SOLLICITÉS EN DH POINT SUPERFICIEL OU INTÉRIEUR

Il était donc désirable qu'on trouvât plusieurs solutions non sujettes à des restrictions de ce genre, et qui fussent rigoureuses quel que soit le modo, de distribution des forces sur les faces des solides auxquels leur action fait subir de petits changements de forme.

Une magnifique solution de ce genre a été donnée en 185ô par Lamé .liiitrnnl de mathématiques, t. XIX, 1 85 ij pour une sphère pleine ou creuse, sur la surface de laquelle s'exercent des pressions quelconques; solution comprenant, au fond, celles que Lamé et Clapeyron avaient déjà présentées, dans leur célèbre mémoire de 1828, pour le cas où le rayon de la sphère est infini, et qui est celui d'un solide limité par un plan ou par deux plans parallèles. Malheureusement ces solutions, affectées de séries ou d'intégrales quadruples, et de variables auxiliaires à éliminer, ne prêtent guère aux calculs, et on conçoit, que Clebsch se soit abstenu de les rapporter. Pareille chose semble pouvoir ètte dite de l'habile et ingénieuse solution que M. Emile Mathieu est parvenu récemment à donner (Compte rendu, ol mai 1880, p. i272) du difficile problème posé et non résolu par Lamé (douzième leçon de 1852), de l'équilibre d'un prisme rectangle supportant des pressions normales sur ses six faces; car, malgré la triple symétrie supposée de leur distribution, cette solution ne peut s'obtenir que par le moyen d'une infinité de séries qui dépendent les unes des autres d'une manière extrêmement complexe.

Nous croyons donc utile de donner les solutions, immédiatement applicables en nombres, que M. Boussinesq n'a publiées jusqu'ici que par de courts extraits (*) et qui, pour des forces distribuées de manières quelconques, font connaître les déformations éprouvées par un sol ou un corps élastique de grandes dimensions; solutions d'une forme extrêmement simple, fécondes en conséquences, et d'autant plus dignes d'être signalées qu'elles révèlent l'usage pouvant être fait, pour les problèmes sur l'élasticité, des potentiels connus, et surtout d'un potentiel nouveau dit logarithmique à trois variables.

Nous transcrivons la note qu'il a bien voulu rédiger et nous remettre à celte intention.

Voici (dit M. Boussinesq) la résolution très simple que j'ai pu effectuer, en 1878 et 1879, de quelques problèmes assez étendus d'équilibre, par l'emploi de certaines fonctions de la famille des potentiels bien classiques d'attraction Newtonienne. Les plus intéressants de ces problèmes concernent la résistance et les déformations d'un sol élastique horizontal, de longueur, largeur et profondeur indéfinies, à la surface duquel s'exercent des pressions tantôt connues, tantôt réparties de manière à faire prendre à leur région d'application une forme (plane ou courbe) connue ; ce qui revient, en d'autres termes, à considérer l'effet produit sur un corps élastique par des trac-

(") Comptes rendus de /'Académie des sciences, 20 mai, 9 septembre, 7 octobre, 50 décembre 1878. pages 1260, 402, MO. 1077, et 24 février, 7 avril 1879, pages 575, 741.

576 CHAP. [II. — NOTE DU \ $6. — cor.ps massifs :

tions ou compressions appliquées à une petite partie de sa surface, et le mode de transmission, à son intérieur, des actions ainsi exercées, lorsque d'ailleurs les poinls du corps un peu éloignés sont maintenus sensiblement en repos, et qu'on se borne à étudier la région directement atteinte, avec son voisinage, endroits d'une étendue totale assez limitée pour que tout s'y passe, à fort peu près, comme si la surface toucbée était plane, et les dimensions du corps élastique, indéfinies.

Un autre de ces problèmes, déjà abordé par MM. William Thomson et Tait dans leur Traité de philosophie naturelle, mais dont la solution acquiert, par l'emploi des potentiels, son maximum de simplicité et un sens géométrique des plus expressifs, est celui des déplacements que fait naître dans un solide, autour de son point d'application, une force extérieure venant s'exercer au-dedans de ce corps, assez loin de la surface pour que celle-ci n'ait pas d'influence ou pour qu'on puisse supposer le corps indéfini.

Ce sont là, évidemment, des problèmes élémentaires et comme fondamentaux, bien propres à mettre en vue certains caractères essentiels de la manière dont s'y prend, en quelque sorte, l'élasticité pour répartir et modérer les efforts qu'elle transmet de la surface à l'intérieur d'un solide, ou d'une partie quelconque d'un tel corps aux parties voisines.

Avant de les aborder, rappelons brièvement les propriétés, bien connues, des potentiels inverse et direct, et voyons surtout celles de la fonction analogue que j'ai appelée potentiel logarithmique à trois variables.

2. Des potentiels inverse, direct, logarithmique. — Imaginons une masse

de matière (réelle ou fictive), I dm, occupant un certain espace, et soient

x{, yv, 21 les coordonnées du volume élémentaire du> que remplit l'élément

dm quelconque dm de cette matière, p la densité -rp du même élément dm. Si

l'on considère un point quelconque (x, y, z) de l'espace, on pourra prendre sa distance

r = \J(x — x,f + (y — y,)* + (z — sj-

à l'élément dm de la masse, et effectuer soit le quotient -7-, soit le produit rdm, puis faire la somme de tous les termes pareils,

*dm ÇÇÇ p/.iy/;/^/;,

Sl[x - x.)* + (y - y A* + (z- zt)*

et

j rdm= jjj v/(.r — xtf + {y — y,)" + (:■ - h)~' f'/'-.'/.'/,'^. '

correspondant à tous les éléments dm—p<U.r—pdyldyldzl de la masse donnée. La première des deux intégrales ainsi obtenues, I — -, est dite \$pôïentiel

POTENTIELS INVERSE, DIRECT ET LOGARITHMIQUE A TliOIS VARIABLES, 577

inverse, ou simplement le potentiel, relatif à l'a masse I dm. C'est une fonction de x, y, z, qui, comme on le sait, reste finie et continue (malgré le dénominateur r susceptible de s'y annuler) même quand le point (x, y, ; est pris à l'intérieur de la masse, pourvu que la clensiié p soit finie en

(x, y, z), et qui, de plus, peut se différentiel' une fois sous les signes / par

rapport à x, y, ou z, même dans ce cas où la fonction - devient infinie. On

sait, en outre, qu'aune deuxième différentiation, la fonction sous les signes

I devient d'un ordre d'infinis trop élevé pour qu'on puisse procéder de la

même manière quand le point \x, y, z) est intérieur au corps; mais que ces dérivées secondes s'obtiennent alors par des procédés spéciaux, exposés dans les Cours de mécanique rationnelle; et qu'on trouve, en particulier, pour le

paramètre différentiel \ ou 7—, -h r~, -f- — du potentiel inverse I —,

c'est-à-dire pour la somme

pfâjn ^Pdm ^jâm

l'expression simple — 4^0, où p désigne la densité en [x, y, ;•) (*). Cette somme se réduit donc à zéro quand le point (x, y, z) est extérieur à la

masse fdm; cas où la fonction -, ne cessant pas d'être finie et continue,

non plus que ses dérivées, pour les valeurs qu'on lui attribue, ne donne lieu à aucune difficulté, et où des différentiations sous les signes f peuvent s'effectuer autant de fois qu'on le veut.

La seconde des intégrales, frdm, a été appelée le potentiel direct relatif à la masse fdm. Comme on a évidemment

x — xt

dx*~

[X — Xif

dr

etc.,

il est clair qu'on peut différentier cette intégrale en x, y, z, deux fois sous les signes /, même pour les points {x, y, z) intérieurs à la masse fdm, sans que les résultats acquièrent, sous ces signes/, des facteurs suscep-

tibles de devenir d'un ordre de grandeur plus élevé que n est -; en sorte que

les dérivées ainsi calculées restent bien déterminées, comme le potentiel

(*) Voir une démonstration directe et très simple de ce théorème de Poisson dans le volume de 1880 (p. 90 et 97) du Journal de Mathématiques pures et appliquées, publié par MM. Liouville et Resal.