AVERTISSEMENT DES TRADUCTEURS

conséquences; et elles révèlent l'usage que l'on peut faire, dans la théorie de l'élasticité, des potentiels connus d'atlraction Newtonienhe et surtout d'un potentiel nouveau dit logarithmique à trois variables.

La grande Note finale du £ 61 est comme un Traité étendu, quoique succinctement présenté, de ce que Poncelet a appelé la résistance vive et Young, la résilience des pièces solides, supposées, ici, recevoir transversalement ou un choc, ou une impulsion graduelle et tranquille, et vibrer ensuite avec le corps qui les a mises en mouvement, ce qui exige une tout autre analyse que quand la pièce élastique vibre seule. Les solutions obtenues sont en séries de sinus tant circulaires qu'hyperboliques dont les arcs ont pour multiplicateurs les racines, en nombre infini, d'équations transcendantes. On donne deux formules générales pour les coefficients de sinus et de cosinus destinés à satisfaire aux conditions initiales, et un moyen d'en calculer, sans intégration, les dénominateurs. Le premier terme de ces séries, en le développant algébriquement, fournit non seulement cette première approximation où, avec Young et Poncelet, l'on néglige l'inertie de la pièce heurtée, mais aussi une seconde approximation, d'une forme nouvelle et presque aussi simple, qui en tient compte et donne, pour les flèches dynamiques, des valeurs presque aussi exactes que la foi mule complète et rigoureuse. Et cette seconde et suffisante apptoximation peut être obtenue directement d'une manière élémentaire susceptible d'être enseignée partout; singularité curieuse et heureuse, dont l'explication a été, sur notre invitation, l'objet d'un mémoire de M. Boussinesq où se trouvent embrassés des systèmes quel" conques de barres élastiques et de corps heurtants ou entraînés dans leurs vibrations. Cette même grande Note contient un examen de l'emploi, pour des systèmes flexibles et à points fixes, du théorème de perte de forces vives appliqué jusqu'ici aux seuls corps sans élasticité et libres ou pivotants; et, aussi, l'examen de l'application à ces mêmes systèmes du principe des vitesses virtuelles pour des quantités de mouvement finies. .Mais le calcul des plus granités courbures prises et, par conséquent, rétablissement exact • lis conditions de résistance paraît, jusqu'ici, ne pouvoir être convenablement fait qu'au moyen des solutions nouvelles et transcendantes, ou en calculant tant numériquement que graphiquement plusieurs termes des séries.

La Note se termine par des comparaisons aux expériences faites en Angleterre sur des chocs de barres, et aussi, par la solution des problèmes de la charge en mouvement, telle qu'une locomotive el un train, avec mise en compte nouvelle, dans le résultat final, de l'inertie des poulies sur lesquelles la charge roule.

Enfin, la Nute du j< 73, sur les plaques minces de toute forme, donne un établissement direct el simple, jusqu'ici désiré, des équations indéfinies de leur équilibre, surtout de celle de quatrième ordre, en le fondant sur des

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relations qui sont les conséquences naturelles, suffisamment approchées, tant cinématiques que statiques, de la forme même de ces corps aplatis, ou qui sont comme l'énoncé analytique de la question qui leur est relative; et, cela, sans recourir à la méthode de leur partage en éléments ayant leurs coordonnées particulières et mobiles, qu'il faut ensuite unir par des conditions de raccordement délicates; méthode ingénieuse mais compliquée, donnant lieu à des obscurités et paraissant comporter l'annulation, de prime abord, des glissements qui constituent les efforts tranchants. Les conditions définies ou au contour sont celles de l'éminent M. Kirchhoff, au nombre de quatre, vu la fusion en une seule, très remarquablement opérée par lui, de deux des conditions de Poisson. Mais nous opérons cette réduction ou fusion, sans recourir au calcul des variations, en changeant simplement, comme M. Boussinesq a eu l'idée de faire, chaque, couple dit de torsion, en un couple statiquement équivalent et autrement tourné, ce qui est permis quand la plaque est mince et peut s'opérer sans annulation des glissements, ainsi que le prouve une analyse donnée en sous-note et de laquelle il résulte que le changement ainsi opéré n'entraîne que la suppression de quantités de l'ordre de celles que déjà on est forcé de négliger; détails utiles et qui paraissent devoir mettre fin à une polémique soutenue en 1878. La même Note examine et discute des méthodes de Poisson et Cauchy auxquelles on a renoncé. Elle se termine en rapportant, avec quelques modifications et des explications nécessaires pour faire cesser un paradoxe, les admirables solutions, à peu près inédites, données par Kavieren 1820 (ou avant qu'il eût inventé ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie de l'élasticité), du problème de l'équilibre et de la résistance des plaques rectangles appuyées au contour et chargées de différentes manières; ce qui confirme un résultat particulier déjà présenté en 1085 par Mariotte, d'après des comparaisons que la fin de la Note éclaircit.

Au moyen de ces explications et annexes, auxquelles nous aurions pu donner plus d'étendue en rapportant d'autres résultats inédits de nos recherches déjà anciennes, nous espérons, si l'on veut bien y donner quelque attention, que la traduction offerte par nous aura une réelle utilité et que la belle et intéressante branche de physique mathématique ayant, avec l'art des constructions, des rapports si intimes, pourra être de mieux en mieux comprise, étudiée et appliquée.