CHAP. 111. — NOTE DU § 46. CORPS MASSIFS

formules

supposons qu'on rapporte les divers points de la couche f dm à des coordonnées polaires, R et à>\ qui aient pour pôle le pied de l'ordonnée : menée du point (./-, //, :•) au plan des xy, ou telles, que

Xi — £ = Rcosto, y y — f/ = Rsinto;

et découpons, par suite, la couche, au moyen de cercles concentriques et de rayons vecteurs successifs, en éléments ayant les expressions

dm — p (.?!, t/i) da = p (x + R cos à, y + R sin w) Rr/w <7R.

Si nous observons, en outre, que ?'2 = R2-|-s2, et que les intégrations s'étendront bien à toute la couche en faisant varier w de Oà 27r et R de 0 àoo , les formules (5) deviendront

i|i= I" du P(;c + Rcosw,y +Rsinw)Rlog (z+fo* + z*)dR,

ê)<b f%<. rx R

-i = I f/w I p(.r + Rcosto,?/ -f Rsnm>) r/R ,

■jrS= — '/<•> I p(.*; + Rcos w, j/ + Rsin w) -. >

^~- Jo Jo (R-2):.^:l

z-r-| = f (Im I p(c + Rcosto,» + Rsin w)( 3 — = — — .)dV\-

Nous pouvons poser, dans les deux premières de ces formules (6), ^ = 0. il vient

(7) (pour*=0)

'diùi p (x + R cos w, y + R sin w) (R log R)r/R ■

fi, flr. Z'00

~ = ( r/wl p (x + Rcosw , y + Rsin w)(/R , o% .'(I .70

expressions finies et déterminées, car on sait que le produit R log R s'änhulü à la limite R = 0, et, d'autre part, p s'annule aussi dès que l! dépasse certaines valeurs, c'est-à-dire à d'assez grandes distances tout autour du point ('■, y, 0), du moins lorsque l'on admet, connue nous le faisons, que la Couche /dm ne recouvre qu'une étendue de dimensions finies. Quant aux deux dernières formules (6), où paraissent des intégrales ayant, pour s=^0, tous leurs éléments nuls, à l'exception de ceux qui se rapportent aux valeurs de xt et //, infiniment voisines de x et //, remplaçons-y R par une autre variable d'intégration R', telle, que R=;l{' et que, par suite, r/R = ;</R'. Nous aurons, en supprimant dans les fractions les facteurs s