CHAPITRE PREMIER

§ 1. — Exposition générale des principes qui servent de base à la théorie des corps élastiques.

La Mécanique, dans le sens restreint que l'on a, jusqu'à notre époque, attaché à ce mot, s'occupe de la théorie des corps rigides. En partant de ce fait expérimental que tout corps solide, soumis à des forces qui ne dépassent pas certaines limites dépendant de sa nature ou de sa contexture individuelle, n'éprouve que des changements de forme insensibles ou presque insensibles, on arrive à conclure qu'un changement excessivement petit des positions respectives de ses molécules développe, entre celles-ci, des forces intérieures suffisamment intenses pour faire équilibre aux forces extérieures, limitées comme on vient de le dire, qui agissent sur lui. Sans doute, pour faire naître ces forces intérieures, il faudra toujours produire un certain rapprochement ou éloignement des molécules, si petit qu'il soit; mais ce rapprochement ou éloignement sera évidemment d'autant plus petit que l'action des molécules les unes sur les autres aura plus d'énergie. On peut donc se figurer un corps dans lequel les déplacements inté-

rieurs produits par les forces extérieures tendent indéfiniment vers zéro et enfin s'annulent. En substituant au corps réel celui qui résulte d'une pareille abstraction, on le considère comme rigide; et, grâce à celte hvpotbèse, il devient l'objet de la Mécanique des corps parfaitement durs et invariables.

Celte abstraction peut être considérée comme une première approximation dont on se sert avec succès pour beaucoup de problèmes, et qui revient, dans le fait, à négliger les petils déplacements des molécules les unes par rapport aux autres, vis-à-vis de leurs distances mutuelles primitives.

Mais, dans beaucoup de questions de physique et de technologie, il n'est pas permis de se borner à une approximation de celle sorte. Un grand nombre de problèmes ne peuvent, en effet, s'aborder qu'en ayant égard aux déplacements dont il s'agit, quelque petits qu'ils puissent être. On dit qu'un corps est élastique, en tant que l'on considère ses petits changements de forme, et l'on peut caractériser cette considération comme un deuxième degré d'approximation vers ce qui se passe réellement à son intérieur : pure approximation, en effet : car il ne sera nullement nécessaire de traiter avec une exacte précision les changements de grandeur qui surviennent dans les plus petites parties du corps; on ne perdra pas de vue, au contraire, que ces changements étant minimes par rapport aux dimensions primitives des mêmes parties, l'on peut, l'on doit même, comme on va le voir, en négliger sans crainte les puissances supérieures, par rapport aux puissances de même ordre des dimensions primitives.

Si l'on exprime les conditions de l'équilibre et du mouvement de ce système de molécules que nous appelons un corps solide, et si l'on regarde les déplacements relatifs des molécules voisines les unes des autres comme très petits par rapport à leurs distances initiales, les équations exprimant ces conditions se partagent en deux classes. Celles de la première classe contiennent des grandeurs finies à côté des déplacements très petits ou môme infiniment petits des molécules; il est permis d'y négliger ceux-ci vis-à-vis de celles-là, ou de poser les mômes équations que si le corps était considéré comme rigide. On arrive alors à cette importante conclusion que les conditions de Véquilibre et du mouvement d'un corps supposé rigide doivent rester valables quand le même corps est considéré comme élastique (*).

(*) Il y a de cela une raison meilleure, qui prouve que les conditions en question sont toujours parfaitement exactes et non pas simplement approximatives, quelque soit le degré d'élasticité on de variabilité '!<• forme du système. C'est que, comme les forces intérieure*

§ 1. EXPOSITION DES PKINCIPES. 5

Mais à côté de ces équations, il s'en présente d'autres qui sont des combinaisons d'une espèce particulière, d'où les termes finis ont disparu complètement, et qui, par conséquent, se réduiraient à l'identité 0 = 0 aussitôt que l'on poserait égaux à zéro les déplacements moléculaires relatifs, ainsi que les autres quantités de même ordre qui s'y trouveraient engagées d'une manière quelconque. Mais il n'est réellement permis de négliger, dans ces dernières équations, que les carrés et les puissances supérieures des petites quantités dont nous parlons, vis-à-vis de leurs premières puissances : car celles-ci doivent être nécessairement conservées, attendu qu'alors les équations où figurent ces premières puissances, ont tout à fait le caractère des équations entre grandeurs finies. Qu'on se figure, en effet, les termes très petits du premier ordre qui entrent dans ces équations, divisés tous par l'un d'eux; alors, on a des équations où entrent seulement des rapports entre quantités très petites, rapports qui sont des quantités finies. On voit ainsi, manifestement, qu'entre les changements très petits ou môme infiniment petits, c'est-à-dire tendant vers zéro, il peut être posé une série d'équations qui ne s'obtiennent pas dans la théorie des corps rigides, et qui seules sont propres à donner la connaissance des divers états de l'intérieur des corps.

Mais il est essentiel, avant tout, d'insister sur ce point que, dans la théorie exposée, c'est seulement dans les plus petites parties des corps que l'on considère de pareils changements des dimensions, et qu'on les suppose très petits vis-à-vis de ces dimensions elles-mêmes. Tout corps se trouve dans l'état qui répond à cette supposition, tant que les forces extérieures qui agissent sur lui restent, avons-nous dit, en deçà de certaines limites. Ces limites des forces ne produisant que de très petits changements relatifs des dimensions sont très diverses pour les divers corps; et, pour certains d'entre eux, dits vulgairement très élastiques, comme le caoutchouc, elles sont si resserrées que, dans la réalité, on les outrepasse toujours^ La théorie que nous exposons exclut donc, a priori, les états qui se produisent dans les corps de cette espèce, et pour l'étude desquels les connaissances expérimentales acquises sont, jusqu'ici, insuffisantes (*).

sont égales deux à deux et directement opposées, elles se détruisent mutuellement lorsque l'on compose, soit la résultante générale, soit le moment résultant de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures ; d'où il suit que l'équilibre, soit de translation, soit de rotation, a lieu à chaque instant dans un système non rigide comme dans un système supposé rigide, entre les seules forces extérieures, au nombre desquelles il faut mettre, bien entendu, les inerties, s'il y a mouvement,

(*) Cette remarque judicieuse de Clebsch vient à l'appui de ce que nous avons dit, aux §§ 59 et Ï3 de Y Appendice V de notre nouvelle édition de Navier (1864), de l'impossibilité

4 i.HAI'. I. — FORMULES F0KDAMEMALES.

Au contraire, la théorie que nous allons exposer s'applique entièrement aux matériaux de construction de bâtiments ou de machines dont l'emploi exige un certain degré de consistance et de fermeté, comme le bois, le fer, les pierres. Des solides de celte espèce peuvent être soumis à des forces d'intensités très variées, mais pourtant toujours astreintes aussi à des limites; dès qu'on en applique qui dépassent celles-ci, môme si elles ne produisent encore que de très petites déformations, on ne sait pas si ces déformations seront simplement temporaires, c'est-à-dire si le solide reprendra sa forme primitive lorsque les forces cesseront d'agir, ou si elles seront permanentes. Si les forces extérieures appliquées vont jusqu'à produire des déformations permanentes, ce qu'on appelle la limite cl élasticité est dépassée; le corps n'est plus, dans sa contexture ou sa constitution intime, ce qu'il était primitivement, et le changement persistant des situations mutuelles de ses molécules a produit un nouveau corps; la possibilité que ces sortes de changements continuent de s'opérer exclut toute sécurité, et un corps, dans de pareilles conditions, ne peut, sans danger, faire partie d'une construction quelconque.

Dans les matériaux dont on vient de parler, la limite d'élasticité est telle que, môme lorsqu'elle est atteinte, les changements de forme des petites parties sont encore minimes par rapport à leurs dimensions. Si déplus, à cause de l'hétérogénéité possible, et toujours à craindre, de la matière, on a l'intention de rester notablement en deçà de cette limite, il est évident que les notions ci-dessus sont applicables, et qu'on est parfaitement en droit de regarder les changements de forme des plus petites parties de ces mêmes corps comme très petits du premier ordre par rapport aux dimensions primitives de ces parties. On voit donc dans quelle étendue la théorie est applicable; cette étendue n'embrasse ni les états dépassant la limite de l'élaslicité, ni, à plus forte raison, ces états mathématiquement indéfinissables qui précèdent la désagrégation et la rupture.

Si les plus petites parties d'un corps n'éprouvent que des changements dont les proportions sont très faibles, il en est généralement de môme pour le corps entier. Mais cette conclusion souffre des exceptions que l'on ne doit pas perdre de vue pour ne pas tomber dans de graves erreurs. Ces exceptions se produisent quand une ou deux dimensions du corps sont très petites, soit partout, soit en quelques

de rien conclure, contre les résultats du calcul des forces moléculaires, de certaines expériences faites sur des plaques de caoutchouc (Voy. ci-après le n° 4 de la note de la lin duglG.)