CHAI'. III. — NOTE DU $46. CORPS MASSIFS

inverse lui-même / — . On trouve, en opérant de la sorte,

$*ÇMm c-'Çrdm i* ( fdm AsjWm,ou — g— -+ ~W-+ -j^~

= fp (■r-a;»)s+(//-//>)'+(s- -.h 4m.2 r*» .

Donc, le paramètre différentiel A2 du potentiel direct frdm égale le double

du potentiel inverse I Par suite, si l'on prend le A2 de ce résultat, on

aura, par le Ihèorème de Poisson, rapporté ci-dessus, A2Aa frdm = — Snp, ou bien

formule remarquée par Lamé dans le cas simple où, le point (x, y, z) étant extérieur à la masse fdm, la densité p est nulle en ce point, et où, par suite, A2 A2 /?Y/m = 0.

Après avoir rappelé ces propriétés, dont nous n'aurons besoin que pour notre dernier problème, passons à l'étude du potentiel logarithmique, auquel nous demanderons, au contraire, la plupart de nos résultats.

Supposons la masse fdm étalée en courbe infiniment mince sur le plan des xij, et soient : x{, yy, les coordonnées de la surface dv, infiniment petite en tous sens, qu'occupera un élément dm de cette masse; p, ou mieux

p (.r,, ?/,), sa densité par unité d'aire, c'est-à-dire le rapport -j— , fonction

déterminée de .r,, //,, qui s'annule en debors de la partie limitée du plan où se trouvera la masse fdm. Considérons, d'autre part, un point quelconque (.r, y, z) de l'espace situé du côté des z positifs; et imaginons qu'on fasse la somme

z + r = z + vV — a;i) s + (y -//.)- ■+- v2

des deux distances de ce point au plan de la couche et à l'élément dm de celle-ci, puis qu'on multiplie le logarithme népérien de cette somme, log (;H-r), par l'élément dm, et qu'on intègre le résultat pour toute l'étendue de. la couche fdm. La fonction ainsi obtenue,

U) *=J log(s + r)<l», =1 log (z + r) ?d°—jj logU + \/(.r— .<«;,)*+ (//-■!/,)* + :•- )? (.r„ //^..y///,

sera précisément le potentiel IbgdHÙimiquè dont nous aurons à nous occuper.