.

(175) acquiert la forme

N = A i— -. — ^f/- + A1flcosO + Aia2cos20+..+B1r/sin9+B2a2sin2ô+..

On peut imaginer que la fonction donnée N ait été exprimée en fonction de 8. Les formules ou résultats trigonométriques (168 e), (168 /), p. 326, et la méthode connue d'élimination de tous les termes hors un qu'elles conduisent à employer pour en déterminer les coefficients, donneront immédiatement, appliqués comme au même $ 44, les valeurs suivantes de ceux de l'expression de /"posée tout à l'heure :

4 ^2ttJ0

l.=^ / Ncosiôdô; B. == -— ,..

Nr/6;

N sin /9(/0

Le problème est donc résolu.

Au lieu des déplacements u, v, on détermine plus facilement les déplacements mesurés suivant le rayon vecteur r et dans une direction perpendiculaire à ce rayon. D'après (172) et en tenant compte des formules (165), § 44, de changements des quotients différentiels par rapport à x, y, en quotients différentiels par rapport à r et 0, ces déplacements sont :

u cos Ö -h v sin 6 = — s ( r1 — — — r j ;

v cos 6 — u sin 6 = — ^ -— ; w = / — r- — %*■ ;-- ;

ou bien, en introduisant les séries ci-dessus, MC0SÔ-+-î>sinô = 2 ~'^ r — A,cosQ — 2A,rcos20— ... — Btsiu0 — 2Bârsin t?0 — ..

„ ros e v sin 0 = z A , sin 0 -h 2Asr sin 2ô + . . . — B, cos 0 — 2BS?' cos 2 ) — . . . , w=k + C/\^~~r),^a"Jr^~"I) ""H-A1?-cosQ-t-A,>-3cos2Q+...+1V,siii9+ll/--sin20H-..

Les forces capables de produire ces déplacements ont, d'après ce gui précède, les composantes

\ V, Y V, où le§ valeurs de \t, \r sunt celles des équations (17 i a), page 369;

2 40. — FLEXION PRODUITE l'Ait DES COUPLES. 575

Ici aussi, il est plus commode, au lieu de prendre les composantes des forces parallèlement aux axes, déconsidérer les composantes dirigées suivant le rayon de la section et suivant la tangente à sa circonférence. Remarquons que, dans le cas présent, p est la même chose que 0, et que pour une fonction A" quelconque, on a, d'après (165),

$K » IK . B êK 8K "'.' <K n <K

- — cos 6 + — sm0 = 7- , — 7 — sin 0 -h y cos 0 = —r- . OX c y t r c X c y rc 0

On déduit d'abord de (174 a), en prenant successivement ~ , -/

dx dy

pour cette fonction A',

E'C cos Q E' / (8f\ E'C sin 6 E' l (df

i-hï)'ér \dx) ' l 2 1-hn' dr\dyj '

Ensuite, ajoutant ces deux expressions multipliées respectivement par cos 0, sin 0, puis par sin 0, — cos 6, et faisant de nouveau usage des mêmes formules de changement des dérivées par x, y, en dérivées par r, 6,

L,cosfl+^1sine=-5 rrr^^à' \sme- \xcoso=: -^-— .--^il •

J ] + n é » 1 + n c > cQ\r/

En multipliant par z, on aura les composantes cherchées. La première agit dans la direction du rayon et tend à faire tourner autour de la tangente; la seconde, au contraire, agit dans la direction de la tangente et tend à faire tourner autour du rayon. Si on désigne par R ctT ces deux composantes, on a, en introduisant la valeur (175 a) de /",

-— —\ 2 A, cos 2$ h- 6A,/- eus 56 + .... +2B2sin2ô+6Bsrsin30+ ... , 1 + 9 L J

T = — -; — —, 2A, sin 29 + 6A,r sin 30 + .... — 2B. cos 20— 6B3r cos 59 — . . . ■ 1 + 9 L J

J'ajouterai encore une remarque propre à éclairer ce problème d'une lumière plus vive.

D'après les formules (121 c) du \ 50 (page 298) des composantes de

tension t ,t , îointes a 0 = d r d — +c -,— résultant delà sup-

xx mi J c x ( y c z

posilion t =0, base principale du présent chapitre, on a, vu notre

notation a.=2f-{-f >

yy . \ox c ///

574 ckap. ni. — note Dr g 46. — corps massifs,

d'où, pour la dilatation cubique, ou la proportion de l'augmentation du volume,

; Ü lr fw ( $

Mais les expressions (174) du § 45, p. 534, donnent t -j- 1 =ÊUz, eu égard à l'équation (175). On a donc pour cette dilatation cubique la première des trois expressions suivantes, qui peut être remplacée à volonté par les deux autres, d'après les relations (2) données au n° 16 bis de la Note du § 16, formules (2), page 84,

»K'-tef0-!1-")"-'''0-''-''-''''^

Cette grandeur s'annule avec C. Cela constitue un caractère particulier des déplacements ne dépendant que de la fonction /, sans (7, ou pour lesquels on a C = 0 ; à savoir que ces déplacements ne sont nulle •part accompagnés d'un changement de volume des éléments solides. Par conséquent, le problème qui vient d'être traité, et qui, comme nous l'avons vu, admettait une infinité de solutions, n'en admet plus qu'une seule, lorsqu'on y ajoute celle condition qu aucun changement de volume ne doit se produire en aucun point de la plaque; car la constante C laissée arbitraire doit alors disparaître.

xMais, à une valeur quelconque de cette constante, correspondent, dans la plaque, des changements de volume déterminés; changements qui disparaissent dans la surface médiane, mais prennent naissance de part et d'autre en s'accroissant proportionnellement à ce dont on s'en éloigne. Ce qui se trouve d'un des côtés de celte surface présente des contractions croissantes, et, ce qui se trouve de l'autre, des extensions également croissantes (*).

suis 1. i:qi 11.1 1: ü 1 . m;s cours m\ssiks siiu.icitks bS UK POJftT si t'krfioiki. or inj'ûihkit..

1. — Objet de cette Note. — Dans ces chapitres II et III, il a été présenté, du problème des déformations des corps prismatiques ($2 26 à 51 , et 40 à 46), des solutions qui sont rigoureuses, mais sous la condition expresse que, sur les bases extrêmes des tiges, et sur la surface latérale des plaques, les forces soient appliquée* et. distribuées de manières spéciales. Si elles le sont d'autres manières, les solutions sont encore utilement employâmes (Note du $ 28), mais seulement comme fournissant des approximations qui sont subordonnées à ce (pie certaines dimensions soient fort petites par rapport à d'autres.