LEUR ÉQUILIBRE SOU? DIVERSES TRESSIONS

les valeurs trouvées pour les déplacements u, v, w seront : /

1 '' fnl['

*-■>■ c xc :■

steife / ^+n*'?

vz= L J

i / rdP

y-y——— log (à -+r)<lV ,

>-y- c yi z

^ ku(X + u) / 7'

Elles égalent — et on le savait d'ailleurs par avance — les sommes des déplacements élémentaires qu'on aurait observés si le sol n'avait eu à supporter à la fois qu'un seul des éléments dP de sa charge totale, c'est-à-dire si la pression extérieure s'était trouvée réduite à celle, JP, qui s'exerce sur un élément d<T=dxldyl de la surface, et qui est elle-même infiniment petite du second ordre comme le produit d <\dyr

Voyons donc ce que seraient ces valeurs de u, v, m les plus simples possibles, relatives au cas où les intégrales / log (c- -j- r dP, 1-rdP, / --

ne contiendraient que leur élément correspondant à l'élément unique, â&, de la surface, sur lequel s'exercerait une pression (ou traction1! donnée dP. En prenant alors pour origine le point d'application de cette force extérieure, de manière à avoir simplement r=\/:ci-j-if -\- z'^ et en observant que les

dérivées, en x, //, z, de r et de log [z-\-r) vaudront respectivement -, - , -

et ■ , —. — ■ — -, -, il viendra :

r^-hrr >•(;+/•) /■'

■ r/P f <-r y. x "| rfP /; |i 1 \.v

■ï-y. \J xi a ' >• -r [J- r [z -j- r) J ~~ 4~;x \r- X + [x 7+z) 7 '

i-y. [, (/ S >. + ;x »• (s — r) J 4k«. ^fS x + [x /• + ;/,• ' '" — ~ 4-u. [^ * -f- F» ^J ~~ 47â V À -J- jl 7- + j5/ *

ctW., ' \ x L y ... •£ / ^r

Si l on observe que - et - peuvent s écrire ■ t / .i ~ ol

r r •«■ + »■ yî5

■, ' ■ V/ 1 — ^on reconnaît que les déplacements produits par la \fx*-\-y* V r

pression élémentaire dP se font dans les plans verticaux menés suivant cette force, et de la même manière dans tous : ce qui était évident à priori. De plus, la composante horizontale, U, de ces déplacements, comptée positivement en s'éloignant de l'axe de symétrie (c'est-à-dire de la force dP), et leur

588 i:hai\ m. — ; aoTE du § 40. — sols élastiques

composante verticale îu, ont les valeurs

Appelons a l'angle, toujours compris entre zéro et 90°, que le rayon r, mené de l'origine au point quelconque (x, y, z) du sol, fait avec la pression (IV, ou, plus exactement, avec l'axe des - dirigé vers le bas. Nous aurons z = r cos a, et, si nous rappelons que

2 sin - cos h n

sin«. 2 2 , a . sin2a. . ,

= =tangx, cosasina= — 5 — » 2eos-a=rl -t-cos2 a,

1 + COS a J a 2J Z

2 cos-les valeurs précédentes de U, w deviendront aisément

rfP / , il" V a rfP / . Su . a\

= -; { cos2«. + cos a * — tang r = - sm 2a — — * — tang - )>

ïnur \ k + f-J S îvrpr \ *■+[* 2/

(su)