LEUR EQUILIBRE SOUS DES EFFORTS SLTERFICIELS. .)<S
elles, les composantes correspondantes, px, p , p., de la pression qui s'y trouve exercée du dehors et qui est égale et contraire à celle de l'intérieur du sol sur sa surface, composantes admettant, par suite, les expressions
/>,, ou-l2, ou-t^-.^— | --) /^.oii-l,, 011-^ = -^+ ^
«,ou — N,ou — t = ->.ô — 2p.— -
11 serait aisé de démontrer, en appliquant ici le procédé employé par Clebsch au £ 21 de son livre, que ces diverses équations ou conditions détermineront complètement, dans chaque cas particulier, les trois fonctions u,v, /" de x, y, z.
Les équations du problème ainsi établies, imaginons une couche matérielle fictive, fdm, ou ffo Ul, y{) âx^hj^ étalée sur une certaine partie de la surface z = 0 du sol, et, considérant le potentiel logarithmique li=fiog(z-\-r)(lm qui lui est relatif, tâchons de composer, avec ses dérivées, trois types d'intégrales des équations (10) et (12). Il nous suffira, pour
la, de prendre :
1° Soit
>W = -fzl
2° Soit
dit
5° Soit enfin
dx '
jü = 0.
En effet, si nous considérons d'abord les valeurs (14), et si nous observons, d'une part, que l'équation (4), A^^ 0, donne A2^ = 0, d'autre part, que
en sorte qu'on a
(') Les équations (13) sont identiquement celles (34 <) du texte, page 111.
CHAP. III. KOTE DU § 46. — CORfS MASSIFS :
nous trouverons, pour ces valeurs (14) de u, v, w,
et, de plus,
A„m= — — As (s-=i = — 2
PH
A^=__A2^-j+2TT^-Ai--2??j.
Par suite, les équations indéfinies (10) se trouveront identiquement salis-
faites. Et les conditions (12) le seront aussi ; car, ^ étant une fonction ho-
mogène du degré — 1 en (x — x{), (y — y{), z, son produit par 2 est aussi homogène mais du degré zéro, et les dérivées premières en x, y, z de ce produit sont homogènes du degré — 1 par rapport aux mêmes variables, d'après un théorème bien connu sur les fonctions homogènes : donc, toutes les parties des expressions (14) de u, v, w', se trouvant du degré — 1 en [x — #.,),
.(y — y^ z, r, deviendront bien de l'ordre de - ou de -, à une distance très
grande, "c, de l'origine.
Quant aux expressions (14 bis) et (14 ter), qui, vu la relation A2-J< = 0, donnent identiquement 0 = 0, A2 (u, v, w) — 0 et qui sont également homogènes du degré — 1 en x — xv y — yi% :■, r, il est évident qu'elles vérifi- nt aussi les équations (10) et (12).
Voyons maintenant ce que ces trois types d'intégrales, (14), (14 bis), (14 ter), donnent, à la surface z== 0, pour les déplacements //, u, m, et pour les composantes (13) do la pression exercée du dehors sur le sol. Si nous observons 1° que, d'après les formules (7), les valeurs de -\> et de
' ■ i — restent finies à la limite s— 0, ainsi, par suite, que leurs dé-
Ci» r3 f
rivées en x et y, 2° que, de plus, d'après (9), -vf et z ^ y égalent respectivement— 27r/î [x, y] et zéro, nous aurons, après quelques réductions évidentes, les formules qui suivent :
1" Avec les valeurs (1 i),
(|iour s = 0)
X + 3u / ' dm u = 0, v — 0, «•= — — M — , X + )j. J r
(lö) < 2j*a ; Çdm '!<>■- S Cdm
< i dm L'y- J i"m
. x | 2[* 9 fdm , >■ ! 2p . .
LEUR ÉQUIMIiKF, sors HKS EEFOOTS SUPER] n:ii;r,s. 385
2° Avec les valeurs (14 bis),
!(pour ; = 0) çty £^ dif (\lm
/„ %? Cdm ,,— ^ r /V"' O ^ Cdm , , ,
5° Enfin, avec les valeurs (14 ter), (pourvu)
(15 ter)/ %
Donc, le potentiel logarithmique -b nous fournit, pour le problème proposé, trois types bien distincts d'intégrales, contenant, chacun, une fonction arbitraire des coordonnées de tous les points de la surface 2=0, savoir, la densité par unité d'aire, p {xv ?/,), de la couche matérielle fictive qu'on y conçoit étalée. Le premier type se rapporte au cas où les composantes horizontales, //, v, des déplacements sont nulles à la surface; la composante normale p. de la pression extérieure y est, au contraire, quelconque, car elle
vaut, en chaque point, le produit du facteur constant 4Vu -C par la
fonction arbitraire p (.r, //). Le deuxième .type, (14 bis), correspond au cas où les composantes horizontales tant des déplacements éprouvés à la surface, que de la pression extérieure qui s'y trouve exercée, égalent les dérivées respectives en x et y de deux fonctions des coordonnées x, y des divers points de cette surface : la composante normale p, de la pression extérieure peut y être encore choisie à volonté, puisqu'elle est le produit de A nu par p {.v, y). Enfin, le troisième type répond au cas où la surface n'éprouve
ni déplacement vertical w, ni dilatation — -h —, positive ou négative ■ les
composantes verticales des déplacements et de la pression extérieure y sont nulles toutes les deux.
En superposant ces trois types d'intégrales, pris, chacun, avec un potentiel logarithmique relatif à une couche fdm différente, on obtiendra évidemment, pour u, v, w, un système plus complet de valeurs, qui contiendra trois fonctions arbitraires des coordonnées, xu yy, de la surface, savoir, les densités des trois couches fictives ainsi imaginées. Or les intégrales générales cherchées du problème devaient précisément contenir trois fonctions arbitraires de ces coordonnées, pour qu'on pût se donner, aux divers points
586 CHAr. III. — NOTE DU § 46. — sols élastiques
de la surface, les valeurs de u ou de p , de y ou de p!f, de w ou de pz.
4. Cas où le sol ne supporte que des pressions (ou tractions) normales. — On peut aussi combiner linéairement, de deux manières différentes, les deux premiers types, (14), (15) et (14 bis), (15 bis), pris avec un même potentiel -l>, pour en déduire deux autres types propres à remplacer ceux-là, et dans l'un desquels les composantes horizontales, px,py, delà pression extérieure s'annulent partout, tandis que, dans l'autre, la composante verticale p. égale zéro, et les composantes horizontales^., p sont les deux dérivées en x et y d'une même fonction, contrairement à ce qui arrive pour le troisième type, (14 ter), (15 ter), où pz est nul aussi, mais où px et py vérifient la relation lï + lrt>!' = 0, et non la condition d'intôgrabilité ^±—^1. ê)x ày cij ex
Bornons-nous ici à la première combinaison indiquée, qui résout le problème de l'équilibre d'un sol élastique horizontal supportant des pressions données, p^ exclusivement verticales. Il suffit, pour l'obtenir, d'ajouter chacune à chacune les expressions (14) et (\Abis) de u, v, w, après avoir mul-
tiplié les premières, (14), par f^H et les secondes, (14 bis), par ^fi'j. y
En effet, les valeurs (15), (15 bis) de p£, pt/, p, s'ajouteront elles-mêmes, respectivement multipliées aussi, connue on voit, par ces mêmes facteurs constants, et l'on aura
(16) Px= 0, Py=Q> P. = P (•''.//) •
Appelons P la pression totale (positive ou négative) exercée sur le sol et, par suite, dP la pression, pjlcr, que supporte un élément quelconque <7<x de la surface. On voit, par la troisième équatioh(16), que l'élément dm =p (x, y) th, de la couche fictive par rapport à laquelle on prend le potentiel 4, sera numériquement égal à la force extérieure pjh ou d[\ s'exerçant sur cet élément. Si donc on imagine que la pression P, éprouvée par la surface, soit due au poids d'une mince couche d'un sable très lourd, reposant sur cette surface, et si l'on convient de mettre, pour la masse de chaque grain de ce sable, son propre poids, que supporte entièrement la surface sousiacente, la matière par rapport à laquelle on devra prendre le potentiel ■]> ne sera autre que cette couche elle-même, constituant la charge effective du sol.
Comme on aura, de la sorte,
