POTENTIELS INVERSE, DIRECT ET LOGARITHMIQUE A TROIS VARIABLES

communs aux. deux termes,

R'tffi'

C7—^- =.— { " dio I ? (.r + :R' cos u>, y -f- :R' sin w) t ;- .1,1 .'ri

t9* Jo Jo (R'--t-l)ir

;-,.; -fc »*> / RV/R' RV/R' \

s — [== i </« I p(a; + aR/cosft>1y + 2R/siiiw)(3 = -\.

' = ' Jo «/o V (R'â+ -l)i {W-+\)V

Si, aeluellement, nous faisons tendre ; vers zéro, et si nous observons que

RV/R' 1 RV/R' i

=• = (7 : , O r = il - »

(&«- l)ï (R'* + l)ï (R'2:-fl)? (R/:i+l)7 des intégrations immédiates donneront simplement

(9) (pour«=0) i^ = -^?(x,y), z(jt=0-

En résumé, /« fonction ty et ses f/ej/.r dérivées première et seconde, dan* le sens % normal à la couche, restent finies et déterminées quand z s'annule, ou lorsque le point (.r, //, s) atteint la couche même : en outre, cette dérivée seconde du potentiel y, dans le sens z, y vaut le produit de — 2ä par la densité superficielle o de la couche; et sa propre dérivée en z, multipliée par z, s'y annule.

Il est clair encore, d'après cela, que les dérivées en x et y du potentiel logarithmique ■!/. ou de ses deux premières dérivées en z. restent elles-mêmes finies et déterminées à la surface de la couche, pourvu, du moins, que la densité p soit une fonction finie et continue des coordonnées xL, y{ du plan des xy.

3. Equilibre intérieur d'un sol élastique à la surface duquel s'exercent diverses pressions ou tractions. — Proposons-nous de former, au moyen de la fonction •£ et de ses dérivées, les expressions générales des petits déplacements d'équilibre, u, v, w qu'éprouvent les différents points d'un sol élastique horizontal de longueur, largeur et profondeur indéfinies, quand on exerce certaines pressions ou tractions sur une partie finie de sa surface. partie que nous appellerons la région d'application des forces extérieures.

Les molécules du sol. tant superficielles que profondes, infiniment éloignées de celle région d'application, restent évidemment immobiles. Pour plus de précision, on peut dire que leurs déplacements u, v, w sont comparables à l'inverse de la distance au centre de la région d'application considérée. En effet, si l'on conçoit une sphère d'un très grand rayon t, décrite autour de ce centre, elle découpe le sol suivant une calotte demi-sphérique. à la surface de laquelle s'exercent évidemment des pressions chargées de tenir en équilibre celles que l'on a directement appliquées à la surface supérieure. Or, celles-ci ayant, par hypothèse, leurs composantes totales, suivant les trois axes, finies, il en est de même des pressions appliquées à la calotte et réparties sur toute sa surface 2-v- : en conséquence, ces pressions